1、1第 1 课时 双曲线的几何性质学习目标 1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题知识点一 双曲线的性质标准方程 1x2a2 y2b2(a0， b0) 1y2a2 x2b2(a0， b0)图形范围 x a 或 x a y a 或 y a对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标A1( a,0)， A2(a,0) A1(0， a)， A2(0， a)渐近线 y xba y xab性质离心率 e ， e(1，)，其中 cca a2 b2a， b， c 间的关系 c2 a2 b2
2、(ca0， cb0)知识点二 等轴双曲线思考 求下列双曲线的实半轴长、虚半轴长，并分析其共同点(1)x2 y21；(2)4 x24 y21.答案 (1)的实半轴长 1，虚半轴长 1(2)的实半轴长 ，虚半轴长 .12 12它们的实半轴长与虚半轴长相等梳理 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为 y x，离心率为 .22(1)双曲线 1 与 1( a0， b0)的形状相同()x2a2 y2b2 y2a2 x2b2(2)双曲线 1 与 1( a0， b0)的渐近线相同()x2a2 y2b2 y2a2 x2b2(3)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关()(4)离心率是 的双曲线为等
3、轴双曲线()2类型一 双曲线的性质例 1 求双曲线 9y24 x236 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程考点 双曲线的简单几何性质题点 由双曲线方程求 a， b， c 及渐近线解 双曲线的方程化为标准形式是 1，x29 y24 a29， b24， a3， b2， c .13又双曲线的焦点在 x 轴上，顶点坐标为(3,0)，(3,0)，焦点坐标为( ，0)，( ，0)，13 13实轴长 2a6，虚轴长 2b4，离心率 e ，ca 133渐近线方程为 y x.23引申探究求双曲线 nx2 my2 mn(m0， n0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方
4、程解 把方程 nx2 my2 mn(m0， n0)化为标准方程为 1( m0， n0)，x2m y2n由此可知，实半轴长 a ，m虚半轴长 b ， c ，n m n焦点坐标为( ，0)，( ，0)，m n m n离心率 e ，ca m nm 1 nm顶点坐标为( ，0)，( ，0)，m m3所以渐近线方程为 y x，即 y x.nm mnm反思与感悟 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键(2)由标准方程确定焦点位置，确定 a， b 的值(3)由 c2 a2 b2求出 c 的值，从而写出双曲线的几何性质跟踪训练 1 求双曲线 9y216 x2144
5、的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程考点 双曲线的简单几何性质题点 由双曲线方程求 a， b， c 及渐近线解 把方程 9y216 x2144 化为标准方程为 1.y242 x232由此可知，实半轴长 a4，虚半轴长 b3；c 5，焦点坐标是(0，5)，(0,5)；a2 b2 42 32离心率 e ；渐近线方程为 y x.ca 54 43类型二 由双曲线的性质求标准方程例 2 (1)已知双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，2则双曲线的标准方程为( )A. 1 B. 1x24 y24 y24 x24C. 1 D. 1x28 y24 y28 x2
6、4考点 双曲线的简单几何性质题点 由双曲线方程求 a， b， c 及渐近线答案 B解析 由已知，得双曲线的焦点在 y 轴上，从而可设双曲线的方程为 1( a0， b0)y2a2 x2b2一个顶点为(0,2)， a2.又实轴长与虚轴长之和等于焦距的 倍，22 a2 b2 c.2又 a2 b2 c2， b24，所求双曲线的方程为 1.y24 x244(2)求与双曲线 1 有共同的渐近线，并且经过点 A(2 ，3)的双曲线的方程x216 y29 3考点 双曲线的简单几何性质题点 由双曲线方程求 a， b， c 及渐近线解 双曲线 1 的渐近线方程为 y x.x216 y29 34当所求双曲线的焦点在
7、 x 轴上时，设所求双曲线的方程为 1( a0， b0)x2a2 y2b2因为 ，所以 b a.ba 34 34因为点 A(2 ，3)在所求双曲线上，所以 1.312a2 9b2联立得方程组无解当所求双曲线的焦点在 y 轴上时，设所求双曲线的方程为 1( a0， b0)，y2a2 x2b2因为 ，所以 a b.ab 34 34因为点 A(2 ，3)在所求双曲线上，所以 1.39a2 12b2由，得 a2 ， b24，94所以所求双曲线的方程为 1.y294 x24反思与感悟 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形
