（暑假预习）江苏省盐城市盐都县八年级数学上册 第1-27讲课后练习（打包27套）（新版）苏科版.zip

1第 10 讲 角平分线的判定题一： 如图所示， AD⊥ OB， BC⊥ OA，垂足分别为 D、 C， AD 与 BC 相交于点 P，若 PA＝ PB，则∠1与∠2 的大小是（ ） ．A．∠1＝∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 D．无法确定题二： 如图所示， DB⊥ AB， DC⊥ AC， BD＝ DC，∠ BAC＝80°，则∠ BAD＝________，∠ CAD＝_________．ACBD题三： 如图，△ ABC 中， D 是△ ABC 边 BC 中点， DE、 DF 分别垂直于 AB、 AC，垂足为E， F， BE=CF．请证明： AD 平分∠ BAC．EB DFAC题四： （2011 云南保山）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 P 是对角线 AC 上一点，PE⊥AB ， PF⊥AD ，垂足分别为 E、 F，且 PE=PF，平行四边形 ABCD 是菱形吗？为什么？ 题五： 如图， AD 是△ ABC 的角平分线， DF⊥ AB，垂足为 F， DE=DG，△ ADG 和△ AED 的面积分别为50 和 39，则△ EDF 的面积为（ ） ．A．11 B．5.5 C．7 D．3.5ACPBDO1 22题六： 如图，△ ABC 中，∠ ABC、∠ ACB 外角的平分线相交于点 F，连接 AF，则下列结论正确的有（ ） ．A． AF 平分 BC B． AF 平分∠ BAC C． AF⊥ BC D．以上结论都正确题七： 三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什么吗？题八： 如图，已知： 90A， /DBC， P是 A的中点， PD平分 AC．求证：CP平分 DB．PA DCBE12433第 10 讲 角平分线的判定题一： A．解析：∵ AD⊥ OB， BC⊥ OA， PA＝ PB，利用三角形全等可以说明 PC=PD，由角平分线的判定可知∠1＝∠2．题二： 40°，40°．解析：因为 DB⊥ AB， DC⊥ AC，且 BD＝ DC，所以 AD 是∠ BAC 的平分线，所以∠ BAD＝∠ CAD＝ 21∠ BAC＝ ×80°＝40°．题三： 见详解．详解：∵ D 是△ ABC 边 BC 中点 ∴ BD=CD在 Rt△ BDE 与 Rt△ CDF 中()BECF已∴Rt△ BDE≌Rt△ CDF（ HL）∴ DE=DF，又 DE、 DF 分别垂直于 AB、 AC，垂足为 E， F，由角分线判定知： AD 平分∠ BAC．题四： 是菱形．理由如下：∵ PE⊥AB ， PF⊥AD ， 且 PE=PF，∴ AC 是∠ DAB 的角平分线，∴∠ DAC=∠ CAE，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ DC∥AB ，∴∠ DCA=∠CAB ，∴ ∠DAC=∠DCA ，∴ DA=DC，∴平行四边形 ABCD 是菱形．解析：首先根据定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得到∠ DAC=∠ CAE，然后证明∠ DAC=∠ DCA，可得到 DA=DC，再根据菱形的判定定理：邻边相等的平行四边形是菱形，进而可得到结论．此题主要考查了菱形的判定，证明∠ DAC=∠ DCA 是解此题的关键．题五： B．详解：作 DM=DE 交 AC 于 M，作 DN⊥ AC∵ DE=DG， DM=DE，∴ DM=DG，4∵ AD 是∠ ABC 的角平分线， DF⊥ AB，∴ DF=DN，∴Rt△ DEF≌Rt△ DMN（ HL） ，∵△ ADG 和△ AED 的面积分别为 50 和 39，∴ S△ MDG=S△ ADG-S△ ADM=50-39=11，S△ DNM=S△ DEF=12S△ MDG= ×11=5.5 故选 B．题六： B．详解：过 F 点分别作 AB、 BC、 AC 的垂线，垂足分别为 E、 G、 D，∵∠ ABC、∠ ACB 外角的平分线相交于点 F，∴ EF=GF， GF=DF，∴ EF=DF，∴ AF 平分∠ BAC．故选 B．题七： 已知：如图，△ ABC 的角平分线 AD 与 BE 交于点 I，求证：点 I 在∠ ACB 的平分线上．D CBAEHIFG证明：过点 I 作 IH⊥ AB、 IG⊥ AC、 IF⊥ BC，垂足分别是点 H、 G、 F．∵点 I 在∠ BAC 的角平分线 AD 上，且 IH⊥ AB、 IG⊥ AC∴ IH=IG（角平分线上的点到角的两边距离相等）同理 IH=IF ∴ IG=IF（等量代换）又 IG⊥ AC、 IF⊥ BC∴点 I 在∠ ACB 的平分线上（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）即：三角形的三条角平分线交于一点．