1、第 7 章 点的合成运动前面我们研究物体的运动是相对于同一参考坐标系而言，当所研究的物体相对于不同参考坐标系运动时（即它们之间存在相对运动） ，就形成了运动的合成。本章主要学习动点相对于不同参考坐标系运动时的运动方程、速度、加速度之间的几何关系。7.1 点的合成运动的概念绝对运相对运动牵连运动在工程和实际生活中物体相对于不同参考系运动的例子很多，例如沿直线滚动的车轮，在地面上观察轮边缘上点 的运动轨迹是旋轮线，但车厢上观察是一个圆，如图 7-1 所M示，又如在雨天观察雨滴的运动，如果在地面上观察（不计自然风的干扰）雨滴铅锤下落，而行驶的汽车上，雨滴在车窗上留下倾斜的痕迹，如图 7-2 所示。x
2、yOv从上面的两个例子看出物体相对于不同参考系的运动是不同的，它们之间存在运动的合成和分解的关系。一般情况下，将研究的物体看成是动点，动点相对于两个坐标系运动，其中建立在不动物体上的坐标系称为定参考坐标系（简称定系） ，如建立在地面上的坐标系，另一个坐标系是相对定参考坐标系的运动，称为动参考坐标系（简称动系） 。动点相对于定系运动可以看成是动点相对于动系的运动和动系相对定系的运动的合成。上面的例子中，定系建立在地面上，动点 的运动轨迹是旋轮线，动系建立在车厢上，点 相对MM于动系的运动轨迹是一个圆，而车厢是作平移的运动。即动点 的旋轮线可以看成圆的运动和车厢平移运动的合成。研究点的合成运动必须
3、要选定两个参考坐标系，清楚以下三种运动：（1）动点相对于定参考坐标系运动，称为动点的绝对运动。所对应的轨迹、速度和加速度分别称为绝对运动轨迹、绝对速度 、绝对加速度 。ava（2）动点相对于动参考坐标系运动，称为动点的相对运动。所对应的轨迹、速度和加速度分别称为相对运动轨迹、相对速度 、相对加速度 。rvra（3）动系相对于定系的运动，称为动点的牵连运动。动系上与动点重合的点称为动点的牵连点，牵连点所对应的轨迹、速度和加速度分别称为牵连运动轨迹、牵连速度 、ev牵连加速度 。ea结合我们所建立的两个参考坐标系和三种运动，请初学者自己分析上面的例子。一般来讲，绝对运动看成是运动的合成，相对运动和
4、牵连运动看成是运动的分解，合成与分解是研究点的合成运动的两个方面，切不可孤立看待，必须用联系的观点去学习。动点的绝对运动、相对运动和牵连运动之间的关系可以通过动点在定参考坐标系和动参考坐标系中的坐标变换得到。以平面运动为例，设 为定系， 为动系， 为动oxyyxoM点，如图 7-3 所示， O点绝对运动方程为M（7-)t(x)t(y1）点相对运动方程为（7-2）)t( )t(牵连运动是动系 相对于定系 的运动，其运动方程为yxooxy（7-3）)t(由图 7-3 得坐标变换(7-4)cosysinxyio例题 7-1 半径为 r 的轮子沿直线轨道无滑动地滚动，如图 7-4 所示，已知轮心 C
5、的速度为 ，试求轮缘上的点 M 绝对运动方程和相对轮心 C 的运动方程和牵连运动方程。cvO解：沿轮子滚动的方向建立定系 oxy，初始时设轮缘上的点 M 位于 y 轴上 Mo处。在图示瞬时，点 M 和轮心 C 的连线与 CH 所的夹角为在轮心 C 建立动系 ，点 M 的相对运动方程为yx rtvcossrinic1（1）点 M 相对运动轨迹方程为22yx（2）由式（2）知点 M 的相对运动轨迹为圆。牵连运动为动系 相对于定系 oxy 的运动，其牵连运动方程为C(3)0rytvxc其中，由于动系作平移，因此动系坐标轴 与定系坐标轴 的夹角 。x0由式(7-4) 得点 M 绝对运动方程为rtvco
6、scsryinintvxc1（4）点 M 的绝对运动轨迹为式（4）表示的旋轮线。例题 7-2 用车刀切削工件直径的端面时，车刀沿水平轴 z 作往复的运动，如图 7-5 所示。设定系为 oxyz，刀尖在 oxy 面上的运动方程为 ，工件以匀角速度 绕 ztsinrx轴转动，动系建立在工件上为 ，试求刀尖在工件上画出的痕迹。zyxoOrtvHc1解：由题意知，刀尖为动点，刀尖在工件上画出的痕迹为动点相对运动轨迹。由图 7-5b 得动点相对运动方程为 )tcos(rtsinrtsixyicco212削去时间 ，得动点相对运动轨迹方程为t 4222)(则刀尖在工件上画出的痕迹为圆。注意若求三种运动的速
