1、12.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算课后篇巩固探究1.已知 =(2,3),则点 N 位于( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.不确定解析因为点 M 的位置不确定,所以点 N 的位置也不确定 .答案 D2.已知点 A(-1,-5),向量 a=(-1,0),b=(1,-1),当 =a+2b 时,点 B 的坐标为( )A.(2,7) B.(0,-7)C.(3,-6) D.(-4,5)解析 a=(-1,0),b=(1,-1), a+2b=(-1,0)+2(1,-1)=(1,-2).设点 B 的坐标为( x,y),则 =
2、(x+1,y+5), 由已知得( x+1,y+5)=(1,-2), +1=1,+5=-2,解得 =0,=-7.2 点 B 的坐标为(0, -7).答案 B3.已知 a=(-5,6),b=(-3,2),c=(x,y),若 a-3b+2c=0,则 c 等于( )A.(-2,6) B.(-4,0)C.(7,6) D.(-2,0)解析 a-3b+2c=0, (-5,6)-(-9,6)+(2x,2y)=(0,0),即 2-5+9=0,2+6-6=0, =-2,=0, 即 c=(-2,0).故选 D.答案 D4.已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且 =2 ,则
3、顶点 D 的坐标为( )A. B.(2,72) (2,-12)C.(3,2) D.(1,3)解析设顶点 D 的坐标为( x,y),因为 =(4,3), =(x,y-2),且 =2 , 所以 所以 所以选 A.2=4,2-4=3, =2,=72,答案 A5. 导学号 68254077 已知 ,且向量 =(tan ,1), =(2tan ,-3),+=12 则 =( )A.(3,-2) B.(-3,-2)C.(1,-4) D.(-1,4)解析由 ,可得 2sin = sin + cos ,于是 tan = 1,+=123因此 =(3tan ,-2)=(3,-2).=+答案 A6.设向量 a=(1,
4、-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量 4a,4b-2c,2(a-c),d 的有向线段首尾相连能构成四边形,则向量 d=( )A.(2,6) B.(-2,6)C.(2,-6) D.(-2,-6)解析设 d=(x,y),由题意知 4a=(4,-12),4b-2c=(-6,20),2(a-c)=(4,-2),易知 4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,解得 x=-2,y=-6,所以 d=(-2,-6).答案 D7.设向量 a=(a1,b1),b=(a2,b2),定义一种运算“”, 向量 a b=(a1,b1)( a2,b2)=(a2b1,a1b2).已知 m= ,n= ,点 P
5、(x,y)在 y=sin x 的图象上运动,点 Q 在 y=f(x)的图象上运动且满足(2,12) (3,0)=m +n(其中 O 为坐标原点),则 y=f(x)的最小值为 ( ) A.-1 B.-2C.2 D.12解析由题意知,点 P 的坐标为( x,sin x),则 =m +n= .又因为点 Q 在 y=f(x)的图象上运动,所 (12,2)+(3,0)=(12+3,2)以点 Q 的坐标满足 y=f(x)的解析式,即 y=2sin .所以函数 y=f(x)的最小值为 -2.(12+3)答案 B8.已知 A(3,-5),B(-1,3),点 C 在线段 AB 上,且 =3 ,则点 C 的坐标是
6、 . 解析设 C(x,y),则 =(x-3,y+5),3 =3(-1-x,3-y)=(-3-3x,9-3y). =3 , -3=-3-3,+5=9-3, 解得 x=0,y=1,即点 C 的坐标是(0,1) .答案(0,1)9.若 A(2,-1),B(4,2),C(1,5),则 +2 = . 4解析 A (2,-1),B(4,2),C(1,5), =(2,3), =(-3,3). +2 =(2,3)+2(-3,3)=(2,3)+(-6,6)=(-4,9).答案( -4,9)10.已知向量 a=(1,2),b=(3,1),c=(11,7),若 c=ka+lb,则 k,l 的值分别为 . 解析 a=
