1、1微型专题 简单的共点力的平衡一、共点力平衡的条件及三力平衡问题1.平衡状态：物体处于静止或匀速直线运动的状态.2.平衡条件：合外力等于 0，即 F 合 0.3.推论(1)二力平衡：若物体在两个力作用下处于平衡状态，则这两个力一定等大、反向.(2)三力平衡：若物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力等大、反向.(3)多力平衡：若物体在 n 个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意 n1 个力的合力必定与第 n 个力等大、反向.例 1 (2017温州市平阳期末)在科学研究中，可以用风力仪直接测量风力的大小，其原理如图 1 所示.仪器中一根轻质金属丝悬挂着一个金属球.无风时，
2、金属丝竖直下垂；当受到沿水平方向吹来的风时，金属丝偏离竖直方向一个角度.风力越大，偏角越大.那么风力大小F 跟金属球的质量 m、偏角 之间有什么样的关系呢？图 1答案 F mgtan 解析 选取金属球为研究对象，它受到三个力的作用，如图甲所示.金属球处于平衡状态，这三个力的合力为零.可用以下两种方法求解.2解法一 力的合成法如图乙所示，风力 F 和拉力 FT的合力与重力等大反向，由平行四边形定则可得 F mgtan .解法二 正交分解法以金属球为坐标原点，取水平方向为 x 轴，竖直方向为 y 轴，建立直角坐标系，如图丙所示.由水平方向的合力 Fx 合 和竖直方向的合力 Fy 合 分别等于零，即
3、Fx 合 FTsin F0Fy 合 FTcos mg0解得 F mgtan .物体在三个力或多个力作用下的平衡问题，一般会用到力的合成法、效果分解法或正交分解法，选用的原则和处理方法如下：(1)力的合成法一般用于受力个数为三个时确定要合成的两个力；根据平行四边形定则作出这两个力的合力；根据平衡条件确定两个力的合力与第三力的关系(等大反向)；根据三角函数或勾股定理解三角形.(2)力的效果分解法一般用于受力个数为三个时确定要分解的力；按实际作用效果确定两分力的方向；沿两分力方向作平行四边形；根据平衡条件确定分力及合力的大小关系；用三角函数或勾股定理解直角三角形.(3)正交分解法一般用于受力个数为三
4、个或三个以上时建立直角坐标系；正交分解各力；沿坐标轴方向根据平衡条件列式求解.针对训练 1 如图 2 所示，光滑半球形容器固定在水平面上， O 为球心.一质量为 m 的小滑块，在水平力 F 的作用下静止于 P 点.设滑块所受支持力为 FN， OP 与水平方向的夹角为 ，下列关系正确的是( )3图 2A.F B.F mgtan mgtan C.FN D.FN mgtan mgtan 答案 A解析 方法一：合成法滑块受力如图所示，由平衡条件知：F ， FN .mgtan mgsin 方法二：正交分解法将小滑块受的力沿水平、竖直方向分解，如图所示.mg FNsin ， F FNcos 联立解得： F
5、 ， FN .mgtan mgsin 二、利用正交分解法分析多力平衡问题1.将各个力分解到 x 轴和 y 轴上，根据共点力平衡的条件： Fx0， Fy0.2.对 x、 y 轴方向的选择原则是：使尽可能多的力落在 x、 y 轴上，需要分解的力尽可能少，被分解的力尽可能是已知力.3.此方法多用于三个或三个以上共点力作用下的物体平衡，三个以上共点力平衡一般要采用正交分解法.例 2 如图 3 所示，物体的质量 m4.4 kg，用与竖直方向成 37的斜向右上方的推力把该物体压在竖直墙壁上，并使它沿墙壁在竖直方向上做匀速直线运动.物体与墙壁间的动摩擦因数 0.5，取重力加速度 g10 N/kg，求推力 F