8、式(2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程可设为 1( a0， b0)x2a2 y2b2焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为 1( a0， b0)y2a2 x2b2与双曲线 1 共焦点的双曲线方程可设为x2a2 y2b2 1( 0， b20， b0)的离心率 e ，过点 A(0， b)和 B(a,0)的直线与x2a2 y2b2 233原点的距离为 ，求此双曲线的标准方程32考点 由双曲线的简单几何性质求方程题点 已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程解 (1)设所求双曲线的方程为 ( 0)y24 x23点 M(3，2)在双曲线上， ，即 2.44 93双曲线的
9、标准方程为 1.x26 y28(2) e ， ， ， a23 b2.233 ca 233 a2 b2a2 43又直线 AB 的方程为 bx ay ab0， d ，即 4a2b23( a2 b2)|ab|a2 b2 32解组成的方程组，得 a23， b21.双曲线的标准方程为 y21.x23类型三 求双曲线的离心率例 3 已知 F1， F2是双曲线 1( a0， b0)的两个焦点， PQ 是经过 F1且垂直于 xx2a2 y2b2轴的双曲线的弦，如果 PF2Q90，求双曲线的离心率考点 双曲线的离心率与渐近线题点 求双曲线的离心率解 设 F1(c,0)，将 x c 代入双曲线的方程得 1，c2a
10、2 y2b2那么 y .b2a由| PF2| QF2|， PF2Q90，知| PF1| F1F2|，所以 2 c，所以 b22 ac，b2a7所以 c22 ac a20，所以 22 10，(ca) ca即 e22 e10，所以 e1 或 e1 (舍去)，2 2所以双曲线的离心率为 1 .2反思与感悟 求双曲线离心率的三种方法：(1)若可求得 a， c，则直接利用 e 求解ca(2)若已知 a， b，可直接利用 e 求解1 (ba)2(3)若得到的是关于 a， c 的齐次方程 pc2 qac ra20( p， q， r 为常数，且 p0)，则转化为关于 e 的方程 pe2 qe r0 求解跟踪训
11、练 3 设双曲线 1( b a0)的焦距为 2c，直线 l 过点 A(a,0)， B(0， b)两x2a2 y2b2点，已知原点到直线 l 的距离为 c，则双曲线的离心率为_34考点 双曲线的离心率与渐近线题点 求双曲线的离心率答案 2解析 如图所示，在 OAB 中，|OA| a，| OB| b，| OE| c，34|AB| c.a2 b2因为| AB|OE| OA|OB|，所以 c c ab，即 (a2 b2) ab，34 34两边同除以 a2，得 2 0，34(ba) ba 34解得 或 (舍去)，ba 3 ba 33所以 e 2.ca a2 b2a2 1 (ba)21已知双曲线方程为 x
12、28 y232，则( )A实轴长为 4 ，虚轴长为 228B实轴长为 8 ，虚轴长为 42C实轴长为 2，虚轴长为 4 2D实轴长为 4，虚轴长为 8 2考点 双曲线的简单几何性质题点 由双曲线方程求 a， b， c答案 B解析 双曲线方程 x28 y232 化为标准方程为 1，可得 a4 ， b2，所以双曲x232 y24 2线的实轴长为 8 ，虚轴长为 4.22下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y x 的是( )12A x2 1 B y21y24 x24C x21 D y2 1y24 x24考点 由双曲线的简单几何性质求方程题点 已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程答案 D解
13、析 从选项知，焦点在 y 轴上的双曲线有 x21 与 y2 1，而 x21 的渐近y24 x24 y24线方程是 y2 x， y2 1 的渐近线方程是 y x，故选 D.x24 123(2017浙江余姚中学期中)设 F1， F2分别是双曲线 C： 1( a0， b0)的左、右x2a2 y2b2焦点， P 是双曲线 C 的右支上的点，射线 PT 平分 F1PF2，过原点 O 作 PT 的平行线交 PF1于点 M，若| MP| |F1F2|，则双曲线 C 的离心率为( )13A. B3C. D.32 2 3答案 A4与双曲线 1 共渐近线且经过点 M(2 ，6)的双曲线的标准方程为_x24 y29