解析：我们知道两条直线是交于一点的，因此可以想办法证明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点．题八： 作 PEDC，垂足为 E，所以 3490A，因为 平分 ，所以 12，所以 PAE．因为 是 B的中点，所以 B，所以 B，所以点 P在 DC的平分线上，所以 C平分 D．解析：点 在 A的平分线上，而欲证点 在 的角平分线上，可转化为证点5P到这个角两边的距离相等，这是本题证明的关键．从而考虑过点一点 P向 DC引垂线，以便充分运用角平分线的性质定理和判定定理．1第 11 讲 与角平分线有关的问题题一： 如图 1 所示：⑴若∠ BAD＝∠ CAD，且 BD⊥ AB 于 B， DC⊥ AC 于 C，则 BD＝ CD，⑵若 BD⊥ AB于 B， DC⊥ AC 于 C，且 BD＝ CD，则∠ BAD＝∠ CAD，试利用上述知识，解决下面的问题：三条公路两两相交于 A、 B、 C 三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，问可供选择的地方有多少处？BDCA图 1 题二： 如图所示，工厂师傅常用角尺来作任意一个角的平分线，请你设计一个方案，只用角尺来作一个角的平分线，并说明理由．OM NPA B题三： 如图，已知：∠ BAC=30， G 为∠ BAC 的平分线上的一点，若 EG ∥ AC 交 AB 于 E， GD ⊥ AC 于 D， GD： GE=________．题四： 如图， AD∥ BC，∠ ABC 的角平分线 BP 与∠ BAD 的角平分线 AP 相交于点 P，作 PE⊥ AB 于点E．若 PE=2，则两平行线 AD 与 BC 间的距离为 ．2题五： 如图（3） ，在三角形纸片 ABC 中，∠ C=90°，∠ A=30°， AC=3．折叠纸片，使点 A 与点 B重合，折痕与 AB、 AC 分别相交于点 D 和点 E，求折痕 DE 的长度．题六： 已知∠ MAN， AC 平分∠ MAN．（1）在图 1 中，若∠ MAN＝120°，∠ ABC＝∠ ADC＝90°，求证： AB＋ AD＝ AC；（2）在图 2 中，若∠ MAN＝120°，∠ ABC＋∠ ADC＝180°，则⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．题七： △ ABC 中，∠ C＝90°， AC＝ BC， AD 是∠ BAC 的平分线， DE⊥ AB，垂足为 E，若AB＝12cm，则△ DBE 的周长为（ ） ．A．12cm B．10cm C．14cm D．11cm题八： 如图，△ ABC 的外角∠ ACD 的平分线 CP 与内角∠ ABC 平分线 BP 交于点 P，若∠ BPC=40°，求∠ CAP 的度数．3第 11 讲 与角平分线有关的问题题一： 四处解析：如图 2 所示：⑴作出△ ABC 两内角的平分线，其交点为 O1；⑵分别作出△ ABC 两外角平分线，其交点分别为 O2， O3， O4，故满足条件的修建点有四处，即 O1， O2， O3， O4．AO3O2O1O4BC图 2题二： ⑴在射线 OA 上截取 OM 为一定的长度 a，在 OB 上截取 ON＝ a；⑵分别过 M、 N 作 OA、 OB 的垂线，设交点为 P；⑶连接 OP，则 OP 就是∠ AOB 的平分线解析：在 Rt△ OMP 和 Rt△ ONP 中， OM＝ ON， OP＝ OP，∴ Rt△ OMP≌ Rt△ ONP（ HL）∴∠ MOP＝∠ NOP．题三： 1：2．解析：作 GF⊥ AB 于 F∵ AG 平分∠ BAC， GD ⊥ AC∴ GF=GD（角平分线的性质定理）∵ EG ∥ AC ，∠ BAC=300∴∠ FEG=300∴ FG： EG=1：2∴ GD： GE=1：2题四： 4．解析：过点 P 作 MN⊥ AD，∵ AD∥ BC，∠ ABC 的角平分线 BP 与∠ BAD 的角平分线 AP 相交于点 P， PE⊥ AB 于点 E，∴ AP⊥ BP， PN⊥ BC，∴ PM=PE=2，， PE=PN=2，∴ MN=2+2=4．故答案为：4．根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出 PM=PE=2， PE=PN=2，即可得出答案．此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的性质，根据题意作出辅助线是解决问题的关键．题五： 根据折叠过程，可以得到：△ AED≌△ BED， DE⊥ AB．∴∠ DBE=∠ A=30°．在△ ABC 中，∠ ABC=180°—∠ C—∠ A=60°．4∴∠ CBE=∠ DBE=30°．∵∠ C=90°， DE⊥ AB，∴ DE=CE．