1、 收 稿 日 期2021-07-17;修 改 日 期2022-09-02 基 金 项 目 国 家 自 然 科 学 基 金 资 助 项 目(12171142)作 者 简 介 赵 静(1993-),女,博 士 在 读,数 学 专 业.E-ma i l:j zhao0163.c om第38卷 第6期 大 学 数 学Vo l.38,.62022年12月COLLEGEMATHEMATICS De c.2022高 等 代 数 里 线 性 空 间 理 论 在 一 元多 项 式 中 的 若 干 应 用赵 静1,刘 合 国2(1.湖 北 大 学 数 学 与 统 计 学 学 院,武 汉430062;2.海 南 大
2、 学 理 学 院,海 口570228)摘 要 线 性 空 间、基 底、维 数、同 构 都 是 高 等 代 数 里 的 核 心 概 念,本 文 运 用 这 些 知 识 来 自 然 地 处 理 一元 多 项 式 里 一 些 看 似 棘 手 的 问 题,借 以 说 明 运 用 基 本 概 念 和 结 构 定 理 进 行 推 理 的 巨 大 功 效.关 键 词 线 性 空 间;基 底;维 数;多 项 式 中 图 分 类 号O151 文 献 标 识 码C 文 章 编 号1672-1454(2022)06-0090-061 引 言从 其 起 源 和 本 质 等 方 面 说,高 等 代 数 是 关 于 线
3、性 空 间 及 其 线 性 变 换 的 理 论.不 少 长 期 从 事 高 等 代 数教 学 的 老 师 们 提 到,他 们 在 进 行 硕 士 研 究 生 面 试 时,常 常 要 求 考 生 准 确 复 述 线 性 空 间(向 量 空 间)的 定义,但 是 结 果 并 不 理 想.这 个 现 象 是 值 得 从 事 高 等 代 数 教 学 的 老 师 深 思 的!像 线 性 空 间 这 样 抽 象 的 代 数概 念,代 表 抽 象 思 维 的 普 适 性 真 理,乃 无 数 人 的 心 血 才 智 结 晶 而 来.线 性 空 间 的 概 念 朴 实 无 华,初 学 之下,它 显 得 十 分
4、笨 拙,让 初 学 者 茫 然 无 序.然 而,深 思 熟 虑 之 后,当 能 觉 悟 线 性 空 间 这 个 概 念 确 实 透 过 复杂 的 现 象 抓 住 了 本 质,由 繁 入 简,走 出 了 一 条 康 庄 大 道.古 人 面 对 人 世 间 的 种 种 现 象,感 叹“大 智 若 愚,大巧 若 拙”.高 等 代 数,乃 至 代 数 学 里 的 不 少 经 典 概 念 应 该 属 于 这 个 范 畴 吧.本 文 拟 运 用 线 性 空 间 理 论 的 一 些 基 础 知 识 处 理 一 元 多 项 式 中 的 几 个 问 题,其 中 某 些 解 题 思 路 在 经过 适 当 修 饰
5、之 后 可 应 用 于 多 元 多 项 式.为 突 出 主 线,本 文 仅 考 虑 一 元 多 项 式 的 情 况.在 本 文 里,n表 示 一 个 正 整 数,F表 示 一 个 域.Fx 表 示F上 一 元 多 项 式 构 成 的 集 合,它 是F上 的一 个 无 限 维 线 性 空 间,同 时 它 也 是 一 个 欧 几 里 得 整 环,也 就 是 说,Fx 是F上 的 一 个 无 限 维 代 数.F nx 表 示F上 次 数 小 于n的 一 元 多 项 式 构 成 的 集 合,F nx 是F上 的 一 个n维 线 性 空 间.本 文 采 用 的 术 语 是 标 准 的,按 照 文 献1.