7、(1,2),b=(3,1),c=(11,7), (11,7)=k(1,2)+l(3,1),即 解得 k=2,l=3.11=+3,7=2+,答案 2,311.设向量 绕点 O 逆时针旋转 得向量 ,且 2 =(7,9),且向量 = .2 + 解析设 =(m,n),则 =(-n,m), 所以 2 =(2m-n,2n+m)=(7,9),即 因此 .+2-=7,+2=9,解得 =235,=115. =(-115,235)答案 (-115,235)12.平面上有 A(2,-1),B(1,4),D(4,-3)三点,点 C 在直线 AB 上,且 ,连接 DC 延长至 E,使 |=12|= |,则点 E 的坐
8、标为 . 14|解析设 C(x1,y1),依题意有( x1-2,y1+1)= (x1-1,y1-4),12解得 即 C(3,-6).1=3,1=-6,又依题意可得 ,=145设 E(x0,y0),所以( x0-3,y0+6)= (x0-4,y0+3),14解得 故点 E 坐标为 . 0=83,0=-7, (83,-7)答案 (83,-7)13. 导学号 68254078 若 , 是一组基底, =x +y( x,yR),则称( x,y)为向量 在基底 , 下的坐标,现已知向量 a 在基底 p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为( -2,2),则 a 在另一组基底 m=(-1,1),n=(1,
9、2)下的坐标为 . 解析因为向量 a 在基底 p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为( -2,2),所以有 a=-2(1,-1)+2(2,1)=(2,4),设 a=x(-1,1)+y(1,2),则有 -+=2,+2=4,解得 =0,=2.答案(0,2)14.已知点 A(-1,2),B(2,8),及 =- ,求点 C,D 和 的坐标 .=13,13 解设点 C,D 的坐标分别为( x1,y1),(x2,y2),则 =(x1+1,y1-2), =(3,6), =(-1-x2,2-y2), =(-3,-6). =- ,=13,13 (x1+1,y1-2)= (3,6),(-1-x2,2-y2)=
10、- (-3,-6),13 13即( x1+1,y1-2)=(1,2),(-1-x2,2-y2)=(1,2). 1+1=1,1-2=2,-1-2=1,2-2=2. 1=0,1=4,2=-2,2=0. 点 C,D 的坐标分别为(0,4)和( -2,0).故 =(-2,-4).615.已知点 O 是 ABC 内一点, AOB=150, BOC=90,设 =a, =b, =c 且 |a|=2,|b|=1,|c|=3,求 向量 的坐标 .,解(1)设点 A(x,y),B(x0,y0),| a|=2,且 AOx=45,x= 2cos 45= ,且 y=2sin 45= .2 2又 |b|=3, xOB=9
11、0+30=120,x 0=3cos 120=- ,y0=3sin 120= .32 332故 a= =( ),b= . 2, 2=(-32,332)(2)如图所示,以点 O 为原点, 所在直线为 x 轴的非负半轴,建立平面直角坐标系 .| |=1, AOB=150,B (-cos 30,sin 30),B .(- 32,12)| |=3,C (-3sin 30,-3cos 30),即 C .(-32,-323)又 A(2,0), -(2,0)= ,=(- 32,12) (- 32-2,12).=(-32,-323)(- 32,12)=(3-32 ,-33-12 )16.已知 A(-2,4),B
12、(3,-1),C(-3,-4).设 =a, =b, =c,且 =3c, =-2b. (1)求 3a+b-3c;7(2)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n;(3)求 M,N 的坐标及 的坐标 .解 a= =(5,-5),b= =(-6,-3),c= =(1,8). (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2) a=mb+nc, (5,-5)=m(-6,-3)+n(1,8). 5=-6+,-5=-3+8, =-1,=-1.(3)设 M(x1,y1),由 =3c,得( x1+3,y1+4)=3(1,8), 1+3=3,1+4=24.x 1=0,y1=20.M (0,20).同理,设 N(x2,y2),由 =-2b,得( x2+3,y2+4)=-2(-6,-3). 2+3=12,2+4=6,解得 2=9,2=2.N (9,2). =(9,-18).