在 Rt△ ADE 中，∠ A=30°，∴ AE=2DE．又 AC=AE+CE=3，∴2 DE+ DE=3，∴ DE=1．因此，折痕 DE 的长度为 1．解析：根据题意，∠ ABC=180°—∠ C—∠ A=60°，∠ DBE=∠ A=30°， DE⊥ AB．这样，就可以充分利用角平分线的性质定理以及已知线段 AC=3 这个数量条件了．折叠过程给我们提供了两个非常有用的结论：① DE⊥ AB；②△ AED≌△ BED．解题时，要充分利用这些隐含条件．另外，根据角平分线的性质定理得到 DE=CE，从而实现了把AC=AE+CE=3 的转化，为解决问题奠定了基础．题六： （1）∵ AC 平分∠ MAN，∠ MAN＝120°，∴∠ CAB＝∠ CAD＝60°∵∠ ABC＝∠ ADC＝90°，∴∠ ACB＝∠ ACD＝30°∴ AB＝ AD＝ 2AC∴ AB＋ AD＝ AC（2）成立．如图 3，过点 C 分别作 AM、 AN 的垂线，垂足分别为 E、 FEAMNDBCF图 3G∵ AC 平分∠ MAN，∴ CE＝ CF∵∠ ABC＋∠ ADC＝180°，∠ ADC＋∠ CDE＝180°∴∠ CDE＝∠ ABC ∵∠ CED＝∠ CFB＝90°，∴△ CED≌△ CFB，∴ ED＝ FB∴ AB＋ AD＝（ AF＋ BF）＋（ AE－ ED）＝ AF＋ AE，由（1）知 AF＋ AE＝ AC，∴ AB＋ AD＝ AC．解析：（1）中可利用“直角三角形中 30°所对的直角边等于斜边的一半”的性质解题；（2）中猜想结论仍成立，可通过添加辅助线，构造全等三角形进行等线段的转化．题七： A．解析：∵ AD 是∠ BAC 的平分线， DE⊥ AB，∠ C＝90°，∴ CD＝ DE，△ ACD≌△ AED，∴ AE＝ AC，∴△ DBE 的周长＝ DE＋ EB＋ DE＝ CD＋ DB＋ EB＝ BC＋ EB＝ AC＋ EB＝ AE＋ EB＝ AB＝12cm．题八： 延长 BA，做 PN⊥ BD， PF⊥ BA， PM⊥ AC，设∠ PCD=x°，∵ CP 平分∠ ACD，∴∠ ACP=∠ PCD=x°， PM=PN，∵ BP 平分∠ ABC，∴∠ ABP=∠ PBC， PF=PN，∴ PF=PM，∵∠ BPC=40°，∴∠ ABP=∠ PBC=（ x-40）°，∴∠ BAC=∠ ACD-∠ ABC=2x°-（ x°-40°）-（ x°-40°）=80°，∴∠ CAF=100°，在 Rt△ PFA 和 Rt△ PMA 中，PA=PA， PM=PF，∴ Rt△ PFA≌ Rt△ PMA，5∴∠ FAP=∠ PAC=50°故答案为：50°解析：根据外角与内角性质得出∠ BAC 的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠ CAP=∠ FAP，即可得出答案．此题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出 PM=PN=PF 是解决问题的关键．1第 12 讲 轴对称题一： 下列图形是轴对称图形的有 个.题二： 下列几何图形中，一定是轴对称图形的有 个.题三： 下列图形中，不是轴对称图形的是( )A．角 B．等边三角形 C．线段 D．不等边三角形题四： 正五角星的对称轴的条数是( )A．1 条 B．2 条 C．5 条 D．10 条题五： 如图，在 3×3 的正方形网格中，已有两个小正方形被涂绿．再将图中其余小正方形任意涂绿一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有 种．题六： 如图，Δ ABC 和 Δ A’B’C’关于直线 l 对称，下列结论中：①Δ ABC≌Δ A’B’C’；②∠ BAC’=∠ B’AC；③ l 垂直平分 CC’；④直线 BC 和 B’C’的交点不一定在 l 上，正确的有( )A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个2题七： 如图,在△ ABC 中, C=90， 点 D 在 AC 上，将△ BCD 沿着直线 BD 翻折，使点 C 落在斜边AB 上的点 E 处， DC=5cm，则点 D 到斜边 AB 的距离是 cm.题八： 如图，∠ AOB 内一点 P， P1、 P2分别是 P 关于 OA、 OB 的对称点， P1P2交 OA 于 M，交 OB 于N，若 P1P2 = 5cm，则 Δ PMN 的周长是( )A． 3cm B． 4cm C． 5cm D． 6cm题九： 如图 1，将某四边形纸片 ABCD 的 AB 向 BC 方向折过去（其中 AB＜ BC） ，使得 A 点落在 BC上，展开后出现折线 BD，如图 2．将 B 点折向 D，使得 B、 D 两点重叠，如图 3，展开后出现折线CE，如图 4．根据图 4，判断下列关系何者正确？