1、数学备用题第卷（共 60 分）第卷（共 90 分）一、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）1. 如图，已知圆锥的高是底面半径的 倍，侧面积为 ，若正方形 内接于底面圆 ，则四棱锥 侧面积为_【答案】 .【解析】分析：设圆锥底面半径为 ，则高为 ，母线长为 ，由圆锥侧面积为 ，可得 ，结合 ，利用三角形面积公式可得结果 .详解：设圆锥底面半径为 ，则高为 ，母线长为 ，因为圆锥侧面积为 ， ，设正方形边长为 ，则 ，正四棱锥的斜高为 ，正四棱锥的侧面积为 ，故答案为 .点睛：本题主要考查圆锥的性质、正四棱锥的性质，以及圆锥的侧面积、正四棱锥的侧面积，属于中档题，解答本题的关
2、键是求得正四棱锥底面棱长与圆锥底面半径之间的关系.2. 已知实数 满足 ，且 恒成立，则实数 的最小值是_【答案】 .【解析】分析：若 恒成立， 满足 的可行域在直线下面，结合图形可得结果.详解：画出 表示的可行域，如图，直线 过定点 ，若 恒成立，可行域在直线下面，当直线过 时， 有最小值 ，最小值为 ，故答案为 .点睛：本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解，属于难题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度， 此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程
3、中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.3. 函数 在 上的部分图象如图所示，则 的值为_【答案】 .【解析】分析：由函数的最值求出 ，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，从而可得函数的解析式，再利用诱导公式得 .详解： ，时， ，又 ，故答案为 .点睛：本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出 ,利用图象先求出周期，用周期公式求出 ，利用特殊点求出 ，正确求 是解题的关键.求解析时求参数 是确定函数解析式的关键，由特殊点求 时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点， 用五点法求 值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口， “第一点”(即图象
4、上升时与 轴的交点) 时 ；“第二点”(即图象的“峰点”) 时 ；“第三点”(即图象下降时与 轴的交点) 时 ；“第四点”(即图象的“谷点”) 时 ；“第五点”时 .4. 已知数列 的首项 ，且 ，则数列 的前 项的和为_【答案】 .【解析】分析：先证明 为等比数列，求得 ， ，利用等比数列求和公式可得结果.详解：由 ，得 ，为等比数列， ， ，故答案为 .点睛：本题主要考查等比数列的定义以及已知数列的递推公式求通项，属于中档题.由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数列） ；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；
5、（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造法，形如的递推数列求通项往往用构造法，即将 利用待定系数法构造成 的形式，再根据等比数例求出 的通项，进而得出的通项公式.5. 甲、乙两种食物的维生素含量如下表：维生素 （单位/ ） 维生素 （单位/ ）甲乙分别取这两种食物若干并混合，且使混合物中维生素 的含量分别不低于 单位，则混合物重量的最小值为_ 【答案】 .【解析】分析：设甲食物重 ，乙两食物重 ，则 ，混合物重 ，利用线性规划可得结果.详解：设甲食物重 ，乙两食物重 ，的含量分别不低于 单位，由 ，得 ， ，混合物重 ，平移直线 ，由图知，当直线过 时， 最小
6、值为 ，故答案为 .点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的定点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6. 在 中， 且 ，设 是平面 上的一点，则 的最小值是_【答案】 .【解析】分析：以 为坐标原点， 为 轴建立直角坐标系，则 ，设点 的坐标为，可得 ，从而可得结果.详解：由 ，且 ，得 ，如图， 以 为坐标原点， 为 轴建立直角坐标系，则 ，设点 的坐标为 ，则
7、，即 的最小值是 ，故答案为 .点睛：向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差） ；（）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和） ；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单） 7. 已知边长为 2 的等边三角形 中， 、 分别为 、 边上的点，且 ，将沿 折成 ，使平面 平面 ，则几何体 的体积的最大值为_【答案】 .【解析】分析：设 当平面 平面 时，由面面垂直的性质定理，得 平面 ， 以几何体 的体积 ，利用导数研究函数的单调
