1、- 1 -3.2 双曲线的简单性质课时目标 了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质，会根据几何性质求双曲线方程，及学会由双曲线的方程研究几何性质1双曲线的简单几何性质标准方程 1 x2a2 y2b2(a0，b0) 1 y2a2 x2b2(a0，b0)范围对称性 关于_轴对称 关于原点对称顶点 (a,0)，(a,0)渐近线 y xab离心率 e 1ca2.(1)双曲线的对称中心叫做双曲线的_；(2)双曲线 1 的两个顶点为 A1(a,0)、A 2(a，0)设 B1(0，b)、B 2(0，b)，x2a2 y2b2线段 A1A2叫做双曲线的_，它的长等于 2a，a 叫做双曲线的半实
2、轴长，线段B1B2叫做双曲线的_，它的长等于 2b，b 叫做双曲线的半虚轴长实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，等轴双曲线的渐近线方程为 yx.(3)当双曲线的离心率 e 由小变大时，双曲线的形状就从扁狭逐渐变得_，原因是 ，当 e 增大时， 也增大，渐近线的斜率的绝对值_ba e2 1 ba一、选择题1下列曲线中离心率为 的是( )62A. 1 B. 1x22 y24 x24 y22C. 1 D. 1x24 y26 x24 y2102双曲线 1 的渐近线方程是( )x225 y24Ay x By x25 52Cy x Dy x425 254- 2 -3双曲线与椭圆 4x2y 21 有相同的
3、焦点，它的一条渐近线方程为 y x，则双曲线2的方程为( )A2x 24y 21 B2x 24y 22C2y 24x 21 D2y 24x 234设双曲线 1(a0，b0)的虚轴长为 2，焦距为 2 ，则双曲线的渐近线方程x2a2 y2b2 3为( )Ay x By2x2Cy x Dy x22 125直线 l 过点( ，0)且与双曲线 x2y 22 仅有一个公共点，则这样的直线有( )2A1 条 B2 条 C3 条 D4 条6已知双曲线 1 (a0，b0)的左、右焦点分别为 F1、F 2，点 P 在双曲线的右支x2a2 y2b2上，且|PF 1|4|PF 2|，则此双曲线的离心率 e 的最大值
4、为( )A. B. C2 D.43 53 73题 号 1 2 3 4 5 6答 案二、填空题7两个正数 a、b 的等差中项是 ，一个等比中项是 ，且 ab，则双曲线 1 的52 6 x2a2 y2b2离心率 e_.8在ABC 中，a，b，c 分别是A，B，C 的对边，且 a10，cb6，则顶点 A运动的轨迹方程是_9与双曲线 1 有共同的渐近线，并且经过点(3，2 )的双曲线方程为x29 y216 3_三、解答题10根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)经过点 ，且一条渐近线为 4x3y0；(154， 3)(2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为 . 3- 3 -11已
5、知双曲线的中心在原点，焦点 F1、F 2在坐标轴上，离心率为 ，且过点(4，2)10(1)求此双曲线的方程；(2)若点 M(3，m)在双曲线上，求证：MF 1MF 2；(3)求F 1MF2的面积能力提升12设双曲线的一个焦点为 F，虚轴的一个端点为 B，如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. B.2 3C. D.3 12 5 1213F 1、F 2是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上一点，且F 1PF260，SPF 1F212，又离心率为 2，求双曲线的方程3- 4 -1双曲线 1 (a0，b0)既关于坐标轴对称，又关于坐标原点对称；其顶点为x2a2 y2
6、b2(a，0)，实轴长为 2a，虚轴长为 2b；其上任一点 P(x，y)的横坐标均满足|x|a.2双曲线的离心率 e 的取值范围是(1，)，其中 c2a 2b 2，且 ，离ca ba e2 1心率 e 越大，双曲线的开口越大可以通过 a、b、c 的关系，列方程或不等式求离心率的值或范围3双曲线 1 (a0，b0)的渐近线方程为 y x，也可记为 0；与双x2a2 y2b2 ba x2a2 y2b2曲线 1 具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为 (0)x2a2 y2b2 x2a2 y2b232 双曲线的简单性质知识梳理1.标准方程 1 x2a2 y2b2(a0，b0) 1y2a2 x2b2(a0
7、，b0)范围 xa 或 xa ya 或 ya对称性 关于 x、y 轴对称 关于原点对称顶点 (a,0)，(a,0) (0，a)，(0，a)渐近线 y xba y xab离心率 e 1ca e 1ca2.(1)中心 (2)实轴 虚轴 (3)开阔 增大作业设计1 B e ，e 2 ， ，故选 B.62 c2a2 32 b2a2 122 A3 C 由于椭圆 4x2y 21 的焦点坐标为 ，(0， 32)则双曲线的焦点坐标为 ，又由渐近线方程为 y x，得 ，即 a22b 2，(0， 32) 2 ab 2- 5 -又由 2a 2 b2，得 a2 ，b 2 ，又由于焦点在 y 轴上，因此双曲线的方程为(
8、32) 12 142y24x 21.4 C 由题意知，2b2,2c2 ，则 b1，c ，a ；双曲线的渐近线方程为3 3 2y x.225 C 点( ，0)即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双2曲线仅有一个公共点，另过该点且与 x 轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点6 B |PF 1|PF 2|2a，即 3|PF2|2a，所以|PF 2| ca，即 2a3c3a，即 5a3c，2a3则 .ca 537.133解析 ab5，ab6，解得 a，b 的值为 2 或 3.又 ab，a3，b2.c ，从而 e .13ca 1338. 1(x3)x29 y216解析 以 BC 所
9、在直线为 x 轴，BC 的中点为原点建立直角坐标系，则 B(5,0)，C(5,0)，而|AB|AC|63)x29 y2169. 1x294 y24解析 所求双曲线与双曲线 1 有相同的渐近线，可设所求双曲线的方程为x29 y216 (0)点(3,2 )在双曲线上，x29 y216 3 . 329 23216 14所求双曲线的方程为 1.x294 y2410解 (1)因直线 x 与渐近线 4x3y0 的交点坐标为 ，而 30，b0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为 yx2a2 y2b2x，ba而 kBF ， ( )1，bc ba bc整理得 b2ac.c 2a 2ac0，两边同除以 a2，得 e2e10，解得 e 或 e (舍去)，故选 D.1 52 1 5213解 设双曲线方程为 1.x2a2 y2b2|F 1F2|2c，而 e 2.ca由双曲线定义得|PF 1|PF 2|2ac.由余弦定理得(2c)2|PF 1|2|PF 2|22|PF 1|PF2|cosF 1PF2(|PF 1|PF 2|)22|PF 1|PF2|(1 cos 60)4c 2c 2|PF 1|PF2|.又SPF 1F2 |PF1|PF2|sin 6012 ，12 3|PF 1|PF2|48.3c 248，c 216.a 24，b 212.所求双曲线方程为 1.x24 y212