6、 的大小.(sin 370.6，cos 370.8)4图 3答案 88 N 或 40 N解析 若物体向上做匀速直线运动，则受力如图甲所示.Fcos mg Ff， Fsin FN， Ff F N故推力 F N88 Nmgcos sin 4.4100.8 0.50.6若物体向下做匀速直线运动，受力如图乙所示.Fcos Ff mg， Fsin FN， Ff F N故推力 F N40 Nmgcos sin 4.4100.8 0.50.6针对训练 2 如图 4 所示，水平地面上有一重 60 N 的物体，在与水平方向成 30角斜向上、大小为 20 N 的拉力 F 作用下匀速运动，求地面对物体的支持力和摩擦
7、力的大小.图 4答案 50 N 10 N3解析 对物体进行受力分析，如图所示，物体受重力 G、支持力 FN、拉力 F、摩擦力 Ff.建立直角坐标系，对力进行正交分解得：y 方向： FN Fsin 30 G0 x 方向： Ff Fcos 300 由得： FN50 N， Ff10 N.3三、利用解析法或图解法分析动态平衡问题1.动态平衡：是指平衡问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变化，5所以叫动态平衡，这是力平衡问题中的一类难题.2.基本方法：解析法、图解法和相似三角形法.3.处理动态平衡问题的一般步骤(1)解析法：列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式.根据已知量的变化情
8、况来确定未知量的变化情况.(2)图解法：适用情况：一般物体只受三个力作用，且其中一个力大小、方向均不变，另一个力的方向不变，第三个力大小、方向均变化.一般步骤：a.首先对物体进行受力分析，根据力的平行四边形定则将三个力的大小、方向放在同一个三角形中.b.明确大小、方向不变的力，方向不变的力及方向变化的力的方向如何变化，画示意图.注意：由图解可知，当大小、方向都可变的分力(设为 F1)与方向不变、大小可变的分力垂直时， F1有最小值.例 3 用绳 AO、 BO 悬挂一个重物， BO 水平， O 为半圆形支架的圆心，悬点 A 和 B 在支架上.悬点 A 固定不动，将悬点 B 从图 5 所示位置逐渐
9、移动到 C 点的过程中.分析绳 OA 和绳 OB 上的拉力的大小变化情况.图 5答案 绳 OA 的拉力逐渐减小 绳 OB 的拉力先减小后增大解析 解法一 力的效果分解法在支架上选取三个点 B1、 B2、 B3，当悬点 B 分别移动到 B1、 B2、 B3各点时，对 AO、 BO 绳的拉力分别为 FTA1、 FTA2、 FTA3和 FTB1、 FTB2、 FTB3，如图所示，从图中可以直观地看出， FTA逐渐变小，且方向不变；而 FTB先变小，后变大，且方向不断改变；当 FTB与 FTA垂直时， FTB最小.解法二 合成法6将 AO 绳、 BO 绳的拉力合成，其合力与重力等大反向，逐渐改变 OB
10、 绳拉力的方向，使 FB与竖直方向的夹角 变小，得到多个平行四边形，由图可知 FA逐渐变小，且方向不变，而 FB先变小后变大，且方向不断改变，当 FB与 FA垂直时， FB最小.针对训练 3 如图 6 所示，一小球放置在木板与竖直墙面之间.设墙面对球的压力大小为FN1，木板对小球的支持力大小为 FN2.以木板与墙连接点为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置.不计摩擦，在此过程中( )图 6A.FN1始终减小， FN2始终增大B.FN1始终减小， FN2始终减小C.FN1先增大后减小， FN2始终减小D.FN1先增大后减小， FN2先减小后增大答案 B解析 方法一：解析法对球进行受力分析，
