1、变时滞不确定关联系统的分散鲁棒无记忆控制第 l8 卷第 4 期2001 年 8 月控制理论与应用GONTROLTIORYANDAPPLICATIONSVol18,No.4Aug.,2001女章编号:10(308152(200)04 一 O59304变时滞不确定关联系统的分散鲁棒无记忆控制叶卓映孙继涛余昭旭(问济大学应用数学系- 上海.2 蚴 1)摘要:针对一类不确定项具有数值界的变时滞不确定关联系统 ,主要运用线性矩阵不等式(LMI)方法对其分散鲁棒无记忆控制问题进行了研究.首先,通过构造适当形式的 Lyamov 泛函数,运用 LMI 方法与矢量不等式方法,提出了以一组 LIIs 有解作为系统
2、可分散鲁棒无记忆控制的充分条件,并给出了系统在此条件下的控制律.然后,将求解一个具有【Mb 约束的凸优化问题作为设计尽可能小反馈增益的分散鲁棒无记忆控制律的系统化方法,从而可以得到更符合实际的满意的分散无记忆控制律关键词:分散控制;鲁棒控制;无记忆控制;不确定系统;线性矩阵不等式文献标识码:ADecentralizedMemorylessRobustControlforLinearUncertainInterconnectedSystemswithTime?VaryingDelaysYEZhuoying.SUNJitaoandYU 刁 1a0xutD 印啪【of 却 plI.dMalhelaf
3、ics,Ton1Uaivea,atyShanghai,200331,P.Rch 幻 a)A 咖:Wcuselinearmatrixin 镧 Iy(LMI)appexhtoaodythedc 辑 mjzedlessrobust岫l 删黜forlinearuncem6ninterconnectedsystemswithe_吨 delaysFast,bycolm-uaIXopcr印 mliversalfuacticandusingLandvectinequalis.wepresentsufficientconditis 灯础cenceofdece.nlralizeclnm,aca71essrobus
4、tstabi-L_啪60IlandetheconlinoUer.Secondly,presentasystematicmethodfordecelmalizedclroUerswithanal1feedbackgainSo,wecanrlvemorepracticalandsatisfactdecenwalJxeclmcmm-ylessrobustcnaoUersKeywords:dec 朗i 日 0dc 咖I:robostcceacl;memorylcontcol;tmcertainsystem;linearmatrixineqmty1 引言(Introduction)由于以下三个原因,对变
5、时滞不确定关联系统的分散鲁棒无记忆控制问题的研究在理论上和实际中都意义重大.第一,关联大系统的鲁棒无记忆分散控制把高阶大系统分饵成若干低盼子系统,对各子系统进行分别控制,且控制无记忆,其可靠性强,计算量少,实现起来也经济可靠,因此此方法意义重大第二,在实际大系统中,由于环境变化等因素引起的不确定项往往具有数值界的表达形式,可表示为 llE,即矩阵中每个元素的绝对值小于矩阵 E 中的相应元素,其中 E 为非负常数阵这种表达形式不需要满足匹配条件,因而更具实际意义和一般性基于不确定项的数值界表达形式,可以去掉不确定项分解后所附加的一些约束条件,从而有可能得到更易于实现的分散鲁棒控制器.第三,在实际
6、工程中,由于惯性等因素的影响,系统还常含有时收稿日期:19990428;收修改稿日期:2OOO 一 03 一叮滞,且往往为变时滞.LMI 方法 _2 以其求解的高效性近来成为鲁棒分析与设计的一种重要工具.本文运用 LMI 方法研究一类不确定项具有数值界的变时滞不确定关联系统的分散鲁棒无记忆控制问题,得到了两个结果.其一,提出了大系统可分散无记忆镇定的一个充分条件;其二,提出了一种反馈增益尽可能小的分散鲁棒无记忆控制的设计方法.文3用 Riccati 方程方法研究了一类不确定性关联大系统的分散鲁棒控制问题.本文与文3比较,运用的 LMI 方法克服了计算繁杂,应用不便的问题,并将问题推广到了带变时
