1、13.1.2 共面向量定理学习目标 1.了解共面向量等概念.2.理解空间向量共面的充要条件知识点一 共面向量能平移到同一平面内的向量叫做共面向量知识点二 共面向量定理如果两个向量 a， b 不共线，那么向量 p 与向量 a， b 共面的充要条件是存在有序实数组(x， y)，使得 p xa yb，即向量 p 可以由两个不共线的向量 a， b 线性表示知识点三 空间四点共面的条件若空间任意无三点共线的四点，对于空间任一点 O，存在实数 x， y， z 使得 x y z ，且 x， y， z 满足 x y z1，则 A， B， C， D 四点共面OA OB OC OD 1实数与向量之间可进行加法、减
2、法运算()2空间中任意三个向量一定是共面向量()3若 P， M， A， B 共面，则 x y .()MP MA MB 类型一 向量共面的判定例 1 给出以下命题：用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面；已知空间四边形 ABCD，则由四条线段 AB， BC， CD， DA 分别确定的四个向量之和为零向量；若存在有序实数组( x， y)使得 x y ，则 O， P， A， B 四点共面；OP OA OB 若三个向量共面，则这三个向量的起点和终点一定共面；若 a， b， c 三向量两两共面，则 a， b， c 三向量共面其中正确命题的序号是_答案 解析 错，空间中任
3、意两个向量都是共面的；2错，因为四条线段确定的向量没有强调方向；正确，因为 ， ， 共面，OP OA OB O， P， A， B 四点共面；错，没有强调零向量；错，例如三棱柱的三条侧棱表示的向量反思与感悟 共面向量不一定在同一个平面内，但可以平移到同一个平面内判定向量共面的主要依据是共面向量定理跟踪训练 1 下列说法正确的是_(填序号)以三个向量为三条棱一定可以作成一个平行六面体；设平行六面体的三条棱是 ， ， ，则这一平行六面体的对角线所对应的向量是 AB AA1 AD AB ；AA1 AD 若 (P )成立，则 P 点一定是线段 AB 的中点；OP 12 A PB 在空间中，若向量 与 是
4、共线向量，则 A， B， C， D 四点共面；AB CD 若 a， b， c 三向量共面，则由 a， b 所在直线所确定的平面与由 b， c 所在直线确定的平面是同一个平面答案 类型二 向量共面的证明例 2 如图所示，若 P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一点，点 H 为 PC 上的点，且 ，PHHC 12点 G 在 AH 上，且 m，若 G， B， P， D 四点共面，求 m 的值AGAH考点 空间向量的数乘运算题点 空间共面向量定理及应用解 连结 BG.因为 ， ，AB PB PA AB DC 3所以 ，DC PB PA 因为 ，PC PD DC 所以 .PC PD PB PA PA
5、PB PD 因为 ，所以 ，PHHC 12 PH 13PC 所以 ( )PH 13 PA PB PD .13PA 13PB 13PD 又因为 ，AH PH PA 所以 ，AH 43PA 13PB 13PD 因为 m，AGAH所以 m ，AG AH 4m3PA m3PB m3PD 因为 ，BG AB AG PA PB AG 所以 .BG (1 4m3)PA (m3 1)PB m3PD 又因为 G， B， P， D 四点共面，所以 1 0， m .4m3 34即 m 的值是 .34反思与感悟 利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练的进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意区分向量
6、所在的直线的位置关系与向量的位置关系跟踪训练 2 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E， F 分别为 BB1和 A1D1的中点证明：向量 ， ， 是共面向量A1B B1C EF 证明 EF EB BA1 A1F 12B1B A1B 12A1D1 4 ( )12B1B BC A1B .12B1C A1B 又 ， 不共线，B1C A1B 由向量共面的充要条件知， ， ， 是共面向量A1B B1C EF 类型三 共面向量定理的应用例 3 如图，在底面为正三角形的斜棱柱 ABC-A1B1C1中， D 为 AC 的中点，求证： AB1平面 C1BD.证明 记 a， b， c，则 a c，A