11、如图甲所示，小球受重力 G、墙面对球的压力 FN1、木板对小球的支持力 FN2而处于平衡状态.则有 tan ， FN1GFN1 GFN1 Gtan 从图示位置开始缓慢地转到水平位置过程中， 逐渐增大，tan 逐渐增大，故 FN1始终减小.从图中可以看出， FN2 ，从图示位置开始缓慢地转到水平位置， 逐渐增大，sin Gsin 逐渐增大，故 FN2始终减小.选项 B 正确.7方法二：图解法小球受重力 G、墙面对球的压力 FN1、木板对小球的支持力 FN2而处于平衡状态.由平衡条件知 FN1、 FN2的合力与 G 等大反向， 增大时，画出多个平行四边形，如图乙，由图可知 增大的过程中， FN1始
12、终减小， FN2始终减小.选项 B 正确.1.(三力平衡问题)(多选)(2017绍兴期末)小娟、小明两人共提一桶水匀速前行，如图 7 所示，已知两人手臂上的拉力大小相等且为 F，两人手臂间的夹角为 ，水和水桶的总重力为G，则下列说法中正确的是( )图 7A.当 为 120时， F GB.不管 为何值，均有 FG2C.当 0时， F GD. 越大时， F 越大答案 AD解析 两分力相等，由力的合成可知， 120时， F 合 F 分 G， 0时， F 分 F12合 ，故 A 正确，B、C 错误； 越大，在合力一定时，分力越大，故 D 正确.G22.(三力平衡问题)用三根轻绳将质量为 m 的物块悬挂
13、在空中，如图 8 所示.已知 ac 和 bc 与竖直方向的夹角分别为 30和 60，则 ac 绳和 bc 绳中的拉力分别为( )8图 8A. mg， mg32 12B. mg， mg12 32C. mg， mg34 12D. mg， mg12 34答案 A解析 分析结点 c 的受力情况如图，设 ac 绳受到的拉力为 F1、 bc 绳受到的拉力为 F2，根据平衡条件知 F1、 F2的合力 F 与重力mg 等大、反向，由几何知识得 F1 Fcos 30 mg32F2 Fsin 30 mg12选项 A 正确.3.(动态平衡问题)如图 9 所示，用绳索将重球挂在墙上，不考虑墙的摩擦，如果把绳的长度增加
14、一些，则球对绳的拉力 F1和球对墙的压力 F2的变化情况是( )图 9A.F1增大， F2减小9B.F1减小， F2增大C.F1和 F2都减小D.F1和 F2都增大答案 C4.(正交分解法处理平衡问题)如图 10 所示，质量为 m 的物块与水平面之间的动摩擦因数为 ，现用斜向下与水平方向夹角为 的推力作用在物块上，使物块在水平面上匀速移动，求推力的大小.(重力加速度为 g)图 10答案 mgcos sin 解析 对物块受力分析如图所示将物块受到的力沿水平和竖直方向分解，根据平衡条件有水平方向： Fcos Ff 竖直方向： FN mg Fsin 又 Ff F N 由得 F mgcos sin 一
15、、选择题1.如图 1 所示，某人静躺在椅子上，椅子的靠背与水平面之间有固定倾斜角 .若此人所受重力为 G，则椅子各部分对他的作用力的合力大小为( )图 1A.G B.Gsin C.Gcos D.Gtan 10答案 A解析 人静躺在椅子上，所受合力 F 合 0，所以椅子各部分对人的作用力的合力与人的重力等大反向，故 A 选项正确.2.如图 2 为节日里悬挂灯笼的一种方式， A、 B 两点等高， O 为结点，轻绳 AO、 BO 长度相等，拉力分别为 FA、 FB，灯笼受到的重力为 G.下列表述正确的是( )图 2A.FA一定小于 GB.FA与 FB大小相等C.FA与 FB大小不相等D.FA与 FB
16、大小之和等于 G答案 B解析 由等高等长知，左右两个拉力大小相等，B 正确，C 错误.绳子与竖直方向夹角不确定，所以拉力与重力的大小无法确定，A 错误； FA与 FB矢量之和等于 G，不是大小之和，D 错误.3.如图 3 所示，相隔一定距离的两个相同圆柱体固定在同一水平高度处，一轻绳套在两圆柱体上，轻绳下端悬挂一物体，绳和圆柱体之间的摩擦忽略不计.现增加轻绳长度，而其他条件保持不变，则( )图 3A.轻绳对物体的作用力的合力将变大B.轻绳对物体的作用力的合力将变小C.轻绳的张力将变大D.轻绳的张力将变小答案 D解析 增加轻绳长度，则两轻绳的夹角减小，轻绳对物体的作用力的合力仍等于物体重力，则轻