7、滞的更一般的青况.2 问题描述及引理(Problemstatementandlemmas)考虑一类由个子系统构成的具有数值界的变时滞不确定性关联大系统:控制理论与应用 l8 卷毫(f)=也+() 墨()+Bi+()“f(f)+4+4()(一(f).(1)其中 f=1,2,-一 ,置(f)珊,(f) 珊分别为状态向量和控制向量;A,BiA 有适当的维数,A,B,A 代表标称系统,(A,B)是可控的,A 为互联矩阵.,J4, 为时变不确定项,它们有如下数值界:I 她 kG,II,I 蛆 l置,iJ=1,2,N.(2)其中 c,D 和臣为具有非负元素的实常阵,并分别与 AAf,AA,AB 同维.I
8、I 五的含义是 II,i,=1,2, 其中 eq 和分别为矩阵 和的第个对应元素.而其中的不确定参数满足.cc 以及c 珊,其中 i,J=1,2,N,为有界紧集.另外,变时滞r 满足0()r+,0(f)h1.(3)下面给出两个引理:引理 1设和 y 是具有适当维数的向量或矩阵,则对任意的正数0,有XTy+yTaxx+一 yTY成立.引理 2 若 nm 阶矩阵J4 满足 IID,则n(D)AAAA,r(D)AAAA.式中,川 DDTl1,IIDDrII?aig(ooT),n(D)idi(),其它,fIIDTDl_,mIID1I,mmdiag(DTD),D)idi(DTD),其它,其中厶表示单位方
9、阵,m 表示 mm 单位方阵,d(R)=d(FI1,r,r 肌),=(r0)为 n 阶对称阵.证我们只证明 n(D)J4成立,另一式子的证明类似可证.n(D)AAAA 的证明可分两步 :1)fIDDIf,nJ4;2)diag(DD) J4.先证明 1).由 IJ4ID 显然可知 lDDllllJ4I1,所以I1DDvI1 llAAAAI1 J4.再证明 2),与文献5中证明类似,设 D(),AA=(),则对所有的,有n?diag(DD)=?.以:吉(dd+叶)一J-一 t-J,1(冀 n+耳)一J.【-t-J?施口斗=(J4).这样,显然 n?diag(DD)J4成立.2)得证.从而引理 2
10、得证.注 1 引理 2 中矩阵范数 llI1 定义为的最大奇异值,即 I1I1=dM=(),矢量范数 llal1 定义为 a 的 2 范数,即 lla11=r口,其中是维向量 n 的第个元素.【=13 主要结果(Mainresults)定理 1 对于满足式(2),(3)的滞后不确定关联系统(1),如果存在矩阵 ,1,正定矩阵 q,正数且,使下面 LMIs:A;r(c.)Qjr()壹 ,QP(C)一oO(E)qOO一00 一 Fi0(4)成立,那么系统(1)可分散无记忆状态反馈镇定.反馈增益阵墨=Q,其中=A,Q+Qj+(q+晟),+B+yTTr+Fl1+F2,F:J4F:n( 巩),1=,.证
11、对系统(1)采用控制律 =,则闭环子系统为戈 f():A+AAX()+B+ABKXi(f)+AA( 一().(5)考虑如下 Lyaov 泛函数4 期变时滞不确定关联系统的分散鲁棒无记忆控制 595(=(P/xl+砉(s)叶(s)d5)其中 P 为正定阵 .显然 I,()正定.()沿系统(5)的轨线的时间导数为(毛):喜血+喜( 一 l|】(1 一()(一(f)尊(一(f)=(蹦+J4T+4+ 4T+K+日 K+TnDT)+h(山 +AA)(一(f)+一(1 一()()(f)._(6)由引理 l,引理 2 可知:A+4cqPP+n4An+n(q),(7)PABiKI+K丑豫PiPi+酐岛 Pc+