6、2 线 性 空 间 观 念 的 应 用对 于 域F上 的 线 性 空 间V,V的 维 数 是 不 变 量,也 就 是 说,F上 的 两 个 线 性 空 间 同 构 当 且 仅 当 它 们的 维 数 相 等,于 是V的 维 数 就 抽 象 地 确 定 了 其 代 数 结 构.虽 说V的 任 意 两 组 基 底 都 是 等 价 的,但V的不 同 基 底 能 够 帮 助 我 们 从 不 同 的 侧 面 来 理 解V的 具 体 特 征,选 择 合 适 的 基 底 对 解 决 问 题 是 大 有 益处 的.2.1 借 用 维 数 处 理 整 除 性 问 题熟 知,对 于Fx 中 任 意 两 个 多 项
7、式f(x)与g(x),当g(x)0时,一 定 存 在Fx 中 的 多 项 式q(x),r(x),使f(x)=q(x)g(x)+r(x),其 中(r(x)0.取n+1个 互 异 的 素 数2,3,5,p,并 记f1(x)=x2,f2(x)=x3,f3(x)=x5,f n+1(x)=xp.令f1(x)=q 1(x)f(x)+r 1(x),f2(x)=q 2(x)f(x)+r 2(x),f3(x)=q 3(x)f(x)+r 3(x),f n+1(x)=q n+1(x)f(x)+r n+1(x),(1)其 中r i(x)的 次 数 小 于n,这 里i=1,2,n+1.因 为r 1(x),r 2(x),
8、r 3(x),r n+1(x)均 属 于F n(x),所 以 它 们 在F上 线 性 相 关,即 存 在n+1个 不 全 为 零 的 元 素a 2,a 3,a 5,ap,使 得a 2 r 1(x)+a 3 r 2(x)+a 5 r 3(x)+apr n+1(x)=0,将(1)式 代 入 计 算 可 得 f(x)a 2 q 1(x)+a 3 q 2(x)+a 5 q 3(x)+ap q n+1(x)=a 2 f1(x)+a 3 f2(x)+a 5 f3(x)+ap f n+1(x)=a 2 x2+a 3 x3+a 5 x5+apxp.例2 设f(x)是Fx 的 一 个n次 多 项 式.证 明 存
9、 在F的 不 全 为 零 的 元 素a0,a 1,a n,使f(x)|a 0 x20+a 1 x21+a n x2n.证 对 每 个0 i n,记x2i=q i(x)f(x)+r i(x),(2)其 中r i(x)的 次 数 小 于n.这 些r i(x)在F上 线 性 相 关,即 存 在 不 全 为 零 的 元 素a 0,a 1,a n,使a 0 r 0(x)+a 1 r 1(x)+a n r n(x)=0.将(2)式 代 入 计 算 可 得a 0 x20+a 1 x21+a n x2n=f(x)(a 0 q 0(x)+a 1 q 1(x)+a n q n(x).例3 设f(x)是Fx 的 一
10、 个 非 零 多 项 式.证 明(i)存 在Fx 的 非 零 多 项 式k(x)和u(x),使 得f(x)k(x)=u(x2);(i i)存 在Fx 的 非 零 多 项 式l(x)和v(x),使 得f(x)l(x)=v(x3);(i i i)存 在Fx 的 非 零 多 项 式m(x)和w(x),使 得f(x)m(x)=w(xn);(i v)对 于Fx 的 任 意 非 常 数 多 项 式(x),在Fx 中 存 在 非 零 多 项 式g(x)和h(x)使f(x)g(x)=h(x).证 显 然 只 需 证 明(i v)即 可.设f(x)的 次 数 等 于n,对 每 个0 i n,记i(x)=q i(
11、x)f(x)+r i(x),(3)其 中r i(x)的 次 数 小 于n.这 些r i(x)在F上 线 性 相 关,即 存 在 不 全 为 零 的 元 素a 0,a 1,a n,使a 0 r 0(x)+a 1 r 1(x)+a n r n(x)=0.将(3)式 代 入 计 算 可 得a 00(x)+a 11(x)+a nn(x)=f(x)(a 0 q 0(x)+a 1 q 1(x)+a n q n(x).从 表 面 上 看,上 述3个 问 题 的 解 法 清 晰 自 然,仅 仅 涉 及 到 一 元 多 项 式 的 带 余 除 法,以 及n维 线 性 空间V的 基 本 事 实:V的 任 意n+1
