1、关于两点球面距离定义依据的证明及其地理应用敏又 if.2007.5(Y-r,1)关于两点球面距离定义依据的证明及其地理应用口栾世斌f 哈尔滨师范大学数学系哈尔滨?黑龙江 150025)摘要本文用图形变换,函数求导和借助单1111 进行面积比较的方法证明两点球面距离定义的依据在球面上经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度是两点之间的最短连线的长度,并得出结论:在相同弦长下圆半径越小对应的圆心角越大,对应的劣弧长度就越长;应用这个结论来解决关于太阳高度差和经度差有相关性的地理问题.关键词两点球面距离证明地理应用中图分类号:N3 文献标识码:A 文章编号:1672-7894(2007)05197O
2、1高中数学教材第二册(必修)给出了在球面上两点的球面距离定义:“ 在球面上 ,两点之间的最短连线的长度,就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度,我们把这个弧长叫做两点的球面距离.“ 这个两点球面距离的定义依据就是在球面上经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度是两点之间的最短连线的长度.但是为什么在球面上经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度是两点之间的最短连线的长度教材并没有给出证明,现在证明如下:在球面上任取两点 A,B,过 A,B 分别作以球心 0 和非球心点0t 为圆心的两个球面圆(如图 1),半径分别为 IOAI 和 IOA,弧五和弧分别是两个圆上的劣弧,M,N 分别是劣弧
3、的中点.现在只需证明弧五的长度小于弧的长度.弦 AB 是圆 0 和圆 0的共弦.现在把圆 0 和圆 0转绘到一个平面上(如图 2).从图形上易见弧五的长度小于弧的长度,现从函数角度进行证明.?.?10AI=?.(注:这里角都取弧度制).AMB=10AI?A0B=210A?A同理,=,(oAAOM,LAOlN号)欲比较而 B 和的长度大小,只需比较 LAO_0M 和的.设 y=l_(0,IT),现证明在n)内,y=l 一是增函数 .对 y=._两端求导 ,得 y=SlnX-XCOSX=cotgx-x)SlnSln在 x(0,詈) 内,sinx0,c.0,iiEy0, 只需证 t 一0,即 tgx
4、x,作一单位圆,如图 3,三角形面积 sco=llOCI?ICDI=1IcDl_丢 tga,扇形面积 s.0E=a.10cl2_1a,由 sc0.s,得丢 tga1a,即 tgaa(0a号),将 a 换为,所以在 e(0,)la,tg,x.从而,在(0, ,ff)la,y0,y=.是增函数.ZSlM?/A0M/A0N.A0M,A0NsinAOMsinAON.?.而 BB,从以上证明过程可以得出这样的结论:在相同弦长下圆半径越小对应的圆心角越大,对应的劣弧长度就越长.正是因为在球面上过两点的所有圆中,球半径是最大的圆半径,所以经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度就是两点之间的最短连线的长度.
5、在高考复习题当中有这样一道题:图 1 为某时刻我国局部地区太阳高度分布示意图,图中圆圈为等太阳高度线,水平直线表示纬线,竖直的直线表示经线,问 M,N 两点的经度差:A.大于 30.B.小于 300C.等于 30.D.可能大于 30D,也有可能小于 30.这道题的答案应该是 A.那么,怎样解决这样的问题呢?从图 4 能够知道:M 地点的太阳高度为 90.,也就是 M 地点的正午太阳高度;N 地点的太阳高度为 6O.,却不是 N 地点的正午太阳高度.两地点的太阳高度的差是 30.题目问的是 M,N 两地点的经度差,从选项上可以看出经度差与太阳高度差有联系.但是单独从图 4 我们是无法想象出 M,
6、N 两地点的经度差是多少,便无法与 M,N 两地点的太阳高度差做比较.因为地球是立体的,这样的平面问题必须要还原到立体图中来加以解决.把地球抽象为一个球,见图 5.直线 LM 和LN 表示太阳光线( 平行光).因为 M 地点的太阳高度为 90O,太阳直射点就在 M 地点,所以直线 LM延长必过球心 0.图中平行四边形表示 N 点的地平面,直线 PN 垂直N 点的地平面,这样直线 PN 的延长线也必过球心 O,直线 NQ 是光线 LN 在 N 地点的地平面的射影.LNQ 是此时 N 地点的太阳高度 60.,PNL 是 M,N 两地点的太阳高度差 30.(90_6O.).从图中可知,/POL=PNL.MON 即为 M,N 两地点的经度差(劣弧对应的角). 由于在相同弦长下圆半径越小对应的圆心角越大,而 POL 是球面上所有过M,N 两点的圆中对应的最小的圆y厂.,“图 3图 4心角,所以 MONA_POL,这样/MON 大于 300.问题得到解决.现在,我们强调培养学生学科综合能力,变换图形解决地理问题正是体现了地理和数学学科间的综合.运用数学工具有助于解决地理中的数量关系问题,使学生体会到数学的应用价值,感受到解决问题获得成功的喜悦.197
