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六大基本初等函数图像及其性质
、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C为常数）；
常数曲数
(y C)
C
0
C
0
y J
C C
y j
y C
y 0
O
i x
O
平彳"x
轴的直线
y轴本身
定义域R
定义域R
1）当a为正整数时，函数的定义域为区间为 x （ ， ） ,他们的图形都经过原点，并当a >1时
在原点处与X轴相切。且a为奇数时，图形关于原点对称；a为偶数时图形关于 y轴对称；
2）当a为负整数时。函数的定义域为除去 X=0的所有实数；
3）当a为正有理数 m时，n为偶数时函数的定义域为（0, + 8）, n为奇数时函数的定义域为（- n
oo,+ oo）,函数的图形均经过原点和（1 ,1 ）；
4）如果m>n图形于x轴相切，如果 m0, aw 1)的b次哥等于N,就是ab N,那么数b叫做以a为底N的对数， 记作loga N b ,其中a叫做对数的底数，N叫做真数，式子loga N叫做对数式。
对数函数y loga x与指数函数y ax互为反函数，所以y loga X的图象与y ax的图象 关于直线y X对称。
2 .常用对数：logio N的对数叫做常用对数，为了简便， N的常用对数记作lg N。
3 .自然对数：使用以无理数e 2.7182为底的对数叫做自然对数，为了简便， N的自然对数10geN简
记作ln N。
4 .对数函数的图象：
y X 1 y i x 1
'y y log ax (a 1)
1)
5 .对数函数的性质；
性质 函数
y loga x
(a 1)
y log a x
(0 a 1)
定义域
(0 , +00)
值域
R
奇偶性
非奇非偶
公共点
过点(1 , 0),即x 1时，y 0
单调性
在(0,+ 8)上是增函数
在(0,+ 8)上是减函数
1)对数函数的图形为于 y轴的右方，并过点(1,0);
2)当a 1时，在区间(0,1) , y的值为负，图形位于 x的下方；在区间(1, + ), y值为正，图形位于
x轴上方，在定义域是单调增函数。 a 1在实际中很少用到。
专业整理
6.(选，补充)对数函数值的大小比较
a.底数互为倒数的两个对数函数
y loga x
y log1 x a
10g 3 X
b.2.当(0 a 1)时，a 值越大，f (X) log
的图像越远离X轴。
7.对数的运算法则(公式)；
a.如果 a> 0, aw1, M> 0, N>0,那么:
loga MN
lOgaM loga N
loga
loga M loga N
logaMn
nlog a M
b.对数恒等式:
(a 0且a 1, N 0)
d.对数运算性质
当a 1时，a值越大，f (X)
lOgaX
b.1.
c.换底公式:
(1) logb N
loga N
logab
(a 0,a
般常常
换为e或io为底的对数
lg N logb N -7—) lgb
⑴1的对数是零，即loga1 0；同理ln1 0或lg1
，即 10gb
(2)由公式和运算性质推倒的结论:
logan bn
n I u 一log a b m
(2)底数的对数等于1,即log a a 1 ；同理ln e 1或lg10 1
log」
3
ln N
或
ln b
五、三角函数
1.正弦函数y sinx,有界函数，定义域 x （,），值域y [ 1, 1]
2.余弦函数y cosx,有界函数，定义域 x （,），值域y [ 1, 1]
3.正、余弦函数的性质;
-‘..•・一,「性质 函数
y sinx(k Z)
y cosx (k z)
定义域
R
值域
[-1,1]
[-1,1]
奇偶性
奇函数
偶函数
周期性
T 2
T 2
对称中心
(k ,0)
(k -,0)
2
对称轴
x k —
2
(k -，0) 2
单调性
在x 2k —,2k 一上是增函数
2 2
在x 2k ,2k 上是减函数
2 2
在x 2k ,2k 上是增函数
在x 2k ,2k 上是减函数
最值
x 2k 二时，ymax 1
2
x 2k 二时，ymin 1
2
x 2 k 时，ymax 1
x 2k 时，ymin 1
6.正、余切函数的性质;
“‘、一、性质 函数、
y tanx（k z）
y cotx（k z）
定义域
x k
2
x k
值域
R
R
奇偶性
奇函数
奇函数
周期性
T
T
单调性
在（一k ,— k ）上都是增函数 2 2
在（k ,（k 1））上都是减函数
对称中心
k c、
（2，0）
k c、
（2,0）
令点
（k ,0）
（k -,0） 2
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专业整理
8.余割函数y cscx
1 y secx的图像
二 ,无界函数，定义域 xx k ,(k Z),值域cscx 1
sin x
y
y cscx的图像
9.正、余割函数的性质；
生质 函数
y secx (k Z)
y cscx (k Z)
定义域