7、度之间的关系，最直接的方法是式（7-4）对时间求导，即可求出点的相对速度、牵连速度的绝对速度三者之间的关系。7.2 点的速度合成定理现在研究点的相对速度、牵连速度、绝对速度三者之间的关系。 OxyMzijkr如图图 7-6 所示，设 为定系， 为动系， 为动点。动系的坐标原点 在oyxoMO定系中的矢径为 ，动点 在定系上的矢径为 ，动点 在动系上的矢径为 ，动系rMrr坐标的三个单位矢量为 ， ， ，牵连点为 （动系上与动点重合的点）在定系上的ijk矢径为 ，有如下关系：M（7-5）ro（7-6）kjizyx（7-M7）动点 的绝对速度为（7-8）tdarv动点 的相对速度为M（7-9）kj
8、irvzyxtd将式（7-6）和（7-7）代入（7-5）中，因牵连点 是动系上的一个确定点，因此 的MM三个坐标 ， ， 是常量，得牵连速度xyz（7-10）jir zyxtoMe从而得相对速度、牵连速度的绝对速度三者之间的关系：（7-reav11）点的速度合成定理：在任一瞬时，动点的绝对速度等于在同一瞬时相对速度和牵连速度的矢量和。点的相对速度、牵连速度、绝对速度三者之间满足平行四边形合成法则，即绝对速度由相对速度和牵连速度所构成平行四边形对角线所确定。应当注意：（1）三种速度有三个大小和三个方向共六个要素，必须已知其中四个要素，才能求出剩余的两个要素。因此只要正确地画出上面三种速度的平行四
9、边形，即可求出剩余的两个要素。（2）动点和动系的选择是关键，一般不能将动点和动系选在同一个参考体上。（3）动系的运动是任意的运动，可以是平移、转动或者是较为复杂运动。例题 7-3 汽车以速度 沿直线的道路行驶，雨滴以速度 铅直下落，如图 7-7 所示，1v2v试求雨滴相对于汽车的速度。 r解：（1）建立两种坐标系定系建立在地面上，动系建立在汽车上。（2）分析三种运动雨滴为动点，其绝对速度为 2va汽车的速度为牵连速度（牵连点的速度） ，即 1e（3）作速度的平行四边形由于绝对速度 和牵连速度 的大小和方向都是已知的，如图 7-7 所示，只需将速avev度 和 矢量的端点连线便可确定雨滴相对于汽
10、车的速度 。故ave rv212ear雨滴相对于汽车的速度 与铅锤线的夹角为r21vtan例题 7-4 如图 7-8 所示曲柄滑道机构，T 字形杆 BC 部分处于水平位置，DE 部分处于铅直位置并放在套筒 A 中。已知曲柄 OA 以匀角速度 0rad/s 绕 O 轴转动，2OA=r=10cm，试求当曲柄 OA 与水平线的夹角 、 、 、 时，T 形杆的速度。o03o609BCDEear解：选套筒 A 为动点，T 字形杆为动系，地面为定系。动点的绝对运动为圆，绝对速度的大小为 cm/s201rva绝对速度的方向垂直于曲柄 OA 沿角速度 的方向。由于 T 字形杆受水平约束，则牵连运动为水平方向；
11、动点的相对速度为沿 BC 的直线运动，即为铅直向上，如图 7-8 所示，作速度的平行四边形。故 T 字形杆的速度为sinvaeT将已知条件代入得： o002： 3cm/s13oTsi： 6276.nv： o9/9i例题 7-5 曲柄 OA 以匀角速度 绕 O 轴转动，其上套有小环 M，而小环 M 又在固定的大圆环上运动，大圆环的半径为 R，如图 7-9 所示。试求当曲柄与水平线成的角 时，t小环 M 的绝对速度和相对曲柄 OA 的相对速度。OMR vear解：由题意，选小环 M 为动点，曲柄 OA 为动系，地面为定系。小环 M 的绝对运动是在大圆上的运动，因此小环 M 绝对速度垂直于大圆的半径
