1、13.1.3 空间向量基本定理 3.1.4 空间向量的坐标表示学习目标 1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题.2.理解正交基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标知识点一 空间向量基本定理思考 只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底吗？答案 不一定，只需三个向量不共面，就可作为空间向量的一组基底，不需要两两垂直梳理 空间向量基本定理(1)定理内容：条件：三个向量 e1， e2， e3不共面结论：对空间中任一向量 p，存在唯一的有序实数组( x， y， z)，使 p xe1 ye2 ze3.(2)基底：定义在空
2、间向量基本定理中， e1， e2， e3是空间不共面的三个向量，则把e1， e2， e3称为空间的一个基底， e1， e2， e3叫做基向量正交基底与单位正交基底如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用 i， j， k表示(3)推论：条件： O， A， B， C 是不共面的四点结论：对空间中任意一点 P，都存在唯一的有序实数组( x， y， z)，使得 x y z .OP OA OB OC 知识点二 空间向量的坐标表示思考 若向量 ( x1， y1， z1)，则点 B 的坐标一定为(
3、x1， y1， z1)吗？AB 答案 不一定由向量的坐标表示知，若向量 的起点 A 与原点重合，则 B 点的坐标为AB (x1， y1， z1)，若向量 的起点 A 不与原点重合，则 B 点的坐标就不为( x1， y1， z1)AB 梳理 (1)空间向量的坐标表示：向量 a 的坐标：在空间直角坐标系 O xyz 中，分别取与 x 轴、 y 轴、 z 轴方向相同的单2位向量 i， j， k 作为基向量，对于空间任意一个向量 a，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组( x， y， z)，使 a xi yj zk，有序实数组( x， y， z)叫做向量 a 在空间直角坐标系 O xyz 中的坐
4、标，记作 a( x， y， z)向量 的坐标：在空间直角坐标系 O xyz 中，对于空间任意一点 A(x， y， z)，向量OA 是确定的，即 ( x， y， z)OA OA (2)空间中有向线段的坐标表示：设 A(x1， y1， z1)， B(x2， y2， z2)，坐标表示： ( x2 x1， y2 y1， z2 z1)AB OB OA 语言叙述：空间向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标(3)空间向量的加减法和数乘的坐标表示：设 a( a1， a2， a3)， b( b1， b2， b3)，则：运算 表示方法加法 a b( a1 b1， a2 b2， a3 b3)
5、减法 a b( a1 b1， a2 b2， a3 b3)数乘 a( a 1， a 2， a 3)( R)(4)空间向量平行的坐标表示：若 a( a1， a2， a3)， b( b1， b2， b3)，且 a0，则a bb1 a 1， b2 a 2， b3 a 3( R)1若 a， b， c为空间的一个基底，则 a， b,2c也可构成空间的一个基底()2若向量 的坐标为( x， y， z)，则点 P 的坐标也为( x， y， z)()AP 3在空间直角坐标系 O xyz 中向量 的坐标就是 B 点坐标减去 A 点坐标()AB 类型一 空间向量基本定理及应用命 题 角 度 1 空 间 基 底 的
6、概 念例 1 已知 e1， e2， e3是空间的一个基底，且 e12 e2 e3， 3 e1 e22 e3， e1 e2 e3，试判断 ， ， 能否作为空OA OB OC 67 OA OB OC 3间的一个基底解 假设 ， ， 共面，OA OB OC 由向量共面的充要条件知存在实数 x， y，使 x y 成立OA OB OC 所以 e12 e2 e3OA x(3 e1 e22 e3) y(e1 e267e3)(3 x y)e1( x y)e2 e3.(2x67y)得Error! 解得Error!故 ， ， 共面，不可以构成空间的一个基底OA OB OC 反思与感悟 基底判断的基本思路及方法(1
7、)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底(2)方法：如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底假设 a b c，运用空间向量基本定理，建立 ， 的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底跟踪训练 1 以下四个命题中正确的是_(填序号)空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；若 a， b， c为空间的一个基底，则 a， b， c 全不是零向量；如果向量 a， b 与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有 a 与 b 共线；任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底答案