（ ）A、 AD∥ BC B、 AB∥ CDC、∠ ADB=∠ BDC D、∠ ADB＞∠ BDC题十： 一名同学想用正方形和圆设计一个图案，要求整个图案关于正方形的某条对角线对称，那么下列图案中不符合要求的是（ ）3A． B． C． D．4第 12 讲 轴对称题一： 4.详解：第一个图有 1 条对称轴，是轴对称图形，符合题意；第二个图不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，不符合题意；第三个图有 2 条对称轴，是轴对称图形，符合题意；第四个图有 5 条对称轴，是轴对称图形，符合题意；第五个图有 1 条对称轴，是轴对称图形，符合题意；第六个图不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，不符合题意．故轴对称图形有 4 个．题二： 5.详解：题面中的五个图形都是轴对称图形.题三： D.详解：角是轴对称图形，它的角平分线所在直线就是它的对称轴；等边三角形是轴对称图形，每条边上的垂直平分线都是它的对称轴；线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴；不等边三角形只有是等腰三角形时才是轴对称图形，否则就不是；所以答案为D．题四： C.详解：正五角星每个锐角的角平分线所在直线是它的对称轴，正五角星有五个锐角，所以它有 5 条对称轴，答案为 C．题五： 5.详解：选择一个正方形涂绿，使得 3 个涂黑的正方形组成轴对称图形， 选择的位置有以下几种：1 处，3 处，7 处，6 处，5 处，选择的位置共有 5 处．题六： B.详解：∵Δ ABC 与 Δ A’B’C’关于直线 l 对称，∴Δ ABC≌Δ A’B’C’， l 垂直平分 CC’，这两个结论显然成立；而由 Δ ABC 与 Δ A’B’C’关于直线 l 对称可知∠ BAC =∠ B’AC’，∴∠ BAC’ =∠ BAC+∠ CAC’ =∠ B’AC’+∠ CAC’ =∠ B’AC；延长 BC 和 B’C’，设直线 BC 与 l 的交点为 D，直线 B’C’与 l 的交点为 D’，则由 Δ ABC 与 Δ A’B’C’关于直线 l 对称，5可知∠ CAD =∠ C’AD’，∠ BCA =∠ B’C’A， AC = AC’，∴∠ ACD = 180º−∠ BCA = 180º−∠ B’C’A =∠ AC’D’，∴Δ ACD≌Δ AC’D’，∴ AD = AD’，D 点与 D’点重合，该点就是 BC 与 B’C’的交点，即直线 BC 和 B’C’的交点一定在 l 上，④错误；所以正确的结论有三个，答案为 B．题七： 5.详解：∵△ BDE 是△ BDC 翻折而成的，∠ C=90°，∴△ BDE≌△ BDC，∴ DE⊥ AB， DE=CD，∵ DC=5cm，∴ DE=5cm．题八： C.详解：∵点 P1是点 P 关于 OA 的对称点，∴ OA 垂直平分 PP1，则 P1M = PM，同样道理 P2N = PN，这样 Δ PMN 的周长 PM+MN+NP = P1M+MN+NP2 = P1P2 = 5cm，答案为 C．题九： B.详解：∵ A 点落在 BC 上，折线为 BD，∴∠ ABD=∠ CBD，又∵ B 点折向 D，使得 B、 D 两点重叠，折线为 CE，∴ CD=CB，∴∠ CBD=∠ CDB，∴∠ ABD=∠ CDB，∴ AB∥ CD，即选项 B 正确．故选 B．题十： D.详解：A、图象关于对角线所在的直线对称，两条对角线都是其对称轴；故不符合题意；B、图象关于对角线所在的直线对称，两条对角线都是其对称轴；故不符合题意；C、图象关于对角线所在的直线对称，有一条对称轴；故不符合题意；D、图象关于对角线所在的直线不对称；故符合题意；故选 D． 1第 13 讲 垂直平分线题一： 阅读“作线段的垂直平分线”的作法，完成填空及证明．已知：线段 AB，要作线段 AB 的垂直平分线．作法：（1）分别以 A、 B 为圆心，大于 12AB 的同样长为半径作弧，两弧分别交于点 C、 D；（2）作直线 CD．直线 CD 即为所求作的线段 AB 的垂直平分线．根据上述作法和图形，先填空，再证明．已知：如图，连接 AC、 BC、 AD、 BD， AC=AD= = ．求证： CD⊥ AB， CD 平分 AB．题二： 如图，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线， P 为直线 CD 上的一点，已知线段 PA=5，则线段PB 的长度为 .题三： 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三点的距离相等，凉亭的位置应选在 .题四： 如图， AC=AD， BC=BD，则有（ ）A、 AB 垂直平分 CD B、 CD 垂直平分 ABC、 AB 与 CD 互相垂直平分 D、 CD 平分∠ ACB2题五： 已知：如图，Rt△ ABC 中，∠ A=90°，∠ B=22.5°， DE 是 BC 的垂直平分线，交 AB 于 D点．