1、11.5 二次函数的应用第 1 课时 抛物线形二次函数学习目的【知识与技能】能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能利用二次函数的知识解决实际问题.【过程与方法】经历运用二次函数解决实际问题的探究过程,进一步体验运用数学方法描述变量之间的依赖关系,体会二次函数是解决实际问题的重要模型,提高运用数学知识解决实际问题的能力.【情感态度】1.体验函数是有效的描述现实世界的重要手 段,认识到数学是解决问题和进行交流的重要工具.2.敢于面对在解决实际问题时碰到的困难,积累运用知识解决问题的成功经验.【学习重点】用抛物线的知识解决拱桥类问题.【学习难点】将实际问题转化为抛物线的知识来
2、解决.自学过程一、情境导入，初步认识通过预习 P29页的内容，完成下面各题.1.要求出教材 P29动脑筋中“拱顶离水面的高度变化情况” ，你准备采取什么办法？2.根据教材 P29图 1-18，你猜测是什么样的函数呢？3.怎样建立直角坐标系比较简便呢？试着画一画它的草图看看！4.根据图象你能求出函数的解析式吗？试一试！二、思考探究，获取新知探究 直观图象的建模应用例 1 某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为 8m，两侧距地面 3m 高处各有一盏壁灯，两壁灯之间的水平距离是 6m,如2图所示，则厂门的高（水泥建筑物厚度不计，精确到 0.1m)约为（ ）A.6.9m B.7.0m C
3、.7.1m D.6.8m【分析】因为大门是抛物线形，所以建立二次函数模型来解决问题.先建立平面直角坐标系,如图,设大门地面宽度为 AB,两壁灯之间的水平距离为 CD,则 B,D 坐标分别为(4,0),(3,3),设抛物线解析式为 y=ax2+h.把（3，3） ， （ 4，0）代入解析式求得 h6.9.故选 A.【自学说明】根据直观图象建立恰当的直角坐标系和解析式.例 2 小红家门前有一座抛物线形拱桥,如图,当水面在 l 时，拱顶离水面 2m,水面宽 4m,水面下降 1m 时，水面宽度增加多少？【分析】拱桥类问题一般是转化为二次函数的知识来解决.解:由题意建立如图的直角坐标系,设抛物线的解 析式
4、 y=ax2,抛物线经过点 A（2，-2） ，-2=4a,a=- ,即抛物线的解析式为 y=- x2,11当水面下降 1m 时，点 B 的纵坐标为-3.将 y=-3 代入二次函数解析式，得 y=- x2,得-3=- x2x 2=6x= ,此时水面宽度为 2|x|=2 m.166即水面下降 1m 时，水面宽度增加了(2 -4)m.【自学说明】用二次函数知识解决拱桥类的实际问题一定要建立适当的直角坐标系；抛物线的解析式假设恰当会给解决问题带来方便.三、运用新知，深化理解1.某溶洞是抛物线形，它的截面如图所示.现测得水面宽3AB=1.6m,溶洞顶点 O 到水面的距离为 2.4m,在图中直角坐标系内，
5、溶洞所在抛物线的函数关系式是（ ）A.y= x2 B.y= x2+154154C.y=- x2 D.y=- x2+2.某公园草坪的防护栏是由 100 段形状相同的抛物线形组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距 0.4m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部 0.5m（如图） ，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）A.50m B.100m C.160m D.200m第 2 题图 第 3 题图3.如图，济南建邦大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的表达式为 y=ax2+bx,小强骑自行车从拱梁一端 O 沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面 OC，当小强骑自行车行驶 10 秒时和26 秒时拱梁的
6、高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面 OC 共需 秒.4.(浙江金华中考）如图，足球场上守门员在 O 处踢出一高球，球从离地面 1 米处飞出（A 在 y 轴上） ，运动员乙在距 O 点 6 米的 B 处发现球在自己的正上方达到最高点 M，距地面约 4 米高，球落地后又 一次 弹起.据实验,足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同,最大高度减少到原来最大高度的一半.(1)求足球开始飞出到第一次落地时,该抛物线的表达式;(2)足球第一次落地点 C 距守门员是多少米?(取 4 7,2 5)36(3)运 动员乙要抢到第二个落点 D，他应再向前跑多少米？【自学说明】学生自觉完成上述习题，加
7、深对新知的理解，并适当加以分析，提示如第 4 题，由图象的类型及已知条件，设其解析式为 y=a(x-6)2+4,过点 A（0，1） ，可求出a;（2）令 y=0 可求出 x 的值，x0 舍去；（3）令 y=0,求出 C 点坐标（6+4 ,0),设抛3物线 CND 为 y=- (x-k)2+2,代入 C 点坐标可求出 k 值(k6+4 ).再令 y=0 可求出 C、D1的坐标，进而求出 BD.4【答案】1.C 2.C 3.36 4.解:(1)y=- (x-6)2+4(2)令 y=0,可求 C 点到守门员约113 米. (3)向前约跑 17 米.四、预习小结你学到了什么?还有哪些疑惑?建立二次实际问题的一般步骤:(1)根据题意建立适当的平面直角坐标系.(2)把已知条件 转化为点的坐标.(3)合理设出函数解析式 .(4)利用待定系数法求出函数解析式.(5)根据求得的解析式进一步分析,判断并进行有关的计算.