8、解析 因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故不正确；正确；由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以与另外一个向量构成基底，故正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故不正确4命 题 角 度 2 空 间 向 量 基 本 定 理 的 应 用例 2 如图，在空间四边形 OABC 中，点 D 是边 BC 的中点，点 G， H 分别是 ABC， OBC 的重心，设 a， b， c，试用向量 a， b， c 表示向量 和 .OA OB OC OG GH 解 因为 OG OA AG ( )，OA 23AD OA 23OD OA 又点 D 为 BC 的中点，所以 ( )，OD
9、 12OB OC 所以 ( )OG OA 23OD OA ( )OA 23 12OB OC 23OA ( ) (a b c)13OA OB OC 13而 ，GH OH OG 又因为 ( ) (b c)，OH 23OD 23 12OB OC 13所以 (b c) (a b c) a.GH 13 13 13所以 (a b c)， a.OG 13 GH 13引申探究若将本例中的“ G 是 ABC 的重心”改为“ G 是 AD 的中点” ，其他条件不变，应如何表示 ，OG ？GH 5解 ( )OG 12OA OD ( )12OA 12 12OB OC a b c.12 14 14 ( )OH 23OD
10、 23 12OB OC (b c)13所以 GH OH OG (b c)13 (12a 14b 14c) a b c.12 112 112反思与感悟 用空间向量基本定理时，选择合适的基底是解题的关键跟踪训练 2 如图所示，在平行六面体 ABCD-A B C D中， a， b， c， P 是 CA的中点， M 是 CD的中点， N 是 C D的中点，点 QAB AD AA 在 CA上，且 CQ QA41，用基底 a， b， c表示以下向量(1) ；(2) ；(3) ；(4) .AP AM AN AQ 解 连结 AC， AD.(1) ( )AP 12AC AA ( ) (a b c)12AB AD
11、 AA 12(2) ( )AM 12AC AD 6 (a2 b c) a b c.12 12 12(3) ( ) ( )( ) a b c.AN 12AC AD 12 AB AD AA AD AA 12(4) ( ) ( )AQ AC CQ AC 45CA AC 45AA AC 15AC 45AA 15AB AD a b c.45AA 15 15 45类型二 空间向量的坐标表示例 3 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A B C D中， E， F， G 分别为棱DD， D C， BC 的中点，以 ， ， 为基底，求下列向量的坐标AB AD AA (1) ， ， ；AE AG AF (2)
12、 ， ， .EF EG DG 解 (1) AE AD DE AD 12DD AD 12AA ， ，(0， 1，12) AG AB BG AB 12AD (1， 12， 0) .AF AA A D D F 12AB AD AA (12， 1， 1)(2) EF AF AE (AA AD 12AB ) (AD 12AA ) ，12AB 12AA (12， 0， 12) EG AG AE (AB 12AD ) (AD 12AA ) ，AB 12AD 12AA (1， 12， 12) DG AG AD AB 12AD AD .AB 12AD (1， 12， 0)引申探究本例中，若以 ， ， 为基底，试
13、写出 ， ， 的坐标DA DC DD AE AG EF 7解 ，AE AD DE DA 12DD ( 1， 0， 12) AG AB BG DC 12DA ，12DA DC ( 12， 1， 0) .EF 12DC 12DD (0， 12， 12)反思与感悟 用坐标表示空间向量的步骤跟踪训练 3 如图所示， PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面， M， N 分别是 AB， PC 的中点，并且 PA AB1.求向量 的坐标MN 解 PA AB AD1， PA平面 ABCD， AB AD， ， ， 是两两垂直的单位向量AB AD AP 设 e1， e2， e3，以 e1， e2， e3为基底建
14、立空间直角坐标系 A xyz.AB AD AP MN MA AP PN 12AB AP 12PC ( )12AB AP 12PA AC ( )12AB AP 12PA AB AD e2 e3，12AP 12AD 12 12 .MN (0， 12， 12)8类型三 空间向量的坐标运算及应用例 4 已知空间三点 A(2,0,2)， B(1,1,2)， C(3,0,4)(1)求 ， ；AB AC AB AC (2)是否存在实数 x， y，使得 x y 成立，若存在，求 x， y 的值；若不存在，请说AC AB BC 明理由解 (1,1,2)(2,0,2)(1,1,0)，AB (3,0,4)(2,0,