14、 6答案 1x28 y218解析 设双曲线的标准方程为 t(t0)，x24 y29又经过点 M(2 ，6)，69 t，即 t2，244 369故所求双曲线的标准方程为 1.x28 y2185已知 F 是双曲线 C： x2 1 的右焦点， P 是 C 的左支上一点， A(0,6 )当 APF 周y28 6长最小时，该三角形的面积为_考点 双曲线的简单几何性质题点 由双曲线方程研究其他问题答案 12 6解析 设左焦点为 F1，| PF| PF1|2 a2，| PF|2| PF1|， APF 的周长为| AF| AP| PF| AF| AP|2| PF1|， APF 周长最小即为| AP| PF1|
15、最小，当 A， P， F1在一条直线上时最小，过 AF1的直线方程为 1，与 x2 1 联立，解得 P 点坐标为(2,2 )，此时x 3 y66 y28 6S AF 1PF12 .61随着 x 和 y 趋向于无穷大，双曲线将无限地与渐近线接近，但永远没有交点；由渐近线方程可确定 a 与 b 或 b 与 a 的比值，但无法确定焦点位置2求渐近线的方程，常把双曲线的方程右边的常数写成 0，分解因式即得渐近线方程，若已知渐近线方程 mx ny0，求双曲线的方程，常将双曲线的方程设为 ( 0)x2n2 y2m2求解3与双曲线 1( a0， b0)有共同渐近线的双曲线系的方程可设为x2a2 y2b2 (
16、 0， a0， b0).x2a2 y2b2一、选择题1双曲线 2x2 y28 的实轴长是( )A2B2 C4D42 2考点 双曲线的简单几何性质题点 由双曲线方程求 a， b， c 及渐近线答案 C10解析 将双曲线化成标准形式为 1，得 2a4.x24 y282若双曲线 1( a0， b0)的离心率为 ，则其渐近线方程为( )x2a2 y2b2 3A y2 x B y x2C y x D y x12 22考点 双曲线的离心率与渐近线题点 渐近线与离心率的关系答案 B解析 由 e ，得 22.ca 1 (ba)2 3 (ba)故渐近线方程为 y x，故选 B.23设 F1， F2是双曲线 C：
17、 1( a0， b0)的两个焦点， P 是 C 上一点，若x2a2 y2b2|PF1| PF2|6 a，且 PF1F2的最小内角为 30，则 C 的离心率为( )A. B.232C. D.362考点 双曲线的简单几何性质题点 求双曲线的离心率答案 C解析 不妨设| PF1| PF2|，则| PF1| PF2|2 a，又| PF1| PF2|6 a，解得| PF1|4 a，| PF2|2 a，则 PF1F2是 PF1F2的最小内角，为 30，| PF2|2| PF1|2| F2F1|22| PF1|F2F1|cos 30，(2 a)2(4 a)2(2 c)224 a2c ，32化为 e22 e3
18、0，解得 e .3 34设双曲线 1 的渐近线方程为 3x2y0，则 a 的值为( )x2a y29A4B3C2D1考点 双曲线的简单几何性质题点 由双曲线方程求 a， b， c 及渐近线答案 A解析 方程表示双曲线，11 a0， b0)的左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1， F2，过 F2的直线 l 与双曲线右支交于 A， B 两点( B 在第四象限)，若 ABF1是 B 为直角顶点的等腰直角三角形，设该双曲线的离心率为 e，则 e2为( )A52 B522 2C42 D422 2答案 A7设 F 为双曲线 C： 1( a0， b0)的右焦点，过点 F 且斜率为1 的直线 l 与双曲x2
19、a2 y2b2线 C 的两条渐近线分别交于 A， B 两点，若 3 ，则双曲线 C 的离心率 e 等于( )AB AF A. B. C. D.103 52 5 343考点 双曲线的简单几何性质题点 求双曲线的离心率答案 D解析 设 F(c,0)，则过双曲线： 1( a0， b0)的右焦点 F 且斜率为1 的直线 l 的x2a2 y2b2方程为 y( x c)，12而渐近线方程是 y x，ba由Error! 得 B ，(aca b， bca b)由Error! 得 A ，(aca b， bca b) ，AB (2abca2 b2， 2abca2 b2) ，AF (bca b， bca b)由 3
20、 ，AB AF 得 3 ，(2abca2 b2， 2abca2 b2) (bca b， bca b)则 3 ，2abca2 b2 bca b即 b a，53则 c a，a2 b2343则 e ，故选 D.ca 343二、填空题8(2017嘉兴一中期末)双曲线 C： x24 y21 的焦距是_，双曲线 C 的渐近线方程是_答案 y x5129已知双曲线 y2 1( m0)的离心率 e(1,2)，则 m 的取值范围是_x2m考点 双曲线的离心率与渐近线题点 双曲线离心率的取值范围答案 (0,3)解析 由双曲线 y2 1( m0)知， a1， b ，x2m m所以 e ，ca 1 m又 e(1,2)