17、绳的张力变小，选项 D 正确.4.(2017杭州七校高三上期中)科技的发展正在不断地改变着我们的生活，如图 4 甲所示为一款手机支架，其表面采用了纳米微吸材料，用手触碰无粘感，接触到平整光滑的硬性物体11时，会牢牢吸附在物体上.图乙所示为手机静止吸附在支架上的侧视图.若手机的重力为 G，则下列说法中，正确的是( )图 4A.手机受到的支持力大小为 Gcos B.手机受到的支持力不可能大于 GC.纳米材料对手机的作用力大小为 Gsin D.纳米材料对手机的作用力竖直向上答案 D解析 手机处于静止状态，受力平衡，根据平衡条件可知，在垂直支架的方向有： FN Gcos F 吸 ，则支持力可能大于 G
18、，故 A、B 选项错误.手机处于静止状态，受力平衡，受到重力和纳米材料对手机的作用力，根据平衡条件可知，纳米材料对手机的作用力大小等于重力，方向竖直向上，故 C 选项错误，D 选项正确.5.(多选)如图 5 所示， A、 B 两球完全相同，质量均为 m，两球可视为质点，用三根完全相同的轻弹簧固连着，在水平拉力 F 下均处于静止状态， k1弹簧位于竖直方向，则有关说法正确的是( )图 5A.B 球必受四个力作用B.k2、 k3弹簧长度一样长C.k3弹簧没有发生形变D.k2弹簧最长答案 CD解析 以 A 球为研究对象， OA 恰好处于竖直方向，说明 k3没有拉力， k3弹簧没有发生形变.A 球受重
19、力、弹簧的弹力，根据平衡条件 kx mg， x ；取 B 球受力分析，如图，mgk12根据平衡条件，可知： kxcos mg，其中 为 k2与竖直方向的夹角，解得： x x，故 A、B 错误，C、D 正确.mgkcos 6.(多选)如图 6 所示，清洗楼房玻璃的工人常用一根绳索将自己悬在空中，工人及其装备的总重量为 G，悬绳与竖直墙壁的夹角为 ，悬绳对工人的拉力大小为 F1，墙壁对工人的弹力大小为 F2，则( )图 613A.F1Gsin B.F2 Gtan C.若缓慢减小悬绳的长度， F1与 F2的合力变大D.若缓慢减小悬绳的长度， F1增大， F2增大答案 BD解析 工人受力如图所示，由力
20、的分解，得 F1cos G， F1sin F2，于是F1 ， F2 Gtan ，所以 A 错误，B 正确；缓慢减小悬绳的长度， 角变大， F1、 F2Gcos 都增大，工人仍然处于平衡状态，所以 F1与 F2的合力不变，C 错误，D 正确.7.在如图 7 所示的甲、乙、丙、丁四图中，滑轮光滑且所受的重力忽略不计，滑轮的轴 O 安装在一根轻木杆 P 上，一根轻绳 ab 绕过滑轮， a 端固定在墙上， b 端下面挂一个质量为 m 的重物，当滑轮和重物都静止不动时，甲、丙、丁图中木杆 P 与竖直方向的夹角均为 ，乙图中木杆 P 竖直.假设甲、乙、丙、丁四图中滑轮受到木杆 P 的弹力的大小依次为FA、
21、 FB、 FC、 FD，则以下判断正确的是( )图 7A.FA FB FC FD B.FDFA FBFCC.FA FC FDFB D.FCFA FBFD答案 B解析 绳上的拉力等于重物所受的重力 mg，设滑轮两侧细绳之间的夹角为 ，滑轮受到木杆 P 的弹力 F 等于滑轮两侧细绳拉力的合力，即 F2 mgcos ，由夹角关系可得 2FDFA FBFC，选项 B 正确.8. 如图 8 所示，两轻弹簧 a、 b 悬挂一小铁球处于平衡状态， a 弹簧与竖直方向成 30角，b 弹簧水平， a、 b 的劲度系数分别为 k1、 k2，则 a、 b 两弹簧的伸长量 x1与 x2之比为( )14图 8A. B.