15、2)(1,0,2)AC (1) (1,1,0)(1,0,2)(0,1,2)AB AC (1,1,0)(1,0,2)(2,1，2)AB AC (2)假设存在 x， yR 满足条件，由已知可得(2，1,2)由题意得BC (1,0,2) x(1,1,0) y(2，1,2)，所以(1,0,2)( x2 y， x y,2y)，所以Error! 所以Error!所以存在实数 x1， y1 使得结论成立反思与感悟 1.向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，即向量的坐标等于其终点的坐标减去始点的坐标特别地，当向量的起点为坐标原点时，向量的坐标即是终点的坐标2进行空间向量的加减、数乘的坐标运算的关键是运用好其运算
16、性质跟踪训练 4 已知四边形 ABCD 的顶点坐标分别是 A(3，1,2)， B(1,2，1)，C(1,1，3)， D(3，5,3)，求证：四边形 ABCD 是一个梯形证明 (1,2，1)(3，1,2)(2,3，3)， (3，5,3)(1,1，3)AB CD (4，6,6)， ， 24 3 6 36 与 共线，即 AB CD，AB CD 又 (3，5,3)(3，1,2)(0，4,1)，AD 9(1,1，3)(1,2，1)(2，1，2)，BC ， 与 不平行0 2 4 1 1 2 AD BC 四边形 ABCD 为梯形1已知点 A 在基底 a， b， c下的坐标为(8,6,4)，其中 a i j，
17、 b j k， c k i，则点 A 在基底 i， j， k下的坐标是_答案 (12,14,10)解析 设点 A 在基底 a， b， c下对应的向量为 p，则p8 a6 b4 c8 i8 j6 j6 k4 k4 i12 i14 j10 k，故点 A 在基底 i， j， k下的坐标为(12,14,10)2已知 a(1，2,1)， a b(1,2，1)，则 b_.答案 (2，4,2)解析 依题意，得 b a(1,2，1) a(1，2,1)2(1，2,1)(2，4,2)3已知向量 a(3，2,1)， b(2,4,0)，则 4a2 b_.答案 (8,0,4)解析 4 a2 b4(3，2,1)2(2,4
18、,0)(12，8,4)(4,8,0)(8,0,4)4.如图所示，在长方体 ABCD A1B1C1D1中建立空间直角坐标系已知 AB AD2， BB11，则 的坐标为_， 的坐标为_AD1 AC1 答案 (0,2,1) (2,2,1)解析 根据已建立的空间直角坐标系知， A(0,0,0)， C1(2，2,1)， D1(0,2,1)，则 的坐AD1 标为(0,2,1)， 的坐标为(2,2,1)AC1 5在四面体 OABC 中， a， b， c， D 为 BC 的中点， E 为 AD 的中点，则OA OB OC _.(用 a， b， c 表示)OE 10答案 a b c12 14 14解析 ( )O
19、E OA 12AD OA 12 12AB AC ( )OA 14 OB OA OC OA a b c.12OA 14OB 14OC 12 14 141用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则，逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示2用空间向量的坐标运算解决问题的前提是建立恰当的空间直角坐标系，为便于坐标的求解及运算，在建立空间直角坐标系时，要充分分析空间几何体的结构特点，应使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内一、填空题1有下列三个命题：三个非零向量 a， b， c 不能构成空间的一个基底，则 a， b， c 共面；不两两垂直的
20、三个不共面的向量也可以作为空间向量的一组基底；若 a， b 是两个不共线的向量，而 c a b( ， R 且 0)，则 a， b， c构成空间的一个基底其中为真命题的是_(填序号)答案 解析 正确作为基底的向量必须不共面；正确；不正确 a， b 不共线，当c a b 时， a， b， c 共面，故只有正确2若四边形 ABCD 为平行四边形，且 A(4,1,3)， B(2，5,1)， C(3,7，5)，则顶点 D 的坐标为_答案 (5,13，3)解析 由四边形 ABCD 是平行四边形知 ，AD BC 设 D(x， y， z)，则 ( x4， y1， z3)， (1,12，6)，AD BC 所以E
21、rror! 解得Error!即 D 点坐标为(5,13，3)113.如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为 1，则的坐标为_， 的坐标为_， 的坐标为_.AB DC1 B1D 答案 (1,0,0) (1,0,1) (1,1，1)解析 由题图可知， A(0,0,0)， B(1,0,0)， D(0,1,0)， C1(1,1,1)， B1(1,0,1)，所以(1,0,0)， (1,0,1)， (1,1，1)AB DC1 B1D 4已知 a(3,5,7)， b(6， x， y)，若 a b，则 xy 的值为_答案 140解析 显然 x0， y0.因为 a
