1、- 1 -3.1.2 复数的几何意义明目标、知重点1理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法1复数的几何意义(1)复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 (2)复数与点、向量间的对应复数 z a bi(a， bR)一一 ,对应 ,复平面内的点 Z(a， b)；复数 z a bi(a， bR)一一 , 平面向量 ( a， b) 对 应 OZ 2复数的模复数 z a bi(a， bR)对
2、应的向量为 ，则 的模叫做复数 z 的模，记作| z|，且| z|OZ OZ .a2 b2情境导学我们知道实数的几何意义，实数与数轴上的点一一对应，实数可用数轴上的点来表示，那么复数的几何意义是什么呢？探究点一 复数与复平面内的点思考 1 实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？答 任何一个复数 z a bi，都和一个有序实数对( a， b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应小结 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数思考 2 判断下列命题的真假：在复
3、平面内，对应于实数的点都在实轴上；在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；- 2 -在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数；在复平面内，对应于非纯虚数的点都分布在四个象限答 根据实轴的定义， x 轴叫实轴，实轴上的点都表示实数，反过来，实数对应的点都在实轴上，如实轴上的点(2,0)表示实数 2，因此是真命题；根据虚轴的定义， y 轴叫虚轴，显然所有纯虚数对应的点都在虚轴上，如纯虚数 5i 对应点(0,5)，但虚轴上的点却不都是纯虚数，这是因为原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是 z00i0 表示的是实数，故除了原点外，虚轴上的点都
4、表示纯虚数，所以是真命题，是假命题；对于非纯虚数 z a bi，由于 a0，所以它对应的点 Z(a， b)不会落在虚轴上，但当 b0 时， z 所对应的点在实轴上，故是假命题例 1 在复平面内，若复数 z( m2 m2)( m23 m2)i 对应的点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线 y x 上，分别求实数 m 的取值范围解 复数 z( m2 m2)( m23 m2)i 的实部为 m2 m2，虚部为 m23 m2.(1)由题意得 m2 m20.解得 m2 或 m1.(2)由题意得Error!，Error!，10，得 m5，所以当 m5 时，复数 z 对应的点在 x 轴上方(2)由(
5、 m25 m6)( m22 m15)40，得 m1 或 m ，所以当 m1 或 m 时，52 52复数 z 对应的点在直线 x y40 上探究点二 复数与向量思考 1 复数与复平面内的向量怎样建立对应关系？答 当向量的起点在原点时，该向量可由终点唯一确定，从而可与该终点对应的复数建立一- 3 -一对应关系思考 2 怎样定义复数 z 的模？它有什么意义？答 复数 z a bi(a， bR)的模就是向量 ( a， b)的模，记作| z|或| a bi|.OZ |z| a bi| 可以表示点 Z(a， b)到原点的距离a2 b2例 2 已知复数 z3 ai，且| z| ，| z1|z2|.32跟踪训
6、练 3 设 zC，满足下列条件的点 Z 的集合是什么图形？(1)|z|2；(2)| z|3.解 方法一 (1)复数 z 的模等于 2，这表明向量 的长度等于 2，即点 Z 到原点的距离等于OZ 2，因此满足条件| z|2 的点 Z 的集合是以原点 O 为圆心，以 2 为半径的圆(2)满足条件| z|3 的点 Z 的集合是以原点 O 为圆心，以 3 为半径的圆及其内部方法二 设 z x yi(x， yR)(1)|z|2， x2 y24，点 Z 的集合是以原点为圆心，以 2 为半径的圆(2)|z|3， x2 y29.点 Z 的集合是以原点为圆心，以 3 为半径的圆及其内部- 4 -1在复平面内，复
7、数 zi2i 2对应的点位于( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案 B解析 zi2i 22i，实部小于 0，虚部大于 0，故复数 z 对应的点位于第二象限2当 0， m10，10.34 54选 B.9复数 zicos ， 0,2)的几何表示是( )A虚轴B虚轴除去原点C线段 PQ，点 P， Q 的坐标分别为(0,1)，(0，1)DC 中线段 PQ，但应除去原点答案 C10设 A、 B 为锐角三角形的两个内角，则复数 z(cos Btan A)tan Bi 对应的点位于复平面的( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案 B解析 因 A、 B 为锐角三角形的两个内角，所
8、以 A B ，即 A B，sin Acos B. 2 2cos Btan Acos B 0，sin Acos A所以点(cos Btan A，tan B)在第二象限，故选 B.11若复数 z11i， z235i，则复平面上与 z1， z2对应的点 Z1与 Z2的距离为_答案 2 5- 7 -12复数 z a21( a1)i( aR)是纯虚数，则| z|_.答案 2解析 复数 z a21( a1)i 是纯虚数，Error!解得 a1， z2i.| z|2.13当实数 m 为何值时，复数 z( m28 m15)( m23 m28)i 在复平面内的对应点：(1)位于第四象限；(2)位于 x 轴负半轴
9、上；(3)在上半平面(含实轴)解 (1)要使点位于第四象限，须Error!，Error!，7 m3.(2)要使点位于 x 轴负半轴上，须Error!，Error!， m4.(3)要使点位于上半平面(含实轴)，须 m23 m280，解得 m4 或 m7.14已知复数 z 对应的向量为 (O 为坐标原点)， 与实轴正向的夹角为 120且复数 z 的OZ OZ 模为 2，求复数 z.解 根据题意可画图形如图所示：设点 Z 的坐标为( a， b)，| | z|2， xOZ120，OZ a1， b ，3即点 Z 的坐标为(1， )，3 z1 i.3三、探究与拓展15(1)满足条件| zi|34i|的复数 z 在复平面上对应点的轨迹是( )A一条直线 B两条直线C圆 D椭圆答案 C(2)已知复数( x2) yi(x， yR)的模为 ，则 的最大值为_3yx答案 3- 8 -解析 | x2 yi| ，3( x2) 2 y23，故( x， y)在以 C(2,0)为圆心， 为半径的圆上， 表示圆上的点( x， y)与3yx原点连线的斜率如图，由平面几何知识，易知 的最大值为 .yx 3