12、个 向 量 线 性 相 关,维 数 在 解 题 过 程 中 起 了 决 定 性 作 用.不 过,只 有 在 充分 理 解 线 性 空 间 理 论 后,才 能 找 到 这 个 解 法.如 果 把 思 想 局 限 在 多 项 式 理 论 范 围 内,即 使 找 到 解 决 这 几1 9第6期 赵 静,等:高 等 代 数 里 线 性 空 间 理 论 在 一 元 多 项 式 中 的 若 干 应 用个 问 题 的 方 法,其 步 骤 也 不 会 像 本 文 这 样 一 目 了 然.2.2 线 性 空 间 对L a g r a n g e插 值 公 式 的 应 用插 值 法 是 中 国 古 代 数 理 天
13、 文 学 中 的 重 大 成 就.它 是 一 个 基 本 的 数 学 技 术,在 理 论 和 应 用 等 方 面 都 具有 重 要 的 意 义.例 如,在 处 理 高 等 代 数 的 不 少 问 题 中,Lag r ange插 值 公 式 起 了 重 要 的 作 用.如 果 从 向 量空 间 的 角 度 来 看,这 个 结 论 是 能 够 自 然 地 呈 现 出 来 的.L a g r a n g e插 值 公 式 设a 1,a 2,a n是F的n个 两 两 互 异 的 元 素,对F的 任 意n个 元 素b1,b 2,b n,存 在 唯 一 一 个 次 数 小 于n的 多 项 式L(x),使
14、得L(a i)=b i,1 i n.进 一 步 地L(x)=ni=1b i(x-a 1)(x-a i-1)(x-a i+1)(x-a n)(a i-a 1)(a i-a i-1)(a i-a i+1)(a i-a n).下 面 从 线 性 空 间 的 角 度 用 三 种 不 同 的 方 法 来 处 理 这 个 问 题.方 法 一 对 每 个1 i n,记L i(x)=(x-a 1)(x-a i-1)(x-a i+1)(x-a n)(a i-a 1)(a i-a i-1)(a i-a i+1)(a i-a n),这 些L i(x)在F上 线 性 无 关.事 实 上,若k 1,k 2,k n F,
15、使 得k 1 L1(x)+k 2 L2(x)+k n L n(x)=0,则 令x=a i,即 可 得k i L i(a i)=k i=0.因 此,这 些L i(x)组 成F nx 的 一 组 基 底.对Fx 的 次 数 小 于n的 任 意 多 项 式f(x)而 言,f(x)可 唯 一 地 表 示 为f(x)=y1 L1(x)+y2 L2(x)+y n L n(x),在 上 式 中 令x=a i可 得f(a i)=y i,进 而f(x)=f(a 1)L1(x)+f(a 2)L2(x)+f(a n)L n(x).值 得 指 出 的 是,L1(x),L2(x),L n(x)是 完 全 独 立 于 具
16、 体 的 多 项 式f(x)的.上 式 表 明:只 要 知 道了f(x)在a 1,a 2,a n处 的 值,就 可 以 由 这n个 多 项 式L1(x),L2(x),L n(x)立 即 线 性 地 组 合 出f(x)的 准 确 表 达 式.从 这 个 意 义 上 说,L1(x),L2(x),L n(x)确 实 是F nx 的 一 组 非 常 理 想 的 基 底.现 在L1(x),L2(x),L n(x)是F nx 的 基 底,且L(x)=b 1 L1(x)+b 2 L2(x)+b n L n(x)的确 满 足L(a i)=b i,1 i n.若 存 在 另 一 个g(x)F nx,使 得g(a