7、B AC AA1 AB1 DB a b，AB AD 12 b c，DC1 DC CC1 12所以 a c ，又 与 不共线，DB DC1 AB1 DB DC1 所以 ， ， 共面AB1 DB DC1 又由于 AB1平面 C1BD，所以 AB1平面 C1BD.反思与感悟 在空间证明线面平行的又一方法是应用共面向量定理进行转化要熟悉其证明过程和证明步骤跟踪训练 3 如图所示，已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1，设 a， b， c，在面对角AB AC AA1 线 AC1上和棱 BC 上分别取点 M， N，使 k ， k (0 k1)AM AC1 BN BC 5求证： MN平面 ABB1A1.证明 k
8、 k( ) kb kc，AM AC1 AA1 AC 又 a k a k(b a)(1 k)a kb，AN AB BN BC (1 k)a kb kb kcMN AN AM (1 k)a kc.又 a 与 c 不共线 与向量 a， c 是共面向量MN 又 MN平面 ABB1A1， MN平面 ABB1A1.1给出下列几个命题：向量 a， b， c 共面，则它们所在的直线共面；零向量的方向是任意的；若 ab ，则存在唯一的实数 ，使 a b.其中真命题的个数为_答案 1解析 假命题三个向量共面时，它们所在的直线或者在平面内或者与平面平行；真命题这是关于零向量的方向的规定；假命题当 b0 时，则有无数
9、多个 使之成立2已知点 M 在平面 ABC 内，并且对空间任一点 O， x ，则 x 的值为OM OA 13OB 13OC _答案 13解析 由题意知， x 1，13 13所以 x .133下列命题中，正确命题的个数为_若 a b，则 a 与 b 方向相同或相反；若 ，则 A， B， C， D 四点共线；AB CD 若 a， b 不共线，则空间任一向量 p a b( ， R)6答案 0解析 当 a， b 中有零向量时，不正确； 时， A， B， C， D 四点共面不一定共线，AB CD 故不正确；由 p， a， b 共面的充要条件知，当 p， a， b 共面时才满足p a b( ， R)，故不
10、正确4已知 A， B， C 三点不共线， O 为平面 ABC 外一点，若由向量 确定的OP 15OA 23OB OC 点 P 与 A， B， C 共面，那么 _.答案 215解析 P 与 A， B， C 共面 ， ( ) ( )，即AP AB AC AP OB OA OC OA (1 ) ，OP OA OB OA OC OA OA OB OC 1 1.因此 1，解得 .15 23 215共面向量定理的应用：(1)空间中任意两个向量 a， b 总是共面向量，空间中三个向量 a， b， c 则不一定共面(2)空间中四点共面的条件空间点 P 位于平面 MAB 内，则存在有序实数对 x， y 使得 x
11、 y ，MP MA MB 此为空间共面向量定理，其实质就是平面向量基本定理， ， 实质就是平面 MAB 内平面向MA MB 量的一组基底另外有 x y ，OP OM MA MB 或 x y z (x y z1)，OP OM OA OB 均可作为证明四点共面的条件，但是更为常用一、填空题1设 a， b 是两个不共线的向量， ， R，若 a b0，则 _， _.答案 0 0解析 a， b 是两个不共线的向量，7 a0， b0， 0.2下列结论中，正确的是_(填序号)若 a， b， c 共面，则存在实数 x， y，使 a xb yc；若 a， b， c 不共面，则不存在实数 x， y，使 a xb
12、yc；若 a， b， c 共面， b， c 不共线，则存在实数 x， y，使 a xb yc.答案 解析 要注意共面向量定理给出的是一个充要条件，所以第个命题正确；但定理的应用又有一个前提： b， c 是不共线向量，否则即使三个向量 a， b， c 共面，也不一定具有线性关系，故不正确；正确3空间的任意三个向量 a， b,3a2 b，它们一定是_答案 共面向量解析 如果 a， b 是不共线的两个向量，由共面向量定理知， a， b,3a2 b 共面；若 a， b共线，则 a， b,3a2 b 共线，当然也共面4.如图，平行六面体 ABCD A1B1C1D1中， E， F 分别在 B1B 和 D1
13、D 上，且BE BB1， DF DD1，若 x y z ，则 x y z_.13 23 EF AB AD AA1 答案 13解析 ( ) .EF AF AE AD DF AB BE AD 23DD1 AB 13BB1 AD AB 13AA1 x1， y1， z . x y z .13 135 i， j， k 是三个不共面的向量， i2 j2 k， 2 i j3 k， i3 j5 k，AB BC CD 且 A， B， C， D 四点共面，则 的值为_答案 1解析 若 A， B， C， D 四点共面，则向量 ， ， 共面，故存在不全为零的实数AB BC CD a， b， c，使得 a b c 0.