12、 R；小环 M 的相对运动是在曲柄 OA 上的直线运动，因此小环 M 相对速度沿曲柄 OA 并指向 O 点，牵连运动为曲柄OA 的定轴转动，小环 M 的牵连速度垂直于曲柄 OA，如图 7-9 所示，作速度的平行四边形。即小环 M 的牵连速度为 cosROve2小环 M 的绝对速度为 cosea小环 M 的相对速度为 tsinsitnver 22例题 7-6 如图 7-10a 所示，半径为 R，偏心距为 e 的凸轮，以匀角速度 绕 O 轴转动，并使滑槽内的直杆 AB 上下移动，设 OAB 在一条直线上，轮心 C 与 O 轴在水平位置，试求在图示位置时，杆 AB 的速度。 A earBvrae 解
13、：由于杆 AB 作平移，所以研究杆 AB 的运动只需研究其上 A 点的运动即可。因此选杆 AB 上的 A 点为动点，凸轮为动系，地面为定系。动点 A 的绝对运动是直杆 AB 的上下直线运动；相对运动为凸轮的轮廓线，即沿凸轮边缘的圆周运动；牵连运动为凸轮绕 O 轴的定轴转动，作速度的平行四边形如图 7-10a 所示。动点 A 的牵连速度为 Ave动点 A 的绝对速度为 eOcotea动点和动系的选择可以是任意的。本题的另一种解法是：选凸轮边缘上的点 A 为动点，杆 AB 为动系，地面为定系。动点 A 的绝对运动是凸轮绕 O 轴的定轴转动，绝对速度的方向垂直于 OA，水平向右，绝对速度的大小为 A
14、va动点 A 的相对运动为沿凸轮边缘的曲线运动，相对速度的方向沿凸轮边缘的切线，牵连运动为直杆 AB 上下的直线运动，作速度的平行四边形如图 7-10b 所示。杆 AB 的速度为动点 A 的牵连速度，即 eOAcotvae 应当注意：（1）动点和动系不能选在同一个物体上；（2）动点和动系应选在容易判断其相对运动的物体上；否则会使问题变得混乱。（3）无特殊说明，定系应选在地面上。7.3 点的加速度合成定理7.3.1 牵连运动为平移时点的加速度合成定理在图 7-11 中，设 为定系， 为动系且作平移， 为动点。动点 的相对oxyzzyxo M速度为jOyxzik（7-kjirvzytd12）动点
15、的相对加速度为M（7-jiazxtrr 13）其中， ， ， 为动系坐标 ， ， 的单位矢量，由于动系作平移，故 ， ，ijky ij为常矢量，对时间的导数均为零， 。将速度合成定理式（7-11）对时间求导得koev)zyx(dttdtrea kjiv reozxakji动点 的绝对加速度为M（7-14）rea牵连运动为平移时点的加速度合成定理：在任一瞬时，动点的绝对加速度等于在同一瞬时动点相对加速度和牵连加速度的矢量和。它与速度合成定理一样满足平行四边形合成法则，即绝对加速度位于相对加速度和牵连加速度所构成平行四边形对角线位置。在求解时也要画加速度平行四边形来确定三种加速度之间的关系。例题
16、7-7 如图 7-12a 所示，曲柄 OA 以匀角速度 绕定轴 O 转动，丁字形杆 BC 沿水平方向往复平动，滑块 A 在铅直槽 DE 内运动，OA=r，曲柄 OA 与水平线夹角为 ,试t求图示瞬时，杆 BC 的速度及加速度 CDABEO vraeCABE解：滑块 A 为动点，丁字形杆 BC 为动系，地面为定系。动点 A 的绝对运动是曲柄OA 绕 O 轴的定轴转动；相对运动为滑块 A 在铅直槽 DE 内的直线运动；牵连速度为丁字形杆 BC 沿水平方向的往复平移。（1）求杆 BC 的速度作速度的平行四边形，如图 7-12b 所示。动点 A 的绝对速度为rva杆 BC 的速度为 tsinieBC（
17、2）求杆 BC 的加速度作加速度的平行四边形，如图 7-12c 所示。动点 A 的绝对加速度为2ra杆 BC 的加速度为 tcoscseBC2例题 7-8 如图 7-13a 所示的平面机构中，直杆 O1A、O 2B 平行且等长，分别绕 O1、O 2轴转动，直杆的 A、 B 连接半圆形平板，动点 M 沿半圆形平板 ABD 边缘运动，起点为点B。已知 O1A=O2B=18cm，AB=O 1O2=2R，R=18cm ， ， ，试求当t8时，动点 M 的绝对速度和绝对加速度。st3x1 2Dy1 2ver30S=BM=t2yxO1 2ADMBvrne解：根据题意，选半圆形平板 ABD 为动系，地面为定