17、 i)=b i,则 有g(x)=g(a 1)L1(x)+g(a 2)L2(x)+g(a n)L n(x)=b 1 L1(x)+b 2 L2(x)+b n L n(x)=L(x).至 此,完 成 了 结 论 的 证 明.同 构 的 观 念 在 处 理 代 数 学 的 各 种 结 构 时 都 是 非 常 有 效 的.F上 的 两 个 线 性 空 间 同 构 当 且 仅 当 它 们的 维 数 相 等,这 是 一 个 众 所 周 知 的 基 本 结 论.在 高 等 代 数 教 学 中,很 少 运 用 抽 象 的 同 构 去 处 理 具 体 的 问题,这 无 疑 是 教 学 里 的 一 个 薄 弱 环
18、节,值 得 警 惕.方 法 二 记Fn=(x1,x2,x n)|x i F.显 然F nx 和Fn都 是F上 的n维 线 性 空 间,下 面 构造 一 个 从F nx 到Fn的 同 构,由 此 导 出Lag r ange插 值 公 式.对F上 两 两 互 异 的 元 素a1,a 2,a n,建 立 映 射:F nx Fn,f(x)(f(a 1),f(a 2),f(a n),容 易 验 证是 线 性 的.任 取f(x),g(x)F nx 及k F,有(f(x)+k g(x)=(f(a 1)+k g(a 1),f(a 2)+k g(a 2),f(a n)+k g(a n)=(f(a 1),f(a
19、2),f(a n)+k(g(a 1),g(a 2),g(a n)=(f(x)+k(g(x).再 证是 单 的.若h(x)Ke r(),即(h(x)=(h(a 1),h(a 2),h(a n)=0,此 时h(a 1)=h(a 2)=h(a n)=0,a 1,a 2,a n都 是h(x)的 根,注 意 到h(x)F nx,必 须h(x)=0,由 此 得 到是F nx 到Fn的 一 个 同 构.现 在,对F的 任 意n个 元 素b1,b 2,b n而 言,因(b 1,b 2,b n)Fn,则 在F nx 中 存 在L(x)使2 9大 学 数 学 第38卷(L(x)=(b 1,b 2,b n).即(L
20、(a 1),L(a 2),L(a n)=(b 1,b 2,b n).这 意 味 着L(a i)=b i,1 i n.最 后,需 要 求 出L(x).注 意 到(b 1,b 2,b n)=b 1 e 1+b 2 e 2+b n e n,其 中e 1,e 2,e n是Fn的 标 准 基 底.设(L i(x)=e i,即(L i(a 1),L i(a 2),L i(a i),L i(a n)=e i,经 过 直 接 验 算,可 得L i(x)=(x-a 1)(x-a i-1)(x-a i+1)(x-a n)(a i-a 1)(a i-a i-1)(a i-a i+1)(a i-a n),从 而L(x
21、)=b 1 L1(x)+b 2 L2(x)+b n L n(x)为 所 求 多 项 式.从F nx 的 基 底 入 手,可 以 从 另 一 个 角 度 来 解 决 插 值 问 题.方 法 三(“差 分”解 法)经 过 简 单 直 接 的 验 证,可 知1,(x-a 1),(x-a 1)(x-a 2),(x-a 1)(x-a 2)(x-a n-1)是F nx 的 一 组 基 底,F nx 的 任 意 元 素f(x)可 唯 一 地 表 示 为f(x)=y01+y1(x-a 1)+y2(x-a 1)(x-a 2)+y n-1(x-a 1)(x-a 2)(x-a n-1).运 用 条 件f(a i)=
22、b i,分 别 以x=a 1,a 2,a n-1,a n代 入 上 式.即 可 解 出y0=f(a 1)=b 1,y1=f(a 2)-y0a 2-a 1=b 2-b 1a 2-a 1,y2=f(a 3)-y0-y1(a 3-a 1)(a 3-a 1)(a 3-a 2)=1a 3-a 2 b 3-b 1a 3-a 1-b 2-b 1a 2-a 1,其 它y3,y4,y n-1都 可 利 用 相 同 的 方 法 逐 步 解 出 来.下 面 用 差 分 的 方 法 来 重 新 求 解1 里 的 一 道 习 题.例4(i)一 个 次 数 小 于4的 多 项 式f(x)满 足 条 件:f(2)=3,f(
