1、- 1 -天津市耀华中学 2017届高三第一次校模拟考试理科数学试题第卷（共 40分）一、选择题：本大题共 8个小题,每小题 5分,共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数 （ ，为虚数单位）是纯虚数，则实数 的值为（ ）A. -6 B. 13 C. D. 【答案】A【解析】解答： 是纯虚数， ，解得 a=6.本题选择 A选项.2. 设变量 ， 满足约束条件 则目标函数 的最小值为（ ）A. 4 B. -5 C. -6 D. -8【答案】D【解析】绘制不等式组所表示的平面区域，结合目标函数的几何意义可知，目标函数在点处取得最小值 .本题选择 D选项.- 2
2、-3. 命题 ： ，命题 ： ，则 是 成立的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：p 真：-13，当 x363无解；当 3x3 时, x+3(3x)3解得： ；当 x3时， x+3x+33解得： x3；集合 ， ，对于集合 B，令 ，即集合 B=x|x2，可得 .10. 执行如图所示的程序框图，则输出 的结果是_- 6 -【答案】2【解析】阅读流程图可得，该流程图的功能为计算：11. 由曲线 ，直线 及 轴所围成的图形的面积为_【答案】考点：定积分及运用12. 已知某几何体的三视图如下图所示，根据图中标出的尺寸（
3、单位： ） ，可得这个几何体的体积是_ 【答案】12【解析】由三视图可知：该几何体可以看成一个棱长为 4，2，3 的长方体的一半。 .13. 设 与 均为正数，且 ，则 的最小值为_- 7 -【答案】【解析】根据题意，即 x+2y的最小值为 点睛：一是在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得” ，若忽略了某个条件，就会出现错误14. 设函数 的定义域为 ，如果存在正实数 ，使得对任意 ，都有 ，且恒成立，则称函数 为 上的“ 的型增函数” ，已知 是定义在 上的奇函数，且在 时， ，若 为 上的“2017 的型增函数” ，
4、则实数 的取值范围是_【答案】【解析】 f(x)是定义在 R上的奇函数,且当 x0时, f(x)=|xa|2a， ，又 f(x)为 R上的“2017 型增函数” ，(1)当 x0时，由定义有| x+2017a|2a|xa|2a，即| x+2017a|xa|，其几何意义为到点 a小于到点 a2017 的距离，由于 x0,故可知 a+a2017|x+a|+2a，即| x+a|x+2017+a|，其几何意义表示到点 a的距离小于到点 a2017 的距离，由于 x0,得 ；若 x+20170，则有| x+2017a|2a|x+a|+2a，即| x+a|+|x+2017a|4a，其几何意义表示到到点 a
5、的距离与到点 a2017 的距离的和大于4a，- 8 -(2)当 a0 时，显然成立，当 a0时，由于| x+a|+|x+2017+a|aa+2017|=|2a2017|，故有|2 a2017|4a,必有 20172a4a,解得 ，综上,对 x R都成立的实数 a的取值范围是 ，即： .三、解答题 （本大题共 6小题，共 80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数 ， .（）求 的最大值；（）设 中，角 、 的对边分别为 、 ，若 且 ，求角 的大小.【答案】 （） 的最大值为 ; （） .【解析】试题分析：(1)化简三角函数式 可得 的最大值为 ;(2)利用题意结合
6、正弦定理求得 ， ， .试题解析：（）.（注：也可以化为 ）所以 的最大值为 .（）解：因为 ，由（）和正弦定理，得 .又 ，所以 ，即 ，而 是三角形的内角，所以 ，故 ， ，所以 ， ，16. 一个口袋中装有大小相同的 2个白球和 3个黑球.（）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；（）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数分分布列与期望.- 9 -【答案】 （） ; （）见解析.【解析】略17. 如图，四棱锥 中， 平面 ， ， ， 是棱 的中点.（）若 ，求证： 平面 ；（）求 的值，使二面角 的平面角最小.【答案】 （）见解析; （） .【解析】试
