1、12.4.2 抛物线的简单几何性质学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题知识点一 抛物线的简单几何性质思考 观察下列图形，思考以下问题：(1)观察焦点在 x 轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？(2)根据图形及抛物线方程 y22 px(p0)如何确定横坐标 x 的范围？答案 (1)抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心(2)由抛物线 y
2、22 px(p0)有Error!所以 x0.梳理 四种形式的抛物线的几何性质标准方程y22 px(p0)y22 px(p0)x22 py(p0)x22 py(p0)图形范围 x0， yR x0， yR y0， xR y0， xR对称轴 x 轴 x 轴 y 轴 y 轴焦点坐标 F(p2， 0) F( p2， 0) F(0， p2) F(0， p2)准线方程 x p2 x p2 y p2 y p2顶点坐标 O(0,0)离心率 e1通径长 2p知识点二 直线与抛物线的位置关系2直线 y kx b 与抛物线 y22 px(p0)的交点个数决定于关于 x 的方程组Error!解的个数，即二次方程 k2x
3、22( kb p)x b20 解的个数当 k0 时，若 0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若 0，直线与抛物线有一个公共点；若 0， b .14设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，则 x1 x21， b b，y1 y22 x1 x22 12由 在直线 y x3 上，(12， 12 b)即 b 3，解得 b2，12 12联立得Error!解得Error! Error!1已知抛物线的对称轴为 x 轴，顶点在原点，焦点在直线 2x4 y110 上，则此抛物线的方程是( )A y211 x B y211 xC y222 x D y222 x考点 由抛物线的简单几何性质求方程题点 由简单几
4、何性质求抛物线的方程答案 C解析 在方程 2x4 y110 中，令 y0，得 x ，112抛物线的焦点为 F ，(112， 0)设抛物线方程为 y22 px(p0)，则 ， p11，p2 1128抛物线的方程是 y222 x，故选 C.2已知点 A(2,3)在抛物线 C： y22 px 的准线上，记 C 的焦点为 F，则直线 AF 的斜率为( )A B1C D43 34 12考点 抛物线的简单几何性质题点 抛物线性质的综合问题答案 C解析 因为抛物线 C： y22 px 的准线为 x ，p2且点 A(2,3)在准线上，故 2，解得 p4，p2所以 y28 x，所以焦点 F 的坐标为(2,0)，
5、这时直线 AF 的斜率 kAF .3 0 2 2 343若抛物线 y22 px(p0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点 F 的距离的关系是( )A成等差数列B既成等差数列也成等比数列C成等比数列D既不成等比数列也不成等差数列考点 抛物线的简单几何性质题点 抛物线性质的综合问题答案 A解析 设三点为 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)， P3(x3， y3)，则 y 2 px1， y 2 px2， y 2 px3.21 2 23因为 2y y y ，2 21 23所以 x1 x32 x2，即| P1F| | P3F| 2 ，p2 p2 (|P2F| p2)所以
6、| P1F| P3F|2| P2F|.4已知过抛物线 y22 px(p0)的焦点 F 作倾斜角为 45的直线交抛物线于 A， B 两点，若线段 AB 的长为 8，则 p_.考点 抛物线中过焦点的弦长问题9题点 与弦长有关的其他问题答案 2解析 设点 A， B 的坐标分别为( x1， y1)，( x2， y2)，易知过抛物线 y22 px(p0)的焦点 F，且倾斜角为 45的直线的方程为 y x ，p2把 x y 代入 y22 px，得 y22 py p20，p2 y1 y22 p， y1y2 p2.| AB|8，| y1 y2|4 ，2( y1 y2)24 y1y2(4 )2，2即(2 p)2
7、4( p2)32.又 p0， p2.5已知圆 C： x2 y26 x8 y210，抛物线 y28 x 的准线为 l，设抛物线上任一点 P 到直线 l 的距离为 m，则 m| PC|的最小值为_考点 抛物线的定义题点 抛物线定义与其他知识结合的应用答案 41解析 圆心 C(3，4)，由抛物线的定义知， m| PC|最小时为圆心与抛物线焦点(2,0)间的距离，即 . 3 22 42 411抛物线的中点弦问题用点差法较简便2轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系3在直线和抛物线的综合问题中，经常遇到求定值、过定点问题解决这类问题的方法很多，如斜