21、，所以 1 2，解得 0 m3.1 m10(2017金华一中月考)已知双曲线 1( a0， b0)的焦点到其渐近线的距离等于x2a2 y2b2双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为_13答案 y2 x11过双曲线 1( a0， b0)的左焦点 F( c,0)(c0)作圆 x2 y2 的切线，x2a2 y2b2 a24切点为 E，延长 FE 交双曲线右支于点 P，若 ( )，则双曲线的离心率为OE 12OF OP _考点 双曲线的简单几何性质题点 求双曲线离心率答案 102解析 如图，设双曲线的右焦点为 M，连接 PM. OE PF，在 Rt OEF 中，|EF| .c2 a24又 ( )，O
22、E 12OF OP E 是 PF 的中点，| PF|2| EF|2 ，c2 a24|PM|2| OE| a.由双曲线的定义知，| PF| PM|2 a，2 a2 a，c2 a24 e .ca 102三、解答题12已知双曲线的一条渐近线为 x y0，且与椭圆 x24 y264 有相同的焦距，求双曲3线的标准方程考点 由双曲线的简单几何性质求方程题点 已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程解 椭圆方程为 1，可知椭圆的焦距为 8 .x264 y216 3当双曲线的焦点在 x 轴上时，设双曲线方程为 1( a0， b0)，x2a2 y2b2Error! 解得Error!14双曲线的标准方程为 1；x
23、236 y212当双曲线的焦点在 y 轴上时，设双曲线方程为 1( a0， b0)，y2a2 x2b2Error! 解得Error!双曲线的标准方程为 1.y212 x236由可知，双曲线的标准方程为 1 或 1.x236 y212 y212 x2361513已知点 A(0,1)，点 P 在双曲线 C： y21 上x22(1)当| PA|最小时，求点 P 的坐标；(2)过点 A 的直线 l 与双曲线 C 的左、右两支分别交于 M， N 两点， O 为坐标原点，若 OMN的面积为 2 ，求直线 l 的方程3考点 双曲线的简单几何性质题点 由双曲线方程研究其他问题解 (1)设 P(x， y)，则|
24、 PA| x2 y 12 ，2 2y2 y 123(y 13)2 83当 y 时，| PA|最小，13故所求点 P 的坐标为 .(253， 13)(2)由题知直线 l 的斜率存在，故可设 l 的方程为 y kx1，设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，与双曲线方程联立得(12 k2)x24 kx40，则 16(1 k2)0 且 0，即 k2 . 41 2k2 12由根与系数的关系得 x1 x2 ， x1x2 ，4k1 2k2 41 2k2| x1 x2| ，x1 x22 4x1x2161 k21 2k2S OMN 1|x1 x2| 2 ，12 12 161 k21 2k2 3解得 k2
25、 或 k2 (舍去)，即 k ，14 23 12 l 的方程为 x2 y20 或 x2 y20.四、探究与拓展14已知 F1， F2分别是双曲线 E： 1( a0， b0)的左、右焦点，点 M 在 E 上，x2a2 y2b2MF1与 x 轴垂直，sin MF2F1 ，则 E 的离心率为( )13A. B.232C. D23考点 双曲线的简单几何性质16题点 求双曲线的离心率答案 A解析 因为 MF1与 x 轴垂直，所以| MF1| .b2a又 sin MF2F1 ，所以 ，13 |MF1|MF2| 13即| MF2|3| MF1|.由双曲线的定义，得 2a| MF2| MF1|2| MF1|
26、，2b2a所以 b2 a2，所以 c2 b2 a22 a2，所以离心率 e .ca 215已知双曲线 C： y21( a0)，直线 l： x y1，双曲线 C 与直线 l 有两个不同交x2a2点 A， B，直线 l 与 y 轴交点为 P.(1)求离心率 e 的取值范围；(2)若 ，求 a 的值PA 512PB 考点 双曲线的简单几何性质题点 由双曲线方程研究其他问题解 (1)由双曲线 C 与直线 l 相交于两个不同的点，得方程组Error! 有两个不同的解，消去 y 并整理，得(1 a2)x22 a2x2 a20，Error!解得 a 且 a1.2 2又 a0，0 a 且 a1.2双曲线的离心率 e ，1 a2a 1a2 10 a 且 a1，2 e 且 e ，62 2双曲线 C 的离心率 e 的取值范围是 ( ，)(62， 2) 217(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，易得 P(0,1) ，PA 512PB ( x1， y11) (x2， y21)，512由此可得 x1 x2.512 x1， x2都是方程的根，且 1 a20， x1 x2 x2 .1712 2a21 a2x1x2 x ，5122 2a21 a2消去 x2得 ，即 a2 .2a21 a2 28960 289169又 a0， a .1713