求证： AD=AC． 题六： 如图，在△ ABC 中， BA=BC，∠ B=120°， AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于 D，求证： AD= 12DC． 题七： 如图，∠ ABC=50°， AD 垂直且平分 BC 于点 D，∠ ABC 的平分线 BE 交 AD 于点 E，连接EC，则∠ AEC 的度数是 度．题八： 如图，直线 CP 是 AB 的中垂线且交 AB 于 P，其中 AP=2CP．甲、乙两人想在 AB 上取两点D、 E，使得 AD=DC=CE=EB，其作法如下：（甲）作∠ ACP、∠ BCP 的角平分线，分别交 AB 于 D、 E，则 D、 E 即为所求；（乙）作 AC、 BC 之中垂线，分别交 AB 于 D、 E，则 D、 E 即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（ ）A、两人都正确 B、两人都错误C、甲正确，乙错误 D、甲错误，乙正确3第 13 讲 垂直平分线题一： BC， BD； CD⊥ AB， CD 平分 AB．详解：已知：如图，连接 AC、 BC、 AD、 BD， AC=AD=BC=BD． 证明：设 CD 与 AB 交于点 E．∵在△ ACD 和△ BCD 中，AC=BC， AD=BD， CD=CD，∴△ ACD≌△ BCD（SSS）． ∴∠1=∠2． ∵ AC=BC，∴△ ACB 是等腰三角形．∴ CE⊥ AB， AE=BE．即 CD⊥ AB， CD 平分 AB．题二： 5.详解：∵直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线， P 为直线 CD 上的一点，∴ PB=PA，而已知线段 PA=5，∴ PB=5．题三： 垂直平分线的交点．详解：由于凉亭到草坪三点的距离相等，所以根据垂直平分线上的点到端点的距离相等，可知是△ ABC 三边垂直平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．题四： A.详解：∵ AC=AD， BC=BD，∴点 A， B 在线段 CD 的垂直平分线上．∴ AB 垂直平分 CD．故选 A．题五： 见详解．详解：因为 DE 是 BC 的垂直平分线，交 AB 于 D 点，连接 DC，所以 DB=DC（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） ，所以∠ B=∠ DCB（等边对等角） ，因此∠ ADC=∠ B+∠ DCB=22.5°+22.5°=45°，又因为∠ A=90°，所以∠ ACD=45°，所以 AD=AC．4题六： 见详解详解：如图，连接 DB．∵ MN 是 AB 的垂直平分线，∴ AD=DB，∴∠ A=∠ ABD，∵ BA=BC，∠ B=120°，∴∠ A=∠ C= 12（180°-120°）=30°，∴∠ ABD=30°，又∵∠ ABC=120°，∴∠ DBC=120°-30°=90°，∴ BD= 12DC，∴ AD= DC．题七： 115.详解：∵ AD 垂直且平分 BC 于点 D，∴ BE=EC，∴∠ DBE=∠ DCE，又∵∠ ABC=50°， BE 为∠ ABC 的平分线，∴∠ EBC=∠ C=25°，∴∠ AEC=∠ C+∠ EDC=25°+90°=115°，∴∠ AEC=115°．题八： D.详解：甲错误，乙正确．证明：∵ CP 是线段 AB 的中垂线，∴△ ABC 是等腰三角形，即 AC=BC，∠ A=∠ B，作 AC、 BC 之中垂线分别交 AB 于 D、 E，∴∠ A=∠ ACD，∠ B=∠ BCE，∵∠ A=∠ B，∴∠ ACD=∠ BCE，∵ AC=BC，∴△ ACD≌△ BCE，∴ AD=EB，∵ AD=DC， EB=CE，∴ AD=DC=EB=CE．故选 D．51第 14讲 等腰三角形题一： 已知等腰三角形的一条边长等于 6，另一条边长等于 4，则此三角形的周长为 .题二： 已知△ABC 是等腰三角形，如果它的周长为 18cm，一条边长 4cm，那么腰长是多少？题三： 一个等腰三角形，底角与顶角度数的比是 7：4，底角是多少度？题四： 一个等腰三角形的顶角是底角的 4倍，这个等腰三角形的底角和顶角分别是多少度?题五： 如图，等腰△ABC 中，AB=AC，D、E、F 分别是 AB、AC、BC 的中点，图中全等三角形共有 对.题六： 如图，△ABC 中，AB=AC，D 是 BC中点，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，求证：DE=DF．等腰三角形的周长是 25cm，一腰上的中线将周长分为 3：2 两部分，则此三角形的底边长为 cm．