7、题分析：(1)利用题意证得 ， . 平面 .(2)建立空间直角坐标系，由题意可得 ，要使 最小，则 最大，得.试题解析：当 时， ， . .又 平面 ， . 平面 .又 平面 ， .又 ， 是棱 的中点， . 平面 .- 10 -（）如图，建立空间直角坐标系 ，则 ， ， . 、 .设平面 的法向量为 ，则取 ，得 .又易知平面 的法向量为 .设二面角 的平面角为 ，则要使 最小，则 最大，即 ， ，得18. 已知单调递增的等比数列 满足 ，且 是 ， 的等差中项.（）求数列 的通项公式；（）若数列 满足 ，求数列 的通项公式；（）在（）的条件下，设 ，问是否存在实数 使得数列 （ ）- 11
8、 -是单调递增数列？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】 （） ;（） ; （）.【解析】试题分析：(1)由题意求得 ， ， ；(2)利用题意错位相减可得 ；(3)题中不等式转化为 ，分类讨论当 为大于或等于 4的偶数，当 为大于或等于 3的奇数时，两种情况可得 的取值范围是 .试题解析：（）设此等比数列为 ， ， ， ，其中 ， .由题意知： ，. 得 ，即 ，解得 或 .等比数列 单调递增， ， ， ；（）由（）可知 （ ） ，由 （ ） ，得 （ ） ，故 ，即 （ ） ，当 时， ， ， ；（） ，- 12 -当 时， ， ，依据题意，有 ，即 ，当 为大于或等于
9、4的偶数时，有 恒成立，又 随 增大而增大，则当且仅当 时， ，故 的取值范围为 ；当 为大于或等于 3的奇数时，有 恒成立，且仅当 时， ，故 的取值范围为 ；又当 时，由 ，得 ，综上可得，所求 的取值范围是 .19. 已知抛物线 ： 的焦点 也是椭圆 ： （ ）的一个焦点，与 的公共弦长为 .（）求 的方程（）过点 的直线与 相交于 ， 两点，与 相交于 ， 两点，且 ， 同向.（1）若 求直线的斜率；（2）设 在点 处的切线与 轴的交点为 ，证明：直线绕点 旋转时， 总是钝角三角形.【答案】 （） ; （）见解析.【解析】试题分析：（1）根据已知条件可求得 的焦点坐标为 ，再利用公共弦
10、长为即可求解；（2） （i）设直线 的斜率为 ，则 的方程为 ，由- 13 -得 ，根据条件可知 ，从而可以建立关于 的方程，即可求解；（ii）根据条件可说明 ，因此是锐角，从而 是钝角，即可得证试题解析：（1）由 ： 知其焦点 的坐标为 ， 也是椭圆 的一焦点， ，又 与 的公共弦的长为 ， 与 都关于 轴对称，且 的方程为，由此易知 与 的公共点的坐标为 ， ，联立，得 ， ，故 的方程为 ；（2）如图， ， ， ，（i） 与 同向，且 ， ，从而 ，即，于是 ，设直线 的斜率为，则 的方程为 ，由 得 ，而 ， 是这个方程的两根， ， ，由 得，而 ， 是这个方程的两根， ，将带入，得
11、，即， ，解得 ，即直线 的斜率为 .- 14 -（ii）由 得 ， 在点 处的切线方程为 ，即，令 ，得 ，即 ， ，而 ，于是，因此 是锐角，从而是钝角.，故直线 绕点 旋转时， 总是钝角三角形.考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆位置关系.【名师点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其性质以及直线与椭圆的位置关系，属于较难题，解决此类问题的关键：（1）结合椭圆的几何性质，如焦点坐标，对称轴， 等；（2）当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果
12、及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量.20. 已知函数 ， （ ）（）讨论 的单调性；- 15 -（）证明：当 时，函数 （ ）有最小值.记 的最小值为，求 的值域；（）若 存在两个不同的零点 ， （ ） ，求 的取值范围，并比较与 0的大小.【答案】 （） 在 ， 单调递增; （ ） ; （）见解析.【解析】试题分析：(1)首先求得函数的定义域，然后结合导函数的解析式可得 在 ， 单调递增；(2)结合(1)的结论可得 .结合新函数的性质有值域为(3)结合导函数的性质，可得实数 a的取值范围为 ，构造新函数即可证得题中的结论试题解析：（） 的定义域为 .，当且仅当 时，
13、 ，所以 在 ， 单调递增，（）由（）知， 单调递增，对任意 ， ，因此，存在唯一 ，使得 .当 时， ， 递减，当 时， ， 递增.所以 有最小值 .而 ，所以 在 上递增.所以 ，即 的值域为（）定义域为 ，- 16 -当 时， 在 上递增，舍.当 时， 在 上递增，在 上递减， ， ， ，所以 ， .设 ，所以 在 上递增， ，即所以 ，又 ，所以 ， 且在 上递减所以 ，即 ， .所以点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用