23、3)=-1,f(4)=0,f(5)=2,求f(x);(i i)求 次 数 尽 可 能 低 的 多 项 式f(x),使 得f(0)=1,f(1)=2,f(2)=5,f(3)=10.解(i)显 然1,(x-2),(x-2)(x-3),(x-2)(x-3)(x-4)是F4x 的 一 组 基 底,从 而F4x的 任 意 元 素f(x)可 表 示 为f(x)=y0+y1(x-2)+y2(x-2)(x-3)+y3(x-2)(x-3)(x-4).其 中 系 数y0,y1,y2,y3是 被 多 项 式f(x)和 基 底1,(x-2),(x-2)(x-3),(x-2)(x-3)(x-4)唯一 确 定 的.下 面
24、 分 别 将x=2,3,4,5代 入 上 式 可 得y0=3,y1=-4,y2=52,y3=-23.由 此 得 到f(x)=3-4(x-2)+52(x-2)(x-3)-23(x-2)(x-3)(x-4)=-23x3+172x2-2036x+42.(i i)显 然1,x,x(x-1),x(x-1)(x-2)是F4x 的 一 组 基 底,从 而f(x)可 表 示 为f(x)=y0+y1 x+y2 x(x-1)+y3 x(x-1)(x-2).其 中 系 数y0,y1,y2,y3是 被 多 项 式f(x)和 基 底1,x,x(x-1),x(x-1)(x-2)唯 一 确 定 的.下 面 分 别将x=0,
25、1,2,3代 入 上 式 可 得y0=1,y1=1,y2=1,y3=0.由 此 得 到f(x)=1+x+x(x-1)=x2+1.3 9第6期 赵 静,等:高 等 代 数 里 线 性 空 间 理 论 在 一 元 多 项 式 中 的 若 干 应 用插 值 是 一 种 基 本 的 数 学 思 想.Lag r ange插 值 公 式 与 时 常 出 现 的Vande rmonde行 列 式 关 系 密 切,例如 见 文 献2,它 具 有 广 泛 的 应 用,例 如 文 献3 就 用 它 来 计 算 一 些 看 似 繁 难 的 行 列 式.文 献4-6 比 较系 统 地 考 察 了 数 学 基 础 课
26、里 的 中 国 剩 余 定 理 和Lag r ange插 值 公 式,不 论 是 从 内 容 还 是 从 形 式 上 看,Lag r ange插 值 公 式 和 中 国 剩 余 定 理 都 是 一 脉 相 承 的,可 以 说 中 国 剩 余 定 理 是 更 一 般 化 的 插 值.2.3 两 个 进 一 步 的 例 子上 一 节 涉 及 到 用 差 分 求 解 多 项 式 插 值,现 在 给 出 两 个 进 一 步 的 例 子.例5 设 次 数 不 超 过n的 多 项 式f(x)满 足f(k)=2k,k=0,1,n.求f(n+1).解 显 然1,x,x(x-1),x(x-1)(x-(n-1)是
27、F n+1x 的 一 组 基 底,从 而f(x)可 表 示 为f(x)=y0+y1 x+y2 x(x-1)+y n x(x-1)(x-(n-1),其 中 系 数y0,y1,y n是 被 多 项 式f(x)和 基 底1,x,x(x-1),x(x-1)(x-(n-1)唯 一 确 定的.下 面 将x=0,1,n分 别 代 入 上 式 中,结 合 条 件f(k)=2k,可 得y0=1,y1=1,y2=12!,y n=1n!.由 此 得 到f(x)=1+x1!+x(x-1)2!+x(x-1)(x-(n-1)n!.因 此f(n+1)=1+n+11+n+12+n+1n=2n+1-1.例6 设f(x)是 次
