1、1模块综合测评( A)(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 12小题,每小题 5分,共 60分)1.已知 ,tan =- ,则 sin(+ ) =( )(2,) 34A. B.- C. D.-35 35 45 45解析由题意可得 sin = , sin(+ ) =-sin =- ,故选 B.35 35答案 B2.函数 y=cos42- sin42 的最小正周期是( )A.2 B.4 C. D.4 2解析 y=cos42- sin42= (cos22+ sin22 )(cos22- sin22 )=cos 4 ,所以最小正周期 T=.故选 D.24=2答案 D3.已知向量
2、 m=(+ 1,1),n=(+ 2,2),若(m +n)(m -n),则 = ( )A.-4 B.-3 C.-2 D.-1解析由题意得(m +n)(m-n)=m2-n2=0,即( + 1)2+1=(+ 2)2+4,解得 =- 3.答案 B24.已知 f(x)=Asin(x+ )( 0),若两个不等的实数 x1,x2 ,且 |x1-x2|min=,则 f(x)的|()=2最小正周期是( )A.3 B.2 C. D.2解析依题意,转化为 sin(x+ )= 有两个不等的实数 x1,x2,|x1-x2|min=,则 =,得 = ,故12 132 23f(x)的最小正周期是 T= =3 .2答案 A5
3、.设 D为 ABC所在平面内一点, =3 ,则( )A. =- B.13+43 =1343C. D.=43+13 =4313解析依题意得 )=- .=+=+43=+43(13+43答案 A6.在 ABC中,若 sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C),则 ABC的形状一定是( )A.等边三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不含 60角的等腰三角形解析由题意知 sin(A-B)=1-2cos Asin B,即 sin Acos B-sin Bcos A=1-2cos Asin B,得 sin Acos B+sin Bcos A=1=sin(A+B),所以 A+B=C= ,所
4、以 ABC的形状一定是直角三角形 .2答案 B7.式子 的值等于( )238+3852-215315A. B. C.2 D.233 33 3 332解析原式 = .(38+52)-215315 =1-21521523= 130=323=233答案 A38.将曲线 y=sin 上所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)得到曲线 A,再把 A上的所(+3) 12有点向右平行移动 个单位长度得到曲线 B,则曲线 B的函数解析式为( )3A.y=sin 2x B.y=sin(2-3)C.y=sin x D.y=sin12 (12-3)解析将曲线 y=sin 上所有点的横坐标缩短为原来的 倍,得到的
5、曲线的解析式为 y=sin(+3) 12,再把所有点向右平移 个单位长度得到的曲线的解析式为 y=sin =sin(2+3) 3 2(-3)+3.(2-3)答案 B9.若向量 a,b满足 |a|=1,(a+b)a,(2a +b)b,则 a,b的夹角为( )A. B. C. D.3 23 4 34解析由条件得: cos = =- ,故 a,b的夹角为 .(+)=0,(2+)=0, =-1,|=2 -12 22 34答案 D10.已知函数 f(x)=sin(2x+ )在 x= 处取得最大值,则函数 y=cos(2x+ )的图象( )6A.关于点 对称 B.关于点 对称(6,0) (3,0)C.关于
6、直线 x= 对称 D.关于直线 x= 对称6 3解析依题意,函数 f(x)=sin(2x+ )在 x= 处取得极大值,则 sin =1,则 cos =0,故函数6 (3+) (3+)y=cos(2x+ )的图象关于点 对称 .(6,0)答案 A11.已知 ABC是边长为 1的等边三角形,点 D,E分别是边 AB,BC的中点,连接 DE并延长到点 F,使=2 ,则 的值为( )4A. B. C. D.-18 14 118 58解析如图,连接 AE,则 AE BC; =2 ;所以 ;因此 =( )=12 +=0+ | |cos 1 .=+1212| 3=1212 12=18答案 A12.已知 =(
7、2,2), =( cos , sin ),则 的模的最大值是( ) 2 2 A.3 B.3 C. D.182 2解析因为 =(2+ cos ,2+ sin ),所以 | |=+ 2 2 3 ,故选 B.(2+2)2+(2+2)2=10+42(+)=10+8(+4) 2答案 B二、填空题(本大题共 4小题,每小题 5分,共 20分)13.设 e1,e2是两个不共线的向量,a =3e1+4e2,b=e1-2e2.若以 a,b为基底表示向量 e1+2e2,即e1+2e2= a+ b,则 += . 解析由 a=3e1+4e2,b=e1-2e2,得 e1= a+ b,e2= a- b, e1+2e2=
8、a- b,+= .15 25 110310 25 15 2515=15答案1514.若将函数 y=cos 2x的图象向左平移 个单位长度,则平移后的函数对称轴为 . 12解析由题意,函数 y=cos 2x的图象向左平移 个单位长度,可得: y=cos =cos ,12 2(+12) (2+6)所以由 2x+ =k( kZ),解得 x= (kZ) .6 212答案 x= (kZ)212515.已知 是第四象限角,且 sin ,则 tan = .(+4)=35 (-4)解析因为 是第四象限角,且 sin ,所以 + 为第一象限角,所以 cos ,所以(+4)=35 4 (+4)=45tan =-