x x — k 2
Xx k
值域
(,1] [1,)
(,1] [1,)
奇偶性
偶函数
奇函数
周期性
T 2
T 2
单调性
3
(2k -,2k ) (2k ,2k —)
2 2
减
(2k ,2k 一) (2k —,2k )增
2 2
3 …
(2k ,2k -) (2k — ,2k 2 )减
2 2
3 (2k -,2k ) (2k ,2k ——)
2 2
增
续表:
性质 函谈\、
y secx (k z)
y cscx (k Z)
对称中心
(k 一，0) 2
(k ,0)
对称轴
x k
x — k 2
渐近线
x - k 2
x k
六、反三角函数
1 .反正弦函数 y arcsinx,无界函数，定义域［-1,1］，值域［0,:］
- - 上的反函数称为反正弦函数，记为
2 2
a.反正弦函数的概念： 正弦函数 y sin x在区间
y arcsin x
2 .反余弦弦函数 y arccosx,无界函数，定义域［-1,1］，值域［0,］
b.反余弦函数的概念： 余弦函数 y cosx在区间0, 上的反函数称为反余弦函数，记为
y arcsin x的图像 y arccosx的图像
3.反正、余弦函数的性质;
“'7生质 函数
y arcsin x
y arccosx
定义域
[-1,1]
[-1,1]
值域
[0,]
[0,]
奇偶性
奇函数
非奇非偶函数
单调性
增函数
减函数
4 .反正切函数 y arctan x,有界函数，定义域 x （,），值域
2 ’ 2
c.反正切函数的概念： 正切函数y tanx在区间 —,— 上的反函数称为反正切函数，记为
2 2
y arctanx
5 .反余切函数 y arc cot x ,有界函数，定义域 x （,），值域0,
d.反余切函数的概念： 余切函数 y cotx在区间 0, 上的反函数称为反余切函数，记为
6.反正、余弦函数的性质;
函数 性质'
y arctanx
y arc cot x
定义域
R
值域
2,2
0,
奇偶性
奇函数
非奇非偶
单调性
增函数
减函数
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三角函数公式汇总
一、任意角的三角函数
在角 的终边上任* 一点P(x, y),记：r Vx2 y2
正弦：
sin
y
余弦：
cos
x
r
r
正切：
tan
y
余切：
cot
x
x
y
正割：
sec
r
余割：
csc
r
x
y
、同角三角函数的基本关系式
专业整理
倒数关系：sin csc 1 , cos sec
1, tan cot 1
, sin , cos
商数关系：tan , cot
cos sin
平方关系：sin2 cos2 1, 1 tan2
三、诱导公式
2 2
sec , 1 cot
2 csc
x轴上的角，口诀：函数名不变，符号看象限; y轴上的角，口诀：函数名改变，符号看象限,
四、和角公式和差角公式
sin(
)
sin
cos
cos
sin(
)
sin
cos
cos
cos(
)
cos
cos
sin
cos(
)
cos
cos
sin
五、二倍角公式
sin2 2sin cos
2 . 2
cos2 cos sin
sin
tan(
)
tan
tan
sin
1 tan
tan
sin
tan(
)
tan
tan
sin
1 tan
tan
tan2
2 tan
1 tan2
2cos2
1 1
2sin2
2
二倍角的余弦公式常用变形：(规律：降幕扩角，开幕缩角)
2
1 cos2 2cos
2
1 sin 2 (sin cos )
1 cos2 2sin
2
1 sin 2 (sin cos )
2 1 cos2
cos
1 sin 2
1 cos2
sin 2
六、三倍角公式
sin 3
3sin
4sin3
4sin
sin(—
3
sin 2
cos3
3
4cos
3cos
4cos
cos(一 3
)cos(— 3
tan3
3tan
,3 tan
2
1 3tan2
tan
tan
)tan(3
七、和差化积公式
sin sin
2sin cos
2 2
cos
cos
sin sin
2cos sin ——
2 2
cos
cos
八、辅助角公式
. . 2 . 2 .,
asinx bcosx \a b sin(x
其中：角 的终边所在的象限与点（a,b）所在的象限相同,
sin
b
cos
VFV，
a
\ a2 b2
九、
三角函数的周期公式
函数 y Asin( x
R及函数
A cos( x )
0, 0)
函数 y Atan( x )
/ z(a，
,，为常数，且
1 cos2
2cos cos
2 2
2 sin sin
2 2
R（A,,，为常数，且
0, 0)
周期：T
十、正弦定理
sin A sin B
c
sinC
2R （R为ABC外接圆半径）
-2 2 *
a b c
2bc cosA
专业整理
b2
2 a
2 c
2ac
cosB
2 c
2 a
b2
2ab
cosC
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