14、AB BC CD 即 a(i2 j2 k) b(2i j3 k) c( i3 j5 k)0，( a2 b c )i(2 a b3 c)j(2 a3 b5 c)k0.8 i， j， k 不共面，Error! Error!6.如图，在空间四边形 OABC 中， a， b， c，点 M 在 OA 上，且 OM2 MA， N 为OA OB OC BC 中点，则 _.(用 a， b， c 表示)MN 答案 a b c23 12 12解析 ( ) a( b a) ( )MN MA AB BN 13OA OB OA 12BC 13 12OC OB a( b a) (c b)13 12 a b c.23 12
15、 127平面 内有五点 A， B， C， D， E，其中无三点共线， O 为空间一点，满足 x y ， 2 x y ，则 x3 y_.OA 12OB OC OD OB OC 13OD OE 答案 76解析 由点 A， B， C， D 共面得 x y ，又由点 B， C， D， E 共面得 2x y ，联立方程12 23组解得 x ， y ，所以 x3 y .16 13 768已知 a(2,1,3)， b(3，4,2)， c(7， ，5)，若 a， b， c 共面，则实数 的值为_答案 12313解析 易得 c ta b(2 t3 ， t4 ，3 t2 )，所以Error! 解得Error!9故
16、 的值为 .123139已知 P， A， B， C 四点共面且对于空间任一点 O 都有 2 ，则OP OA 43OB OC _.答案 73解析 因为 P， A， B， C 四点共面，所以 x y z ，且 x y z1，所以OP OA OB OC 2 1，得 .43 7310已知 i， j， k 是不共面向量， a2 i j3 k， b i4 j2 k， c7 i5 j k，若a， b， c 三个向量共面，则实数 _.答案 657解析 a， b， c 三向量共面，存在实数 m， n，使得 c ma nb，即 7i5 j k m(2i j3 k) n( i4 j2 k)Error! .65711
17、在以下命题中，不正确的命题的个数为_已知 A， B， C， D 是空间任意四点，则 0；AB BC CD DA | a| b| a b|是 a， b 共线的充要条件；若 a 与 b 共线，则 a 与 b 所在直线平行；对空间任意一点 O 和不共线的三点 A， B， C，若 x y z (其中 x， y， zR)，OP OA OB OC 则 P， A， B， C 四点共面答案 3解析 0，正确；AB BC CD DA AC CD DA AD DA 若 a， b 同向共线，则| a| b|a b|，故不正确；由向量平行知不正确；由空间向量共面知不正确故共有 3 个命题不正确二、解答题12.如图所示
18、，已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在的平面互相垂直，点 M， N 分别在对角线10BD， AE 上，且 BM BD， AN AE.13 13求证：向量 ， ， 共面MN CD DE 证明 因为 M 在 BD 上，且 BM BD，13所以 .MB 13DB 13DA 13AB 同理 .AN 13AD 13DE 所以 MN MB BA AN (13DA 13AB ) BA (13AD 13DE ) .23BA 13DE 23CD 13DE 又 与 不共线，根据向量共面的充要条件可知 ， ， 共面CD DE MN CD DE 13已知非零向量 e1， e2不共线，如果 e1 e2， 2 e1
19、8 e2， 3 e13 e2，求证：AB AC AD A， B， C， D 共面证明 方法一 令 (e1 e2) (2e18 e2) v(3e13 e2)0，则( 2 3 v)e1( 8 3 v)e20.因为 e1， e2不共线，所以Error!则Error! 是其中一组解，则5 0，AB AC AD 所以 A， B， C， D 共面方法二 观察可得 (2 e18 e2)(3 e13 e2)5 e15 e25( e1 e2)5 ，所以AC AD AB .AB 15AC 15AD 由共面向量知， ， ， 共面AB AC AD 又它们有公共点 A，所以 A， B， C， D 四点共面三、探究与拓展
20、14如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中， AE3 EA1， AF FD， AG GB，过 E， F， G 三1211点的平面与对角线 AC1交于点 P，则 AP PC1_.答案 316解析 设 m ，AP AC1 因为 AC1 AB BB1 B1C1 AB AA1 AD 3 2 ，AG 43AE AF 所以 3 m m 2 m ，AP AG 43AE AF 又因为 E、 F、 G、 P 四点共面，所以 3m m2 m1，43所以 m ，所以 AP PC1316.31915.如图所示，在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中， O 是 B1D1的中点，求证： ， ，B1C OD
21、是共面向量OC1 证明 设 a，C1B1 b， c，C1D1 C1C 四边形 B1BCC1为平行四边形， c a，B1C 又 O 是 B1D1的中点， (a b)，C1O 12 (a b)，OC1 1212 b (a b) (b a)OD1 C1D1 C1O 12 12 D1D 綊 C1C， c，D1D (b a) c.OD OD1 D1D 12若存在实数 x， y，使 x y (x， yR)成立，则B1C OD OC1 c a x y12b a c 12a b (x y)a (x y)b xc.12 12 a， b， c 不共线，Error!得Error! ，又 与 不共线，B1C OD OC1 OD OC1 ， ， 是共面向量B1C OD OC1