28、数 不 超 过2 n的 多 项 式.f(x)除 以x(x-2)(x-2 n)余1,f(x)除 以(x-1)(x-3)(x-(2 n-1)余-1,求f(x).解 由 条 件 可 知f(0)=f(2)=f(2 n)=1,f(1)=f(3)=f(2 n-1)=-1.注 意 到1,x,x(x-1),x(x-1)(x-2)(x-(2 n-1)是F2 n+1x 的 基 底,从 而f(x)可 表 示 为f(x)=y0+y1 x+y2 x(x-1)+y2 n x(x-1)(x-2)(x-(2 n-1),其 中 系 数y0,y1,y2 n是 被 多 项 式f(x)和 基 底1,x,x(x-1),x(x-1)(x
29、-2)(x-(2 n-1)唯一 确 定 的.下 面 分 别 将x=0,1,2 n代 入 上 式 中,可 得y0=1,y1=-21!,y2=222!,y2 n=(-1)2 n 22 n(2 n)!.由 此 得 到f(x)=1-2 x1!+2 x(2 x-2)2!+2 x(2 x-2)(2 x-(4 n-2)(2 n)!.注 在 求 解Lag r ange插 值 问 题 时,前 面 提 到 了 两 个 方 法.其 一,运 用L(x)=b 1 L1(x)+b 2 L2(x)+b n L n(x),当 然L(x)就 是 所 求 的 多 项 式.其 二,运 用 差 分 逐 步 求 解,这 个 方 法 看
30、 似 繁 杂,实 则 直 接 了 当,它 用 归 纳的 思 路 通 过 提 高 多 项 式 的 次 数 来 达 到 预 期 目 标,其 求 解 过 程 是 能 够 用 数 学 归 纳 法 实 现 的.非 常 明 显,直 接 运 用Lag r ange插 值 公 式 来 求 解 例6是 不 合 适 的.这 足 以 说 明 利 用 线 性 空 间 理 论 解题 时,寻 求 合 适 的 基 底 是 一 件 重 要 的 事 情.3 结 论本 文 的 思 考 方 式 和 解 题 方 法 是 概 念 性 的,在 某 种 意 义 上 具 有 示 范 性 作 用,例 如,运 用 本 文 的 思 想 也能 够
31、处 理 多 元 多 项 式 里 面 的 一 些 相 似 问 题.其 实,域F上 的n元 多 项 式 全 体Fx1,x2,x n 构 成F上的 一 个 线 性 空 间V,对 任 意 自 然 数m,V的 次 数 小 于m的 元 素 形 成 一 个 有 限 维 子 空 间W,根 据W的 维数,并 适 当 选 择W的 基 底,可 以 利 用 线 性 空 间 理 论 来 解 决 问 题(注 意:对 确 定 的 较 小 的n,可 以 实 际 操作;对 一 般 的n,可 以 在 理 论 上 证 明 存 在 性,因 为 确 定W的 维 数 表 达 式 不 是 一 件 容 易 的 事 情,它 涉 及 到整 数
32、分 拆 的 计 数 问 题),这 留 给 读 者 继 续 研 究 和 探 索.4 9大 学 数 学 第38卷在 高 等 代 数 乃 至 代 数 学 的 教 学 中,学 生 们 运 用 基 本 概 念 和 结 构 定 理 进 行 思 考 的 训 练 是 远 远 不 够 的.由 于 课 时 紧 缺、实 用 主 义 泛 滥 等 等 缘 故,许 多 高 校 特 别 是 非 研 究 型 高 校 的 学 生 在 学 习 代 数 类 课 程 时,对基 本 概 念 的 有 效 性 和 结 构 定 理 的 深 刻 性 缺 乏 充 分 的 认 识.其 实,代 数 学 里 的 经 典 概 念 和 结 构 定 理 都
33、 是 经过 千 锤 百 炼 而 来,是 无 数 天 才 苦 苦 奋 斗 的 结 晶.可 惜,许 多 学 生 都 错 过 了 这 类 锻 炼,入 宝 山 而 空 回!数 学 大 师Hi l be r t在1900年 巴 黎 国 际 数 学 家 大 会 上 的 著 名 演 讲 数 学 问 题 的 结 尾 处 掷 地 有 声 地说:“数 学 中 每 一 步 真 正 的 进 展 都 与 更 有 力 的 工 具 和 更 简 单 的 方 法 的 发 现 密 切 联 系 着,这 些 工 具 和 方 法同 时 会 有 助 于 理 解 已 有 的 理 论 并 把 陈 旧 的、复 杂 的 东 西 抛 到 一 边.