18、系。由于直杆 O1A、O 2B 平行且等长，则动系 ABD 作平移，动点 M 的牵连速度为（cm/s）Ave 181动点 M 牵连速度的方向垂直于直杆 O1A，沿角速度 的转动方向。由于动系作曲线运动，动点 M 的牵连加速度分为切向和法向加速度，即（cm/s 2）508221.)(ane0动点 M 的相对速度为 tsvr2同理，动点 M 的相对加速度也分为切向和法向加速度，即 Rarnsr2当 时，动点 M 的相对轨迹为st3（cm）t9而（cm）Rs182则当 时，动点 M 恰巧运动到半圆形平板 ABD 最高点，动点 M 相对速度的方向为水st3平向左，即（cm/s）tsvr6（cm/s 2
19、）7419822.)(Ran（cm/s 2）r此时直杆 O1A 与水平线的夹角为 618t（1）动点 M 的绝对速度如图 7-13b 所示，由速度合成定理的矢量形式 reav向直角坐标轴 x、 y 上投影，得动点 M 的绝对速度在坐标轴上的投影为（cm/s）4206.sinvera （cm/s）723.coey从而得动点 M 的绝对速度为（cm/s）5820402 ).(vayxa （2）动点 M 的绝对速度如图 7-13c 所示，由牵连运动为平移时点的加速度合成定理的矢量形式 nrnerea a向直角坐标轴 x、 y 上投影，得动点 M 的绝对加速度在坐标轴上的投影为（cm/s 2）67.c
20、osnera（cm/s 2）0iy从而得动点 M 的绝对加速度为（cm/s 2）167222 .)(.(ayxa 7.3.2 牵连运动为定轴转动时点的加速度合成定理设动系 相对于定系 作定轴转动，角速度矢量为 ，角加速度矢量为 ，如yxooxy图 7-14 所示，动系坐标轴的三个单位矢量为 ， ， ，在定系 中是变矢量，由定ijkoxy轴转动中的速度矢量式(6-15) 得动系的三个单位矢量 ， ， 对时间的导数等于各单位矢量端点的速度， zxOir即（7-idtjdtkdt15）动点 的绝对速度为Mtarv动点 的牵连速度为 e动点 的相对速度为 kjirvzyxtd动点 的牵连加速度为Mev
21、ae动点 的相对加速度为 kjizyxtdrr 由速度合成定理（7-rvea16）式（7-16）对时间求导，得动点 的绝对速度为M )zyx()zyx()(dttdrea kjikjiv ( )z()z( jiji)re yxrevra2即（ 7-crea17）（7-rcv218）式中， 称为科氏加速度，是科利澳里加速度在 1832 年给出的，当动系作平移时，其角ca速度矢量为 ，科氏加速度 ，式（7-18 ）就转化为式（ 7-14） 。00ca式（7-18）为牵连运动为定轴转动时点的加速度合成定理：在任一瞬时，动点的绝对加速度等于在同一瞬时动点相对加速度、牵连加速度和科氏加速度的矢量和。牵连
22、运动为定轴转动时点的加速度合成定理适合动系作任何运动的情况，此时动系的角速度矢 可以分解为定系三个轴方向的角速度矢 ， ， 即可。xyz例题 7-9 刨床的急回机构如图 7-15a 所示。曲柄 OA 与滑块 A 用铰链连接，曲柄 OA以匀角速度 绕固定轴 O 转动，滑块 A 在摇杆 O1B 上滑动，并带动摇杆 O1B 绕固定轴O1 转动。设曲柄 OA=r，两个轴间的距离 OO1=l，试求当曲柄 OA 在水平位置时，摇杆O1B 的角速度 和角加速度 。11C vear y1x en2Cr解：根据题意，选滑块 A 为动点，摇杆 O1B 为动系，地面为定系。动点 A 绝对运动为曲柄 OA 的圆周运动
23、，动点 A 相对运动沿摇杆 O1B 的直线运动，牵连运动为摇杆 O1B绕固定轴 O1 转动。（1）求摇杆 O1B 的角速度 1当曲柄 OA 在水平位置时，动点 A 的绝对速度 沿圆周的切线铅锤向上，动点 A 的av相对速度 沿摇杆 O1B，牵连运动 垂直摇杆 O1B，作速度的平行四边形，如图 7-15arvev所示。动点 A 的绝对速度 为ara（1）动点 A 的牵连速度 为ev1AOve（2）利用速度的平行四边形的三角关系有sinae（3）其中， ， ，21lrAO21lrAOsin21lrAOco将式（1）和式（2）代入式（3）得摇杆 O1B 绕固定轴 O1 转动的角速度，2l（4）转向与