9、.(-4)=(-4)(-4)=-(+4)(+4) =-4535 43答案 -4316. 导学号 68254115已知函数 f(x)=sin(x+ )( 1,0 )是 R上的偶函数,其图象关于点 M 对称,且在区间 上是单调函数,则 = . (34,0) 0,2解析由 f(x)是偶函数,得 f(x)=sin(x+ )的图象关于 y轴对称,得 = +k( kZ),又因为20 ,所以 = .由 f(x)的图象关于点 M 对称,得 f =0.由 f =sin =cos 2 (34,0) (34) (34) (34 +2)=0,得 +k( kZ),又 1,所以 = (2k+1)(kN *).当 k=1时
10、, = 2,f(x)=sin34 34 =2 23上是减函数;当 k2 时, ,f(x)=sin 上不是单调函数,所以(2+2)在 0,2 103 (+2)在 0,2= 2,故 = .答案 三、解答题(本大题共 6小题,共 70分)17.(本小题满分 10分)如图,在 ABC中, AB=8,AC=3, BAC=60,以点 A为圆心, r=2为半径作一个圆,设 PQ为圆 A的一条直径 .(1)请用 表示 ,用 表示 ;, , (2)记 BAP= ,求 的最大值 .6解(1) =- .=,=(2) BAC=60,设 BAP= , CAP=60+ ,AB= 8,AC=3,AP=2, =( )(- )
11、 =8-6cos(+ 60)+16cos =3 sin +13cos +8=14sin( + )+8,3(其中 =1314,=3143) 当 sin(+ )=1时, 的最大值为 22.18.(本小题满分 12分)已知 00,cos( + )0,0,的部分图象如图所示 .|2)(1)求 f(x)的最小正周期及解析式;(2)设函数 g(x)=f(x)-cos 2x,求 g(x)在区间 上的最小值 .0,2解(1)由图可得 A=1, ,所以 T=,因此 = 2.2=236=2当 x= 时,由 f(x)=1,可得 sin =1,即 +=k + ,kZ,又 | ,所以 = ,6 (26+) 3 2 2
12、6故 f(x)=sin .(2+6)(2)由(1)知 g(x)=f(x)-cos 2x=sin -cos 2x= sin 2x+ cos 2x-cos 2x= sin 2x-(2+6) 32 12 32cos 2x=sin ,12 (2-6)因为 x ,所以 - 2 x- ,0,2 6 656故当 2x- =- ,即 x=0时,函数 g(x)取最小值 - .6 6 1220.(本小题满分 12分)已知 m=(sin A,cos A),n=( ,-1),mn=1,且 A为锐角 .3(1)求角 A的大小;(2)求函数 f(x)=cos 2x+4cos Asin x(xR)的值域 .解(1)由题意得
13、 mn= sin A-cos A=1,3即 2sin =1,sin ,(-6) (-6)=128由 A为锐角,得 A- ,即 A= .6=6 3(2)由(1)知 cos A= ,所以 f(x)=cos 2x+2sin x=1-2sin2x+2sin x=-2 .12 (-12)2+32因为 xR,所以 sin x -1,1,因此,当 sin x= 时, f(x)有最大值 ;12 32当 sin x=-1时, f(x)有最小值 -3.所以函数 f(x)的值域是 .-3,3221.导学号 68254116(本小题满分 12分)如图,在平面直角坐标系中,点 A ,B(-12,0),锐角 的终边与单位
14、圆 O交于点 P.(32,0)(1)用 的三角函数表示点 P的坐标;(2)当 =- 时,求 的值 ;14(3)在 x轴上是否存在定点 M,使得 | |= |恒成立?若存在,求出点 M的坐标;若不存在,请说明12|理由 .解(1)用 的三角函数表示点 P的坐标为(cos ,sin ).(2) ,=(+12,)=- 时,=(-32,),14即 +sin2=- ,(+12)(-32) 149整理得到 cos = ,所以锐角 = 60.12(3)在 x轴上假设存在定点 M,设 M(x,0), =(cos -x ,sin ),则由 | |= |恒成立,得到 +cos = (1-2xcos +x 2),整
15、理得 2(2+x)cos =x 2-4,12| 54 14当 x=-2时等式恒成立,所以存在 M(-2,0).22. 导学号 68254117(本小题满分 12分)设 f(x)=2 sin( -x)sin x-(sin x-cos x)32.(1)求 f(x)的单调递增区间;(2)把 y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位,得到函数 y=g(x)的图象,求 g 的值 .3 (6)解(1) f(x)=2 sin( -x)sin x-(sin x-cos x)2=2 sin2x-(1-2sin xcos x)= (1-cos 2x)+sin
16、 3 3 32x-1=sin 2x- cos 2x+ -1=2sin -1,由 2k - 2 x- 2 k + (kZ),得 k -3 3 (2-3)+3 2 3 2 x k + (kZ),所以 f(x)的单调递增区间是 (kZ) .12 512 - 12,+512(2)由(1)知 f(x)=2sin -1,把 y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍(2-3)+3(纵坐标不变),得到 y=2sin -1的图象,再把得到的图象向左平移 个单位,得到 y=2sin (-3)+3 3x+ -1的图象 ,即 g(x)=2sin x+ -1.所以 g =2sin -1= .3 3 (6) 6+3 3