8、性，可得 时体积最大，从而可得结果.详解：设的高 为 ，的高 为 ，当平面 平面 时，由面面垂直的性质定理得平面 ，以几何体 的体积，当 ，在 时，取得最大值， ，故选 B.点睛：求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图象法、函数单调性法求解，利用函数的单调性求最值，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间 ，最后再根据其单调性求凼数的最值即可.8. 已知函数 满足 ，当 时， ，若函数恰有个 零点，则 的取值范围是_【答案】 .【解析】分析：函数 恰有个 零点，等价于 与 有个 交点，画出图象，结合图象列不等式求解即可.详解：函数 恰
9、有个 零点，等价于 与 有个 交点，满足 ，当 时， ，时， ，在 两图象有一个交点，在 上有两个交点，只需在 有一个交点即可，画出两函数图象，如图，由图可得 ，故答案为 .点睛：本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质9. 已知 为坐标原点，过点 作两条直线与
10、抛物线 ： 相切于 ， 两点，则面积的最小值为_【答案】 .【解析】分析：求出以 为切点的切线方程为 ， 为切点的切线方程为，代入 ，可得 ，过 的直线方程为 ，利用韦达定理、弦长公式以及点到直线距离公式，可得.详解：设 ， ，以 为切点的切线方程为 ，即 ，同理 为切点的切线方程为 ，代入 ，可得 ，过 的直线方程为 ，联立 ，可得 ， ，又 到直线 的距离为 ，当 时，等号成立，故答案为 .点睛：解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别
11、式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.10. 在斜 中，若 ，则 的最大值是_【答案】 .【解析】分析：在斜 中， ，结合 可得 ，利用基本不等式可得结果.详解：在斜 中， ，又 ，与 同号，又 在 中， ，当且仅当 时“=”成立，的最大值为 ，故答案为 .点睛：本题主要考查诱导公式、两角差的正切公式的应用以及基本不等式求最值，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小） ；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在
12、定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立）.二、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 11. 如图，已知圆 的方程为 ，过点 的直线 与圆 交于点 ，与 轴交于点 ，设 ，求证： 为定值.【答案】证明见解析.【解析】分析：设直线 的方程为 ， ， ，则 , 将 代入 ，得 ，利用韦达定理, .详解：当 与 轴垂直时，此时点 与点 重合，从而 ， ， .当点 与点 不重合时，直线 的斜率存在.设直线 的方程为 ， ， ，则 .由题设，得 ，即 .所以将 代入 ，得 ，则 ， ， ，所以综上， 为定值 .点睛：探索定值问题常见方法有两种： 从特
13、殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 12. 秸秆还田是当今世界上普通重视的一项培肥地力的增产措施，在杜绝了秸秆焚烧所造成的大气污染的同时还有增肥增产作用某农机户为了达到在收割的同时让秸秆还田，花元购买了一台新型联合收割机，每年用于收割可以收入 万元（已减去所用柴油费） ；该收割机每年都要定期进行维修保养，第一年由厂方免费维修保养，第二年及以后由该农机户付费维修保养，所付费用 （元）与使用年数 的关系为： ，已知第二年付费 元，第五年付费 元（1）试求出该农机户用于维修保养的费用 （元）与使用年数 的函数关
14、系；（2）这台收割机使用多少年，可使平均收益最大？（收益=收入-维修保养费用-购买机械费用）【答案】(1) .(2) 这台收割机使用 年，可使年均收益最大.【解析】试题分析： 根据第二年付费 元，第五年付费 元可得关于 的方程组，解出即可得到函数关系 记使用 年，年均收益为 （元） ，利用基本不等式求最值即可解析：（）依题意，当 ， ； ， ，即 ，解得 ，所以 .（）记使用 年，年均收益为 （元） ，则依题意， ， ，当且仅当 ，即 时取等号.所以这台收割机使用 14 年，可使年均收益最大.13. 如图，某机械厂欲从 米， 米的矩形铁皮中裁剪出一个四边形 加工成某仪器的零件，裁剪要求如下：点