题八： 已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为 9cm和 15cm两部分，求这个等腰三角形的底边长和腰长．题九： 如图，在△ABC 中，AB=AD=DC，∠BAD=32°，则∠BAC= . 题十： 如图，△ABC 中，AB=AC，D 在 BC上，且 BD=AD，DC=AC，求∠B 的度数． 题十一： 已知如图，AD 既是△ABC 的角平分线又是 BC边上的中线，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于F，求证：BE=CF．2题十二： 如图，在三角形 ABC中，∠1=∠2，G 为 AD的中点，延长 BG交 AC于 E．F 为 AB上的一点，CF⊥AD 于 H．下列判断正确的有 个.（1）AD 是三角形 ABE的角平分线；（2）BE 是三角形 ABD边 AD上的中线；（3）CH 为三角形 ACD边 AD上的高． 3第 14讲 等腰三角形题一： 14或 16.详解：当 6为腰，4 为底时；6-4＜6＜6+4，能构成三角形，此时周长=6+6+4=16；当 6为底，4 为腰时；6-4＜4＜6+4，能构成三角形，此时周长=4+4+6=14．题二： 7 cm.详解：当长为 4cm的边为底时，其它两边都为(18-4)÷2=7cm，三边长是：4cm，7cm，7cm，腰长是 7cm；当长为 4cm的边为腰时，其它两边为 4cm和 10cm，∵4+4＜10，所以不能构成三角形．∴腰长是 7cm．题三： 70°.详解：180× 74=70（度） ；题四： 底角为 30°，顶角为 120°.详解：设底角为 x，则 x+x+4x=180°，6x=180°，x=30°；30°×4=120°.题五： 7.详解：如图所示∵等腰△ABC 中，AB=AC，D、E、F 分别是 AB、AC、BC 的中点∴BF=CF，AD=BD=AE=EC，AF⊥BC∵BF=CF，AB=AC∴△ABF≌△ACF（HL）①∴∠ABF=∠ACF，∠BAF=∠CAF∵BD=CE，BC=BC∴△BDC≌△CEB（SAS）②∴∠DCB=∠EBC∴OB=OC∵OF=OF∴△BOF≌△COF（SAS）③∵AD=AE，AB=AC，∠DAC=∠EAB∴△ADC≌△AEB（SAS）④∴∠ADC=∠AEB∵AD=AE，∠BAF=∠CAF∴△ADO≌△AEO（AAS）⑤4∴OD=OE∵∠DOB=∠EOC，OB=OC∴△DOB≌△EOC（SAS）⑥∴∠DBO=∠ECO∵AB=AC，OB=OC∴△ABO≌△ACO（SAS）⑦∴共有七对题六： DE=DF．详解：：∵AB=AC，D 是 BC中点，∴∠ABC=∠ACB，BD=DC．∵DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，∴∠DEB=∠DFC=90°在△DEB 和△DFC 中，∠ABC=∠ACB，∠DEB=∠DFC，BD=DC，∴△DEB≌△DFC（AAS） ，∴DE=DF．题七： 35cm或 5cm.详解：设该三角形的腰长是 xcm，底边长是 ycm．根据题意，得：x+ 2x=15，y+ =10或 x+ 2x=10，y+ =15，解得 x=10， y=5或 x= 03， y= 5．经检验，都符合三角形的三边关系．因此三角形的底边长为 3cm或 5cm．题八： 底边长为 4cm，腰长为 10cm．详解：设三角形的腰为 x，如图：△ABC 是等腰三角形，AB=AC，BD 是 AC边上的中线，则有 AB+AD=9或 AB+AD=15，分下面两种情况解．（1）x+ 2x=9，∴x=6，∵三角形的周长为 9+15=24cm，∴三边长分别为 6，6，12∵6+6=12，不符合三角形的三边关系∴舍去；5（2）x+ 1x=15∴x=10∵三角形的周长为 24cm∴三边长分别为 10，10，4．综上可知：这个等腰三角形的底边长为 4cm，腰长为 10cm．题九： 69°．详解：在△ABC 中，AB=AD=DC，在三角形 ABD中，∵AB=AD，∴∠B=∠ADB=（180°-32°）× 12=74°，在三角形 ADC中，又∵AD=DC，∴∠CAD= 12∠ADB=74°× =37°．∴∠BAC=32°+37°=69°．题十： 36°.详解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵BD=AD，∴∠B=∠BAD，则∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B，∵DC=AC，∴∠ADC=∠DAC=2∠B，设∠B=x°，则∠C=∠BAD=x°，∠BAC=∠BAD+∠CAD=x°+2x°=3x°，在△ABC 中，∠B+∠BAC+∠C=180°，则 x+x+3x=180，∴x=36，即∠B=36°．题十一： BE=CF．