12、Tr(E)Ki(8)在引理 1 中令.=1,可得:2(J4+)( 一()(J4A+AAJ4T)P 点 +2(f(f)(f()(J4J4;+a(D)PiXi+2(一()( ().(9)将式(7),(8),(9) 代入式(6), 并由式(3)知:()pet+J4f+nc+nr(Ci)+PcB+TfDTP+.9+.9jrr(Ec)墨 +Tr,lT 十勺 r:十 T(fr)丐( 一)】+舟 T(t-z0“()叶(f()_-PA+J4TPc+niP+n(c)+P 墨+TiDTcPi+卢 cPi+(臣)墨+PFl+:+:,其中F.=J4 一,F2:n(D),=,.由 Lyapunov 稳定性定理知,如果不
13、等式PA+Af+nP+n(C)+Pl 丑 K+KTt 醴 P+8PPt+I;tKTF(E)墨 +PF1+PF2:+0(10)有正定对称解 P,则变时滞不确定性大系统 (1)可分散状态反馈镇定.在式(10)两边分别左乘和右乘 P,记=P,=Kn,得J4iQ+Q4+O.i,+n.Q,(cf)Q+毋+巾+,+(E)+n+nf+QF3iQI0.(11)由 Schur 补,知式(11) 等价于 L/MIs 式(4), 于是定理 1得证注 2 用 MATLAB 软件中有关 I.MI 的相应命令可方便地根据定理 1 求得分散稳定化控制律.定理 1 的方法不仅给出了一个分散稳定化控制律,而且给出了一组分散稳定
14、化控制律的参数化表示.从而,便于设计满足一定附加要求的分散稳定化控制器.定理 2 如果凸优化问题rain(+),:0,0,约束条件为 LIMs(4)及下面式子蔓0j【Ql.(12有解,则可保证系统(1)具有较小的反馈增益墨=yfQ_.证考虑吼,0厦,(13)其中 f0,0.由于 Ki=Y,Qz,则啦=Q 吼 Q阳因此可以通过使,的极小化来保证分散控制律具有较小的反馈增益,这样,可以建立一个凸优化问题mln(f,+ 厦 ),ffc0,0,控制理沦与应用 18 卷约束条件为式(13).只要此凸优化问题有解,便可以保证系统(1)的反馈增益足够小.而由初等变换易知式(13)等价于式(12),故定理 2
15、 得证.注 3 定理 2 中的凸优化问题具有一组 LMIs约束,可以应用 MATLAB 的 LMI 软件中的 illincx 命令求解,故求解方便易行.注 4 定理 2 提供了种设计具有较小反馈增益的分散稳定化控制律的系统化方法,克服了现有方法中靠盲目试凑参数来寻找具有较小反馈增益的分散稳定化控制律的缺陷.1MMSStabilizingcontrolforaclassofcintereon-nectcdsystemsJl 既 TmnsAutomaticCoaul,1994.39(12):24I 一 2488【2J1waeT.SkeltortREAllcomrollersf【Ithegenera
16、lHconolpr.b1nLMIexlstmcecoadifics 柚 dsspaceformulas】jAm 堪 na6 盟 ,1994,30(8):1307131“731AuXinpa.Le!u,gWenliI)eclraliz.edroblicontrolfmfinearu0 口 interconnectedsystemsIhl 虹 monandCon 一.1 螂,27(5):342 350(inChinese)4WangYY.Ltt,EdeSouZaRlofunNolllj1syamI.SymemsControlLettet.1992,19(1):1391495MD.dMA,FemnFRoa.smgmmdoVaalityof皿山蜘 ccourollrfor 日 tai 口 systemsI.Automatlca.1996.32(7):10811083本文作者简介叶卓映 1974 年生硕士研究生研究领域:时滞不确定系统的鲁棒控61.孙继涛6l,容错控6l余昭旭鲁棒控制1963 年生教授研究领域:时滞不确定系统的鲁捧控978 年生.硬士研究生.研究领域:时滞不确定系统的