15、 分别在边 上，且 ， .设 ，四边形 的面积为 （单位：平方米） .（1）求 关于 的函数关系式，求出定义域；（2）当 的长为何值时，裁剪出的四边形 的面积最小，并求出最小值 .【答案】(1) 函数 的定义域为 .(2) 当 的长度分别为 米， 米时，裁剪出的四边形 的面积最小，最小值为平方米.【解析】分析：（1）过点 作 ，可得 ，所以故 ，利用梯形的面积公式可得结果；（2）由（1）可知， ，利用基本不等式可得结果当且仅当 时，不等号取等号详解：（1）过点 作 ，垂足为 .在 中,所以故所以据题意， ，所以且当点 重合于点 时，所以函数 的定义域为 .（2）由（1）可知，当且仅当 时，不等
16、号取等号又故答：当 的长度分别为 米， 米时，裁剪出的四边形 的面积最小，最小值为平方米.点睛：本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及二倍角公式、基本不等式求最值的应用，属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.14. 已知椭圆 的左顶点，右焦点分别为 ，右准线为 ，（1）若直线 上不存在点 ，使 为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围；（2）在（1）的条件下，当 取最大值时， 点坐标为 ，设 是椭圆上的三点，且，求：以线段 的中心为
17、原点，过 两点的圆方程.【答案】(1) .(2) .【解析】试题分析：(1) 设直线 与 轴的交点是 ，依题意 ，把条件代数化，即可解得范围；(2)由题意易得椭圆方程是： ，设 ，则 ，由 ，得 因为 是椭圆 C 上一点，所以，得到 ，因为圆过 两点， 所以线段 的中点的坐标为 又 ，从而求得圆的方程.试题解析：（1）设直线 与 轴的交点是 ，依题意 ，即 , , , ,（2）当 且 时， ，故 ， 所以 ，椭圆方程是： 设 ，则 ， 由 ，得 因为 是椭圆 C 上一点，所以 即 因为圆过 两点， 所以线段 的中点的坐标为 又 由和得 ，所以圆心坐标为故所求圆方程为 15. 已知函数 ，其中
18、.（1）当 时，求函数 在 处的切线方程；（2）若函数 存在两个极值点 ，求 的取值范围；（3）若不等式 对任意的实数 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】(1) .(2) .(3) .【解析】分析：（1）求出 ， 由 的值可得切点坐标，求出 的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线 在点 处的切线方程；（2） 是方程 的两个正根，可得 ，则 可化为 ，令 ，可得 在上单调递增，所以 ；（3） 对任意的实数 恒成立，即 对任意的实数 恒成立，令 ，利用导数研究函数的单调性，讨论 的范围，令 的最小值不小于零，可得到实数 的取值范围.详解：（1）当 时， ，故 ，且 ，故所以函数 在 处的切线方程
19、为（2）由 ， 可得因为函数 存在两个极值点 ，所以 是方程 的两个正根，即 的两个正根为所以 ，即所以令 ，故 ， 在 上单调递增，所以故 得取值范围是（3）据题意， 对任意的实数 恒成立，即 对任意的实数 恒成立.令 ，则若 ，当 时， ，故 符合题意；若 ，（i）若 ，即 ，则 ， 在 上单调赠所以当 时， ，故 符合题意；（ii）若 ，即 ，令 ，得 （舍去） ，当 时， ， 在 上单调减；当 时， ， 在 上单调递增，所以存在 ，使得 ，与题意矛盾，所以 不符题意.若 ，令 ，得当 时， ， 在 上单调增；当 时， ，在 上单调减.首先证明：要证： ，即要证： ，只要证：因为 ，所以
20、 ，故所以其次证明，当 时， 对任意的 都成立令 ，则 ，故 在 上单调递增，所以 ，则所以当 时， 对任意的 都成立所以当 时，即 ，与题意矛盾，故 不符题意，综上所述，实数 的取值范围是 .点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，
21、将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.16. 已知等差数列 与等比数列 是非常数的实数列，设 .（1）请举出一对数列 与 ，使集合 中有三个元素；（2）问集合 中最多有多少个元素？并证明你的结论；【答案】(1) .(2)3 个，证明见解析.【解析】分析：（1） ，则 ；（2）不妨设，由 ，令 ，原问题转化为 关于的方程 最多有多少个解，可以证明当 时，方程最多有 个解：时，方程最多有 个解，从而可得结果.详解：（1） ，则（2）不妨设 ，由令 ，原问题转化为 关于的方程最多有多少个解.下面我们证明：当 时，方程最多有 个解： 时，方程最多有 个解当 时，考虑
22、函数 ，则如果 ，则 为单调函数，故方程最多只有一个解；如果 ，且不妨设由 得 由唯一零点 ，于是当 时，恒大于 或恒小于 ，当 时， 恒小于 或恒大于这样 在区间 与 上是单调函数，故方程最多有 个解当 时，如果如果 为奇数，则方程变为显然方程最多只有一个解，即最多只有一个奇数满足方程如果 为偶数，则方程变为，由 的情形，上式最多有 个解，即满足的偶数最多有 个这样，最多有 个正数满足方程对于 ，同理可以证明，方程最多有 个解.综上所述，集合 中的元素个数最多有 个.再由（1）可知集合 中的元素个数最多有 个.点睛：本题主要考查数列的综合性质以及分类讨论思想的应用.属于难题.分类讨论思想解决