34、数 学 科 学 发 展 的 这 种 特 点 是 根 深 蒂固 的.”无 疑,这 段 话 对 普 通 的 数 学 教 育 工 作 者 也 是 具 有 警 示 作 用 的,教 师 要 花 大 精 力 引 领 学 生,学 生 才 能取 得 真 正 的 进 步,或 许 从 事 数 学 教 学 本 来 就 不 是 一 件 容 易 的 事.致 谢 作 者 衷 心 感 谢 浙 江 大 学 李 慧 陵 教 授、北 京 大 学 王 杰 教 授 和 张 继 平 教 授 的 鼓 励 和 肯 定,以 及 审稿 专 家 的 中 肯 意 见!参 考 文 献1 北 京 大 学 数 学 系 前 代 数 小 组.高 等 代 数
35、M.王 萼 芳,石 生 明.4版.北 京:高 等 教 育 出 版 社,2013:44-49.2 周 芳,刘 合 国.Vande rmonde行 列 式 对Lag r ange插 值 公 式 的 应 用J.大 学 数 学,2013,29(1):122-125.3 吴 佐 慧,刘 合 国.一 类 行 列 式 的 插 值 解 法J.大 学 数 学,2014,30(6):60-66.4 刘 合 国,徐 行 忠,廖 军.数 学 基 础 课 里 的 中 国 剩 余 定 理 和Lag r ange插 值 公 式J.湖 北 大 学 学 报,2021,43(3):225-235.5 刘 合 国,赵 静.数 学
36、基 础 课 里 的 中 国 剩 余 定 理J.湖 北 大 学 学 报,2022,44(1):31-45.6 刘 合 国,赵 静.数 学 基 础 课 里 的Lag r ange插 值 公 式J.湖 北 大 学 学 报,2022,44(5):522-539.S o m e Ap pl i c a t i o n s o f L i n e a r Spa c e s i n P o lyn o m i a l s o fa S i ngl e V a r i a b l eZHAOJ i ng1,LIUHeguo2(1.Schoo lo fMa t hema t i c sandS t a t i
37、 s t i c s,Hube iUn i ve r s i t y,Wuhan430062,Ch i na;2.Schoo lo fSc i enc e,Ha i nanUn i ve r s i t y,Ha i kou570228,Ch i na)A b s t r a c t:Th i spape rus e st he o r yo fl i ne a rspa c e st ode a lwi t hs omep r ob l emsi npo l ynomi a l so fas i ng l eva r i ab l e.K e y w o r d s:l i ne a rspa c e;ba s i s;d imens i on;po l ynomi a l5 9第6期 赵 静,等:高 等 代 数 里 线 性 空 间 理 论 在 一 元 多 项 式 中 的 若 干 应 用