22、b，所以 ，36 5x 7y即 x10， y14，所以 xy140.5若a e1 e2 e3， b e1 e2 e3， c e1 e2 e3， d e12 e23 e3， d a b c，则 ， ， 的值分别为_答案 ，1，52 12解析 d (e1 e2 e3) (e1 e2 e3) (e1 e2 e3)( )e1( )e2( )e3 e12 e23 e3，Error! Error!6若 A(m1， n1,3)， B(2m， n， m2 n)， C(m3， n3,9)三点共线，则m n_.答案 0解析 因为 ( m1,1， m2 n3)， (2，2,6)，AB AC 由题意得 ，AB AC
23、所以 ，m 12 1 2 m 2n 36所以 m0， n0，所以 m n0.7已知 A(2,3 ，1 v)关于 x 轴的对称点是 A( ，7，6)，则 ， ， v 的值分12别为_答案 2,10,7解析 A 与 A关于 x 轴对称，Error! Error!8已知向量 a(2 x,1,3)， b(1，2 y,9)，若 a 与 b 为共线向量，则x_， y_.考点 空间向量运算的坐标表示题点 空间向量的坐标运算答案 16 32解析 a(2 x,1,3)与 b(1，2 y,9)共线， (y0)，2x1 1 2y 39 x ， y .16 329已知 A(3,4,5)， B(0,2,1)， O(0,
24、0,0)，若 ，则 C 的坐标是_OC 25AB 考点 空间向量的正交分解题点 向量的坐标答案 (65， 45， 85)解析 设点 C 的坐标为( x， y， z)，则 ( x， y， z)OC 又 (3，2，4)， ，AB OC 25AB x ， y ， z .65 45 8510.如图，点 M 为 OA 的中点，以 ， ， 为基底， x y z ，则实数组OA OC OD DM OA OC OD (x， y， z)_.答案 (12， 0， 1)解析 因为 DM OM OD 13 0 ，所以实数组( x， y， z) .12OA OC OD (12， 0， 1)11.如图，在梯形 ABCD
25、中， AB CD， AB2 CD，点 O 为空间任一点，设 a， b， c，则向量 _.(用 a， b， c 表示)OA OB OC OD 答案 a b c12 12解析 2 ，AB CD 2( )，OB OA OD OC b a2( c)，OD a b c.OD 12 12二、解答题12已知向量 p 在基底 a， b， c 下的坐标是(2,3，1)，求 p 在基底 a， a b， a b c下的坐标解 由已知 p2 a3 b c，设 p xa y(a b) z(a b c)( x y z)a(y z)b zc，则有Error! 解得Error!故 p 在基底 a， a b， a b c下的坐
26、标为(1,4，1)13已知 O， A， B， C 四点的坐标分别是(0,0,0)，(2，1,2)，(4,5，1)，(2,2,3)，求分别满足下列条件的 P 点坐标：(1) ( )；(2) ( )OP 12AB AC AP 12AB AC 解 (2,6，3)，AB OB OA (4,3,1)AC OC OA (1)设 P 点坐标为( x， y， z)，则 ( x， y， z)， ( ) ，OP 12AB AC (3， 32， 2)所以 ，即 P 点坐标为 .OP (3， 32， 2) (3， 32， 2)14(2)设 P 点坐标为( x， y， z)，则 ( x2， y1， z2)，AP OP
27、OA 由(1)知 ( ) ，所以Error!12AB AC (3， 32， 2)解得Error! 所以 P 点坐标为 .(5，12， 0)三、探究与拓展14已知向量 a， b， c 是空间的一个基底，下列向量中可以与 p2 a b， q a b 构成空间的另一个基底的是_(填序号)2 a； b； c； a c.答案 解析 p2 a b， q a b， p 与 q 共面， a， b 共面而 c 与 a， b 不共面， c 与 p， q 可以构成另一个基底，同理 a c 与 p， q 也可构成一组基底15在正三棱柱 ABC A1B1C1中，已知 ABC 的边长为 1，三棱柱的高为 2，建立适当的空间直角坐标系，并写出 ， ， 的坐标AA1 AB1 AC1 解 分别取 BC， B1C1的中点 D， D1，以 D 为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为 x 轴，DA DC DD1 y 轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系 D xyz，如图所示，则 A ， A1(32， 0， 0)， B1 ， C1 ，(32， 0， 2) (0， 12， 2) (0， 12， 2)所以 (0,0,2)， ，AA1 AB1 ( 32， 12， 2) .AC1 ( 32， 12， 2)