8、率法、方程法、向量法、参数法等解决这些问题的关键是代换和转化一、选择题1.(2017嘉兴一中期末)已知点 A(0,2)，抛物线 C： y22 px(p0)的焦点为 F，射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M，与其准线相交于点 N，若 ，则 p 的值等于( )|FM|MN| 55A. B2C4D81410答案 B2抛物线 C： y22 px(p0)的焦点为 F， M 是抛物线 C 上的点， O 为坐标原点，若 OFM的外接圆与抛物线 C 的准线相切，且该圆的面积为 36，则 p 的值为( )A2 B4C6 D8考点 由抛物线的简单几何性质求方程题点 由简单几何性质求抛物线的方程答案 D解析 OF
9、M 的外接圆与抛物线 C 的准线相切， OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径圆的面积为 36，圆的半径为 6.又圆心在 OF 的垂直平分线上，| OF| ，p2 6， p8.p2 p43抛物线 y x2上的点到直线 4x3 y80 的距离的最小值是( )A. B. C. D343 75 85考点 直线与抛物线的位置关系题点 求距离最小值问题答案 A解析 设抛物线 y x2上一点为( m， m2)，该点到直线 4x3 y80 的距离为，当 m 时，取得最小值为 .|4m 3m2 8|5 23 434已知抛物线 y22 px(p0)的焦点为 F，其上的三个点 A， B， C 的横坐标之比
10、为345，则以| FA|，| FB|，| FC|为边长的三角形( )A不存在 B必是锐角三角形C必是钝角三角形 D必是直角三角形考点 抛物线的简单几何性质题点 抛物线的简单几何性质应用答案 B解析 设 A， B， C 三点的横坐标分别为 x1， x2， x3， x13 k， x24 k， x35 k(k0)，由抛物线定义，得| FA| 3 k，| FB| 4 k，| FC| 5 k，易知三者能构成三角形，| FC|所p2 p2 p2对角为最大角，由余弦定理可证该角的余弦值为正数，故该三角形必是锐角三角形5等腰直角三角形 AOB 内接于抛物线 y22 px(p0)， O 为抛物线的顶点， OA
11、OB，则11AOB 的面积是( )A8 p2B4 p2C2 p2D p2考点 抛物线的简单几何性质题点 抛物线的简单几何性质应用答案 B解析 因为抛物线的对称轴为 x 轴，内接 AOB 为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性，知直线 AB 与抛物线的对称轴垂直，从而直线 OA 与 x 轴的夹角为 45.由方程组Error!得Error! 或Error!所以易得 A， B 两点的坐标分别为(2 p,2p)和(2 p，2 p)所以| AB|4 p，所以 S AOB 4p2p4 p2.126(2017牌头中学期中)已知 F 为抛物线 y2 x 的焦点，点 A， B 在该抛物线上且位于 x轴的两侧，
12、2(其中 O 为坐标原点)，则 ABO 与 AFO 面积之和的最小值是( )OA OB A2B3C. D.1728 10答案 B解析 设点 A 的坐标为( a2， a)，点 B 的坐标为( b2， b)，直线 AB 的方程为 x ty m，与抛物线 y2 x 联立得 y2 ty m0，故 ab m，由 2 得 a2b2 ab2，故 ab2OA OB 或 ab1(舍去)，所以 m2，所以 ABO 的面积为 m|a b| a b| ， AFO 的面12 |a 2a|积等于 |a| ，所以 ABO 与 AFO 的面积之和为 2 3，当12 14 |a|8 |9a8| |2a| 9|a|8 2|a|且
13、仅当 ，即| a| 时“”成立，故选 B.9|a|8 2|a| 437已知抛物线 y22 px(p0)，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A， B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为( )A x1 B x1C x2 D x2考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线位置关系的综合应用答案 B解析 抛物线的焦点为 F ，所以过焦点且斜率为 1 的直线方程为 y x ，即 x y(p2， 0) p212，代入 y22 px 消去 x，得 y22 py p2，即 y22 py p20，由根与系数的关系得p2 p2( y1， y2分别为点 A， B 的纵坐标)，所
14、以抛物线方程为 y24 x，准线方程为y1 y22x1.二、填空题8已知 O 为坐标原点， F 为抛物线 y24 x 的焦点， A 是抛物线上一点，若 4，OA AF 则点 A 的坐标是_考点 抛物线的简单几何性质题点 抛物线性质的综合问题答案 (1,2)或(1，2)解析 抛物线的焦点为 F(1,0)，设 A ，(y204， y0)则 ， ，OA (y204， y0) AF (1 y204， y0)由 4，得 y02，OA AF 点 A 的坐标是(1,2)或(1，2)9(2017嘉兴一中期末)过抛物线 y24 x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A， B 两点， O 为坐标原点若| AF|3，
15、则 AOB 的面积为_答案 32210已知在抛物线 y x2上存在两个不同的点 M， N 关于直线 y kx 对称，则 k 的取值范92围为_考点 直线与抛物线位置关系题点 直线与抛物线位置关系答案 ( ， 14) (14， )解析 设 M(x1， x )， N(x2， x )，21 2两点关于直线 y kx 对称，显然 k0 时不成立，92 ，即 x1 x2 .x21 x2x1 x2 1k 1k设 MN 的中点为 P(x0， y0)，则 x0 ， y0 k 4.12k ( 12k) 9213又中点 P 在抛物线 y x2内，4 2，即 k2 ，(12k) 116 k 或 k .14 14三、