23、高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.三、解答题17. 已知正六棱锥 的底面边长为 ，高为 现从该棱锥的 个顶点中随机选取 个点构成三角形，设随机变量 表示所得三角形的面积.（1）求概率 的值；（2）求 的分布列，并求其数学期望 【答案】(1) .(2)分布列见解析， .【解析】分析：（1）从 个顶点中随机选取 个点构成三角形，共有 种取法，其中
24、面积的三角形有 个，由古典概型概率公式可得结果；(2) 的可能取值 ，根据古典概型概率公式可求得随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得其数学期望 详解：（1）从 个顶点中随机选取 个点构成三角形，共有 种取法，其中 的三角形如 ，这类三角形共有 个因此 .（2）由题意， 的可能取值为其中 的三角形如 ，这类三角形共有 个；其中 的三角形有两类， ，如 （ 个） ， （ 个） ，共有 个；其中 的三角形如 ，这类三角形共有 个；其中 的三角形如 ，这类三角形共有 个；其中 的三角形如 ，这类三角形共有 个；因此所以随机变量的概率分布列为：所求数学期望.点睛：在解古典概型概率题时
25、，首先把所求样本空间中基本事件的总数 ，其次所求概率事件中含有多少个基本事件 ，然后根据公式 求得概率；求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算注意在求离散型随机变量的分布列时不要忽视概率分布列性质的应用，对实际的含义要正确理解.18. 从集合 的所有非空子集中，等可能地取出 个（1）若 ，求所取子集的元素既有奇数又有偶数的概率；（2）若 ，记所取子集的元素个数之差为 ，求 的分布列及数学期望 【答案】(1) .(2) 分布列见解析， .【解析】分析：（
26、1）集合 的非空子集数为 ，其中非空子集的元素全为奇数的子集数为 ，全为偶数的子集数为 ，由古典概型概率公式可得结果；（2）当 时， 的所有可能取值为 ，由组合知识，利用古典概型概率公式可得随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得其数学期望 详解：（1）当 时，记事件 ：“所取子集的元素既有奇数又有偶数”.则集合 的非空子集数为 ，其中非空子集的元素全为奇数的子集数为 ，全为偶数的子集数为 ，所以 ，（2）当 时， 的所有可能取值为则所以 的数学期望 .点睛：本题主要考查古典概型概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解该类问题，首先正确要理解题意，其次要
27、准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.19. 如图，已知直三棱柱 中, （1）求 的长（2）若 ，求二面角 的余弦值【答案】(1) .(2) .【解析】分析：（1）分别 以所在直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，可得 利用向量垂直数量积为零列方程求解即可；（2）分别利用向量垂直数量积为零列方程可求得平面 的法向量，结合为平面 的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.详解：（1）分别 以所在直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ，设
28、 ，则所以 ，因为 ，所以 ，即 ，解得所以 的长为 .（2）因为 ，所以 ，又 ，故设 为平面 的法向量，则 ，即取 ，解得 为平面 的一个法向量，显然， 为平面 的一个法向量则据图可知，二面角 大小的余弦值为 .点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20. 如图，在平面直角坐标系 中，已知点 到抛物线 焦点的距离为（1）求 的值；（2） 设 是抛物线
29、上异于 的两个不同点，过 作 轴的垂线，与直线 交于点 ，过 作轴的垂线，与直线 交于点 ，过 作 轴的垂线，与直线 分别交于点 求证：直线 的斜率为定值； 是线段 的中点【答案】(1) ， (2) 证明见解析. 证明见解析.【解析】分析：（1）由抛物线定义知， 所以 ，将点 代入抛物线得， ；(2) 设 求得 , ,利用斜率公式消去 、 可得直线 的斜率为 ；设点 的横坐标分别为 ，求得 ， ，根据中点坐标公式化简即可的结果.详解：（1）由抛物线定义知，所以 ，将点 代入抛物线得 ，（2）设则直线 的方程为：令 得， ，所以同理所以直线 的斜率为 （定值）设点 的横坐标分别为由知，直线 的方程为：令 得，又直线 的方程为：令 得，所以所以 是线段 的中点.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题，意在考查学生理解力、分析判断能力以及综合利用所学知识解决问题能力和较强的运算求解能力，其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题