24、曲柄 OA 的角速度 相同。动点 A 的相对速度 为rvcosvar（5）将式（1）代入式（5）得2lrcosvar （6）（2）求摇杆 O1B 的角加速度 1由于动系作定轴转动，因此求摇杆 O1B 的角加速度 ，应选择牵连运动为定轴转动1时点的加速度合成定理。即（7）crea动点 A 的绝对加速度 分为切向加速度和法向加速度，但由于曲柄 OA 以匀角速度a绕固定轴 O 转动，所以其角加速度 ，则有02na（8）动点 A 的牵连加速度 为e23421)rl(AOn（9）211lae（10）动点 A 的相对加速度 大小未知，方向沿摇杆 O1B 是已知的。r动点 A 的科氏加速度由式（7-18）的
25、矢量形式，大小为rcva12（11）将式（4）和式（6）代入式（11）得231)rl(rc（12）方向按右手螺旋法则来确定，如图 7-15b 所示。式（7）的具体表达式为crnenaa（13）由图 7-15b 所示，将式（13）向 轴投影，得xO1ceacos（14）将式（8） 、 （10）和（11）代入式（14）得摇杆 O1B 的角加速度 ，即1221)rl(负号说明原假设方向与实际相反，如图 7-15b 所示，应为逆时针转向。例题 7-10 例题 7-6 求杆 AB 的加速度。 BACO enra解：选杆 AB 上的 A 点为动点，凸轮为动系，地面为定系。应用牵连运动为定轴转动时点的加速度
26、合成定理，即（1）crea下面分析加速度：动点 A 的绝对加速度 ：由于动点 A 的绝对运动是作直线运动，故其加速度的方向是已知的，大小是未知的。动点 A 的相对加速度 ：动点 A 的相对运动是沿凸轮边缘的圆周运动，故其加速度r分为切向加速度 和法向加速度 。ranra由前面例题求得相对速度为Recosvar（2）则相对加速度的法向加速度 为nra(3)vr2相对加速度的切向加速度 的方向沿圆轮的切线，指向任意； 的大小是未知的。r ra牵连加速度 ：因为凸轮以匀角速度 绕 O 轴转动，所以牵连加速度为法向加速度ea，切向加速度 ，即nea0(4)22eRAane科氏加速度 ：由式（7-18）
27、的矢量形式得其大小为c(5)rcv2将式（2）代入式（5）得(6)arc2方向按右手螺旋法则来确定，如图 7-16 所示。式（1）的具体表达式为cnrneaa（7）由图 7-16 所示，将式（7）向 x 轴投影，得cnrneasisi（8）其中， ，将式（3） 、 （4）和（6）代入式（8）得杆 AB 的加速度为 Resin2 21eR)asina(si crea 7.4 本章小结1.建立两种坐标系定参考坐标系：建立在不动物体上的坐标系，简称定系。动参考坐标系：建立在运动物体上的坐标系， （简称动系） 。2.动点的三种运动绝对运动：动点相对于定参考坐标系运动。相对运动：动点相对于动参考坐标系运
28、动。牵连运动：动参考坐标系相对于定参考坐标系的运动。3.点的速度合成定理在任一瞬时，动点的绝对速度等于在同一瞬时动点的相对速度和牵连速度的矢量和。 reav4.点的加速度合成定理（1）牵连运动为平移时点的加速度合成定理在任一瞬时，动点的绝对加速度等于在同一瞬时动点相对加速度和牵连加速度的矢量和。 rea在应用速度合成定理和牵连运动为平移时点的加速度合成定理时，应画速度合成和加速度合成的平行四边形，使绝对速度和绝对加速度位于平行四边形对角线的位置。只有画出平行四边形，才能确定三种运动的关系。（2）牵连运动为定轴转动时点的加速度合成定理在任一瞬时，动点的绝对加速度等于在同一瞬时动点的相对加速度、牵连加速度和科氏加速度的矢量和。 crea在应用牵连运动为定轴转动时点的加速度合成定理时，一般采用投影法求解。