详解：∵AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，∴DE=DF，∵AD 是 BC边的中线，∴BD=CD，在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，BD=CD ，DE=DF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL） ，∴BE=CF．题十二： 1.6详解：根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断．连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．①根据三角形的角平分线的概念，知 AD是三角形 ABC的角平分线，AG 是三角形 ABE的角平分线，故此选项错误；②根据三角形的中线的概念，知 BG是三角形 ABD边 AD上的中线，故此选项错误；③根据三角形的高的概念，知此选项正确．1第 15讲 等腰三角形的判定题一： 如图，已知△ ABC中， AD为高，且 AB+CD=AC+BD，求证： AB=AC．题二： 如图，△ ABC中， AD平分∠ BAC， BD=CD，求证： AB=AC．题三： 如图， AE是△ ABC的外角平分线，且 AE∥ BC．求证： AB=AC．题四： 已知：在△ ABC中， AB=AC， D在 AB上， DE∥ AC．求证： DB=DE.题五： 如图，若 OD平分∠ AOB，且 DE∥ OB，则△ EOD是什么三角形，说明你的理由.2题六： 如图，已知是 E是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为 C，D，求证：OD=OC. 题七： 如图，在△ ABC中， AB=AC，∠ A=36°， AB的垂直平分线 DE交 AC于 E，垂足为 D．试问：图中的等腰三角形有哪些？题八： 如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=45°，AC 的垂直平分线交 AB，AC 于 D，E 两点，连接CD，如果 AD=1，∠BCD= 度．3第 15讲 等腰三角形的判定题一： 见详解详解：∵三角形 ABD和 ACD是直角三角形，∴ AB2-BD2=AC2-CD2①，又由 AB+CD=AC+BD得：AB-BD=AC-CD②，由①②得：AB+BD=AC+CD③，联立公式②③得：AB=AC．题二： 见详解．详解：过点 D作 DM⊥ AB于点 M，过点 D作 DN⊥ AC于点 N，∵ AD平分∠ BAC，∴ DM=DN，在 Rt△ BDM和 Rt△ CDN中，∵ BD=CD ， DM=DN，∴Rt△ BDM≌Rt△ CDN（HL），∴∠ B=∠ C，∴ AB=AC．题三： 见详解详解：∵ AE∥ BC，∴∠ DAE=∠ C，∠ BAE=∠ B， 又∵ AE是△ ABC的外角平分线，∴∠ DAE=∠ BAE，∴∠ B=∠ C，∴ AB=AC．题四： 见详解详解：∵ AB=AC， DE∥ AC，∴∠ B=∠ C，∠ C=∠ DEB，∴∠ B=∠ DEB，∴ DB=DE．题五： 见详解详解：△ EOD为等腰三角形理由：∵ OD平分∠ AOB∴∠ AOD=∠ DOB∵ DE∥ OB∴∠ EDO=∠ BOD4∴∠ AOD=∠ EDO∴ OE=DE∴△ EOD为等腰三角形．题六： 见详解详解：∵点 E是∠ AOB的平分线上一点， EC⊥ OA， ED⊥ OB，垂足分别是 C， D，∴ DE=CE，∠ EOD=∠ EOC，在 Rt△ ODE与 Rt△ OCE中，∵ DE=CE， OE=OE，∴Rt△ ODE≌Rt△ OCE，∴ OD=OC题七： 等腰三角形有△ ABC，△ ABE，△ BEC．详解：∵ AB=AC，∠ A=36°，∴∠ ABC=∠ C= 12×(180°-36°)=72°．∵由 DE垂直平分 AB，∴ EA=EB，∴∠ ABE=∠ A=36°．∴∠ AEB=180°-36°-36°=108°，∴∠ BEC=72°．∴∠ BEC=∠ C，∴ BE=BC．∴等腰三角形有△ ABC，△ ABE，△ BEC．题八： 22.5.详解：∵ DE是 AC的垂直平分线∴ CD=AD=1,∠ DCE=∠ A=45°∴△ ADC是等腰直角三角形∴∠ B+∠ BCD=90°又∵∠ B=∠ BCA=∠ BCD+∠ DCE=∠ BCD+45°∴∠ BCD+45°+∠ BCD=90°∴∠ BCD=22.5°1第 16 讲 等边三角形的性质题一： 已知：如图，△ ABC 是等边三角形，在 BC 边上取点 D，在边 AC 的延长线上取点 E 使DE=AD．求证： BD=CE．题二： 如图，等边△ ABC 的周长是 9， D 是 AC 边上的中点， E 在 BC 的延长线上．若 DE=DB，则 CE的长为 .题三： 已知，Rt△ ABC 中，∠ ACB=90°， AB=8cm， D 为 AB 中点， DE⊥ AC 于 E，∠ A=30°，求BC， CD 和 DE 的长.