1、11.1 锐角三角函数第 2 课时 正弦与余弦1理解正弦与余弦的概念；(重点)2能用正弦、余弦的知识，根据三角形中已知的边和角求出未知的边和角(难点)一、情境导入如图，小明沿着某斜坡向上行走了13m，他的相对位置升高了 5m.如果他沿着该斜坡行走了 20m，那么他的相对位置升高了多少？行走了 am 呢？在上述情形中，小明的位置沿水平方向又分别移动了多少？根据相似三角形的性质可知，当直角三角形的一个锐角的大小确定时，它的对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值也就确定了二、合作探究探究点：正弦和余弦【类型一】 直接利用定义求正弦和余弦 值在 Rt ABC 中， C90，AB13， BC5，求 sinA
2、，cos A.解析：利用勾股定理求出 AC，然后根据正弦和余弦的定义计算即可解：由勾股定理得 AC AB2 BC212，sin A ，cos A132 52BCAB 513 ACAB .1213方法总结：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，熟记三角函数的定义是解决问题的关键变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练” 第 1 题【类型二】 已知一个三角函数值求另一个三 角函数值如图，在 ABC 中， C90，点 D 在 BC 上， AD BC5，cos ADC ，35求 sinB 的值解析：先由 AD BC5，cos ADC及勾股定理求出 AC 及 AB
3、 的长，再由锐角35三角函数的定义解答解： AD BC5，cos ADC ， CD3.在35Rt ACD 中， AD5， CD3， AC 4.在 Rt ACB 中，AD2 CD2 52 32 AC4， BC5， AB AC2 BC2 ， sin B .42 52 41ACAB 441 44141方法总结：在不同的直角三角形中，要根据三角函数的定义，分清它们的边角关系，结合勾股定理是解答此类问题的关键变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 8 题【类型三】 比较三角函数的大小sin70，cos70， tan70的大小关系是( )Atan70cos70sin70Bcos70tan70sin
4、70 Csin70cos70tan70Dcos70sin70t an70解析：根据锐角三角函数的概念，知2sin701，cos701，tan701.又cos70sin20，锐角的正弦值随着角的增大而增大，sin70sin20cos70.故选 D.方法总结：当角度在 0cos A0.当角度在45 A90间变化时，tan A1.变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 10 题【类型四】 与三角函数有关的探究性问题在 Rt ABC 中， C90， D为 BC 边(除端点外)上的一点，设 ADC ， B .(1)猜想 sin 与 sin 的大小关系；(2)试证明你的结论解析：(1)因为在 AB
5、D 中， ADC 为 ABD 的外角，可知 ADC B，可猜想sin sin ；(2)利用三角函数的定义可求出 sin ，sin 的关系式即可得出结论解：(1)猜想：sin sin ；(2) C90，sin ACAD，sin . AD AB， ，即ACAB ACAD ACABsin sin .方法总结：利用三角函数的定义把两角的正弦值表示成线段的比，然后进行比较是解题的关键【类型五】 三角函数的综合应用如图，在 ABC 中， AD 是 BC 上的高，tan Bcos DAC.(1)求证： AC BD；(2)若 sinC ， BC36，求 AD 的1213长解析：(1)根据高的定义得到 ADB
6、ADC90，再分别利用正切和余弦的定义得到tanB ，cos DAC ，再利用ADBD ADACtanBcos DAC 得到 ，所以ADBD ADACAC BD；(2)在 Rt ACD 中，根据正弦的定义 得 sinC ，可设ADAC 1213AD12 k， AC13 k，再根据勾股定理计算出 CD5 k，由于 BD AC13 k，于是利用BC BD CD 得到 13k5 k36，解得k2，所以 AD24.(1)证明： AD 是 BC 上的高， ADB ADC9 0.在 Rt ABD 中，tanB ，在 Rt ACD 中，ADBDcos DAC .tan Bcos DAC， ADAC ADBD
7、， AC BD；ADAC(2)解：在 Rt ACD 中， sinC .设ADAC 1213AD12 k， AC13 k， CD 5 k.AC2 AD2BD AC13 k， BC BD CD13 k5 k36，解得 k2， AD12224.变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 10 题三、板书设计正弦与余弦1正弦的定义2余弦的定义3利用正、余弦解决问题本节课的教学设计以直角三角形为主线，力求体现生活化课堂的理 念，让学生在经历“问题情境形成概念应用拓展反思提高”的基本过程中，体验知识间的内在联系，让学生感受探究的乐趣，使学生在学中思，在思中学在教学过程中，重视过程，深化理解，通过学生的主动探究来体现他们的主体地位，教师是通过对学生参与学习的启发、调整、激励来体现自己的引导作用， 对学生的主体意识3和合作交流的能力起着积极作用.