22、 C. D.2k2k1 k2k1 k1k2 k22k1答案 A解析 a 弹簧的弹力 FA k1x1， b 弹簧的弹力 FB k2x2，小球处于平衡状态，必有 FAsin 30 FB.即： k1x1sin 30 k2x2，故 ，A 正确.x1x2 2k2k19.如图 9 所示的水平面上，橡皮绳一端固定，另一端连接两根弹簧，连接点 P 在 F1、 F2和F3三力作用下保持静止，下列判断正确的是( )图 9A.F1F2F3 B.F3F1F2C.F2F3F1 D.F3F2F1答案 B解析 由连接点 P 在三个力作用下静止可知，三个力的合力为 0，即 F1、 F2二力的合力 F3与 F3等大反向，如图所
23、示，结合数学知识可知 F3F1F2，B 选项正确.10.(多选)如图 10 所示，质量为 m 的小物体静止在半径为 R 的半球体上，小物体与半球体间的动摩擦因数为 ，小物体与球心连线与水平地面的夹角为 ，则下列说法正确的是( )图 10A.小物体对半球体的压力大小为 mgsin B.小物体对半球体的压力大小为 mgtan C.小物体所受摩擦力大小为 mg sin D.小物体所受摩擦力大小为 mgcos 15答案 AD解析 对小物体受力分析，小物体受重力、支持力及摩擦力，三力作用下物体处于平衡状态，则合力为零，小物体对半球体的压力 FN mgsin ，A 正确，B 错误；小物体所受摩擦力为静摩擦
24、力，不能用 Ff F N来计算，摩擦力沿切线方向，在切线方向重力的分力与摩擦力相等，即 Ff mgcos ，C 错误，D 正确.二、非选择题11.如图 11 所示，质量为 m1的物体甲通过三段轻绳悬挂，三段轻绳的结点为 O.轻绳 OB 水平且 B 端与放置在水平面上的质量为 m2的物体乙相连，轻绳 OA 与竖直方向的夹角 37，物体甲、乙均处于静止状态.sin 370.6，cos 370.8，重力加速度为 g.求：图 11(1)轻绳 OA、 OB 受到的拉力各多大？(试用三种方法求解)(2)物体乙受到的摩擦力多大？方向如何？答案 (1) m1g m1g (2) m1g 方向水平向左54 34
25、34解析 (1)方法一：(力的合成法)对结点 O 进行受力分析，如图(a)所示，把 FA与 FB合成则F m1g所以 FA m1gm1gcos 54FB m1gtan m1g34故轻绳 OA、 OB 受到的拉力大小分别等于 FA、 FB，即 m1g、 m1g54 341617方法二：(力的效果分解法)把甲对 O 点的拉力按效果分解为 FOA和 FOB，如图(b)所示则 FOA m1g， FOB m1gtan m1g.m1gcos 54 34方法三：(正交分解法)把 OA 绳对结点 O 的拉力 FA进行正交分解，如图(c)所示.则有 FAsin FBFAcos m1g解得 FA m1g， FB
26、m1g54 34(2)对乙受力分析有Ff FB m1g，方向水平向左.3412.如图 12 所示，放在水平地面上的物体 P 的重量为 GP10 N，与 P 相连的细线通过光滑轻质定滑轮挂了一个重物 Q 拉住物体 P，重物 Q 的重量为 GQ2 N，此时两物体保持静止状态，线与水平方向成 30角，则物体 P 受到地面对它的摩擦力 Ff与地面对它的支持力 FN各为多大？图 12答案 N 9 N3解析 选取 Q 为研究对象，受力如图所示：由平衡条件可知： FT GQ 选取 P 为研究对象，受力如图所示：18建立如图所示的直角坐标系，在 x 轴上由平衡条件，有： FTx Ff FTcos 30 在 y 轴上由平衡条件，有： FN FTy FN FTsin 30 GP 联立得：Error!13.如图 13 所示，一个质量为 m、横截面为直角三角形的物块 ABC， ABC ， AB 边靠在竖直墙上， F 是垂直于斜面 BC 的推力，现物块静止不动，重力加速度为 g，求物块受到的摩擦力和弹力的大小.图 13答案 Fsin mg Fcos 解析 水平方向建立 x 轴，竖直方向建立 y 轴.对物块进行受力分析，如图所示，由平衡条件，得 Ff Fsin mg， FN Fcos .