题四： 已知：△ ABC 中， AB=AC=BC （△ ABC 为等边三角形） D 为 BC 边上的中点，DE⊥ AC 于 E.求证： AC41.题五： △ ABC 中，∠ BAC=2∠ B， AB=2AC， AE 平分∠ CAB.求证： AE=2CE.题六： 在△ ABC 中，∠ ACB=90°， D 是 AB 边的中点，点 F 在 AC 边上， DE 与 CF 平行且相等 .求证： AE=DF.2题七： 如图，已知 P 是边长为 1 的正三角形 ABC 内的一个动点，如 PE⊥ AB 于 E， PF⊥ BC 于F， PD⊥ AC 于 D，则 PD+PE+PF 的值为 .题八： 已知：△ ABC 中， AB=AC，点 P 是 BC 边上任意一点， PE⊥ AB 于 E， PF⊥ AC 于 F， CD 是 AB边上的高线．求证： PE+PF=CD.题九： 如图，分别以△ ABC 的边 AB、 AC 向外作等边△ ABE 和等边△ ACD，求证： BD=CE．题十： 已知：如图，在等边三角形 ABC 中，点 D、 E 分别是 AB、 BC 延长线上的点，且 BD=CE．求证： DC=AE．3第 16 讲 等边三角形的性质题一： 见详解详解：作 DF∥ AE 交 AB 于 F，∵△ ABC 是正三角形，可得△ FBD 是正三角形，∴ FB=DB=DF， AB-FB=BC-DB， AF=DC．∵ DA=DE，∴∠ DAE=∠ E，∠ FAD=∠ CDE．在△ AFD 和△ DCE 中AF=DC, ∠ FAD=∠ CDE, AD=DE，∴△ AFD≌△ DCE（SAS）．∴ DF=CE．即 BD=CE．题二： 32.详解：∵△ ABC 为等边三角形， D 为 AC 边上的中点，∴ BD 为∠ ABC 的平分线，且∠ ABC=60°，即∠ DBE=30°，又 DE=DB，∴∠ E=∠ DBE=30°，∴∠ CDE=∠ ACB-∠ E=30°，即∠ CDE=∠ E，∴ CD=CE；∵等边△ ABC 的周长为 9，∴ AC=3，∴ CD=CE=12AC= 3．题三： BC=4cm， CD=4cm， DE=2cm.详解：在 Rt△ ABC 中∵∠ ACB=90 ∠ A=30°∴ ABC21∵ AB=8 ∴ BC=4∵ D 为 AB 中点， CD 为中线∴ 421BC∵ DE⊥ AC，∴∠ AED=90°在 Rt△ ADE 中， ADE21， B21∴ 4BD.题四： 见详解4详解：∵ DE⊥ AC 于 E，∴∠ DEC=90°(垂直定义)∵△ ABC 为等边三角形，∴ AC=BC ∠ C=60°∵在 Rt△ EDC 中，∠ C=60°，∴∠ EDC=90°-60°=30°∴ D21∵ D 为 BC 中点，∴ B ∴ A21∴ ACE41.题五： 见详解详解：取 AB 中点 M，连接 EM∵ AE 平分∠ CAB ∴ CAB21（角平分线意义）∵∠ BAC=2∠ B ∴∠2=∠ B ∴ AE=EB∴ EM⊥ AB∴∠ EMA=90°∵ AB=2AC AB=2AM ∴ AC=AM在△ ACE 与△ AME 中 AEMC21∴△ ACE≌△ AME（SAS）∴∠ EMA=∠ C=90°在 Rt△ ACB 中，∠1+∠2+∠ B=90° ∵∠1=∠2=∠ B ∴∠1=30°∴ AE21即 AE=2CE.题六： AE=DF.详解：∵在 Rt△ ACB 中， D 为 AB 中点，∴ ABC21，且∠2=∠3∵ DE∥ CF ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠3∴在△ DEA 与△ DFC 中 CDAFE31∴△ EDA≌△ DFC（SAS）5∴ AE=DF题七： 32.详解：连接 PA、 PB、 PC，∵△ ABC 是边长为 1 的正三角形，∴可得三角形 ABC 的面积为 34，SABC=SAPB+SAPC+SBPC= 2×1×PE+ ×1×PF+12×1×PD= （ PD+PE+PF），∴可得 PD+PE+PF= 3．题八： 见详解详解：连接 AP，∵ S△ ABP+S△ ACP=S△ ABC∴ ABPE2+ CF= ABD2∵ AB=AC∴ PE+PF=CD题九： 见详解详解：∵△ ABE 和△ ACD 是等边三角形，∴ AE=AB， AD=AC，∠ EAB=∠ DAC=60°，∴∠ EAB+∠ BAC=∠ DAC+∠ CAB，∴∠ BAD=∠ EAC，在△ ACE 和△ ADB 中AE=AB，∠ EAC=∠ DAB， AC=AD，∴△ ACE≌△ ADB（SAS），∴ BD=CE．题十： 见详解详解：∵△ ABC 是等边三角形，∴∠ ABC=∠ ACB=60°， BC=CA．∴∠ DBC=∠ ECA=180°-60°=120°．在△ DBC 与△ ECA 中，6DB=EC，∠ DBC=∠ ECA， BC=CA，∴△ DBC≌△ ECA．∴ DC=AE．