16、解答题11(2017嘉兴一中期末)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 与抛物线 y24 x 相交于不同的 A， B 两点(1)如果直线 l 过抛物线的焦点，求 的值；OA OB (2)如果 4，证明直线 l 必过一定点，并求出该定点OA OB 解 (1)由题意知抛物线焦点坐标为(1,0)，设 l： x ty1，代入抛物线 y24 x，消去 x，得 y24 ty40， 16 t2160，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1 y24 t， y1y24， x1x2 y1y2OA OB ( ty11)( ty21) y1y2 t2y1y2 t(y1 y2)1 y1y24 t24
17、t2143.(2)设 l： x ty b，代入抛物线 y24 x，消去 x，得 y24 ty4 b0， 16 t216 b0，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1 y24 t， y1y24 b， x1x2 y1y2OA OB ( ty1 b)(ty2 b) y1y2 t2y1y2 bt(y1 y2) b2 y1y24 bt24 bt2 b24 b b24 b.令 b24 b4， b24 b40， b2.直线 l 过定点(2,0)若 4，则直线 l 必过一定点(2,0)OA OB 1412已知顶点在原点，焦点在 y 轴上的抛物线截直线 x2 y10 所得的弦长为 ，求此15抛物
18、线的方程考点 由抛物线的简单几何性质求方程题点 已知弦长求抛物线的方程解 设抛物线方程为 x2 ay(a0)由方程组Error!消去 y，得 2x2 ax a0.直线与抛物线有两个交点， ( a)242 a0，即 a0 或 a8.设两交点分别为 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 ，a2 a2| AB| .54x1 x22 54x1 x22 4x1x2 145a2 8a| AB| ， ，15145a2 8a 15即 a28 a480，解得 a4 或 a12，所求抛物线的方程为 x24 y 或 x212 y.13设抛物线 C： y24 x， F 为 C 的焦点
19、，过 F 的直线 l 与 C 相交于 A， B 两点(1)设 l 的斜率为 2，求| AB|的值；(2)求证： 是一个定值OA OB 考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线的综合问题(1)解 依题意得 F(1,0)，直线 l 的方程为 y2( x1)设直线 l 与抛物线的交点为 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由Error! 消去 y，整理得 x23 x10， x1 x23， x1x21.方法一 | AB| 1 k2x1 x22 4x1x2 5.5 32 41方法二 | AB| AF| BF| x1 x2 p325.(2)证明 设直线 l 的方程为 x ky1，直线 l 与抛
20、物线的交点为 A(x1， y1)， B(x2， y2)由Error! 消去 x，整理得 y24 ky40， y1 y24 k， y1y24.15 ( x1， y1)(x2， y2)OA OB x1x2 y1y2( ky11)( ky21) y1y2 k2y1y2 k(y1 y2)1 y1y24 k24 k2143， 是一个定值OA OB 四、探究与拓展14已知直线 l 过抛物线 y22 px(p0)的焦点且与抛物线相交，其中一个交点为(2 p,2p)，则其焦点弦的长度为_考点 抛物线中过焦点的弦长问题题点 求抛物线的焦点弦长答案 25p8解析 由题意，知直线 l 过 和(2 p,2p)，(p2
21、， 0)所以直线 l： y .设另一交点坐标为( x1， y1)，43(x p2)联立Error!整理得 8x217 px2 p20.由根与系数的关系，得 x12 p ，17p8所以焦点弦的长度为 x12 p p .25p815已知抛物线 y22 x.(1)设点 A 的坐标为 ，求抛物线上距离点 A 最近的点 P 的坐标及相应的距离| PA|；(23， 0)(2)设点 A 的坐标为( a,0)，求抛物线上的点到点 A 的距离的最小值 d，并写出 d f(a)的函数表达式考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线的综合问题解 (1)设抛物线上任一点 P 的坐标为( x， y)，则| PA|2 2 y2 22 x(x23) (x 23) 2 .(x13) 13因为 x0，且在此区间上| PA|2随着 x 的增大而增大，16所以当 x0 时，| PA|min ，23故距离点 A 最近的点 P 的坐标为(0,0)，最短距离是 .23(2)同(1)求得| PA|2( x a)2 y2( x a)22 x x( a1) 2(2 a1)当 a10，即 a1 时，| PA| 2 a1，2min解得| PA|min ，此时 x a1；2a 1当 a10，即 a1 时，| PA| a2，2min解得| PA|min| a|，此时 x0.所以 d f(a)Error!
