1、 1 专题五 二次函数综合压轴题 (不含解析类 ) 1.（ 2018 江苏南通，第 27 题 , 12 分） 已知，正方形 ABCD， A(0， 4)， B(1， 4)， C(1， 5)， D(0， 5)， 抛物线 y x2 mx2m 4(m 为常数 )， 顶点为 M （ 1） 抛物线经过定点坐标是 ，顶点 M 的坐标（用 m 的代数式表示 ） 是 ； （ 2） 若抛物线 y x2 mx 2m 4(m 为常数 )与正方形 ABCD 的边有交点，求 m 的取值范围； （ 3） 若 ABM 45 时，求 m 的值 【解析】 （ 1） (2， 0)， ( ， )； （ 2） ； （ 3） 或 2.（
2、 2018 江苏泰州，第 26 题 , 14 分） 平面直角坐标系 xOy 中，横坐标为 a 的点 A 在反比例函数 (x 0)的图象，点 A与点A 关于点 O 对称，一次函数 的图象经过点 A （ 1）设 a 2，点 B(4， 2)在函数 ， 的图像上分别求函数 ， 的表达式；直接写出使 0 成立的 x 的范围； （ 2）如图，设函数 ， 的图像相交于点 B，点 B 的横坐标为 3a， AA B 的面积为16，求 k 的值； （ 3）设 m ，如图，过点 A 作 AD x 轴，与函数 的图像相交于点 D，以 AD 为一边向右侧作正方形 ADEF，试说明函数 的图像与线段 EF 的交点 P 一
3、定在函数 的图像上 2m 21 244 mm 1 12 m21 5m 29 51kyx2y mx n1y 2y 1y 2y1y 2y1y 2y12 2y2y 1y2 【解析】 （ 1） ， ， 0 x 4； （ 2） k 的值为 6； （ 3）设 A( ， )，则 A ( ， )，代入 得 ， ， D( ， ) AD ， ，代入 得 ，即 P( ， ) 将点 P 横坐标代入 得纵坐标为 ，可见点 P 一定在函数 的图像上 3. （ 2018 江苏无锡，第 28 题 , ） 已知；如图，一次函数 1y kx的图象经过点 A（ 35， m）（ m0） ,与 y 轴交于点 B，点C，在线段 AB 上
4、，且 BC=2AC，过点 C 作 x轴的垂线，垂足为点 D，若 AC=CD， （ 1） 求这个一次函数的表达式； （ 2） 已知一开口向下，以直线 CD 为对称轴的抛物线经过点 A，它的顶点为 P，若过点 P且垂直于 AP 的直线与 x轴 的交点为 Q（ 455 ， 0）求这条抛物线的函数表达式。 18yx 2 2yxa ka a ka 2y 2akn a21 +22akyxaa ka a2k aa 22Pkkx a aaa 2y 2Pay 2ka 2a1kyx 2a1y3 【解答】 作 BE CD， AF BE， AM CD 易证 BEC BFA BC BEBA BF BC=2AC， A（
5、25， m） 2335BE BE=2 5 C（ 2 5 ， 2 5 k-1） 又 1y kx 易得 AC= 251k AC=CD， 251k =2 5 k-1 所以得到 k= 255 （ 3） 设 2( 2 5)y a x h A（ 35， 5） h（ h-5） =（ 4525 5 ） 5 h =7 2( 2 5) 7y a x yxCDBOA4 5a+7=5 a= 25 即 22 ( 2 5) 75yx 4. （ 2018 江苏徐州 ，第 27 题 ,） 已知二次函数的图象以 A（ 1， 4）为顶点，且过点 B（ 2， 5） 求该函数的关系式； 求该函数图象与坐标轴的交点坐标； 将该函数图象
6、向右平移，当图象经过原点时， A、 B 两点随图象移至 A、 B， 求 O A B的面积 . 解析 解：（ 1） （ 2） （ 0,3），（ 3,0），（ 1,0） （ 3）略 5. （ 2018 江西 ，第 23 题） 小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程： 求解体验 (1) 已知抛物线 经过点 (-1,0),则 = ， (2) 顶点坐标为 ， 该抛物线关于点 (0,1）成中心对称的抛物线的表达式是 . 抽象感悟 我们定义：对于抛物线 ,以 轴上的点 为中心，作该抛物线关-12 23y x x xy备用图O5 于点 对称的抛物线 ,则我们又称抛物线 为抛物线 的“衍生抛物线”，
7、点 为“衍生中心” . (2)已知抛物线 关于点 的衍生抛物线为 ，若这两条抛物线有交点，求 的取值范围 . 问题解决 (3) 已知抛物线 若抛物线 的衍生抛物线为 ,两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求 ， 的值及衍生中心的坐标； 若抛物线 关于点 的衍生抛物线为 ,其顶点为 ；关于点 的衍生抛 物线为 ，其顶点为 ；关于点 的衍生抛物线为 ，其顶点为 ； ( 为 正整数 ).求 的长 (用含 的式子表示 ). 【解析】 求解体验 (1)把 (-1,0)代入 得 顶点坐标是 (-2,1) (-2,1)关于 (0,1)的对称点是 (2,1) 成中心对称的抛物线表达式是： 即 (如右图 )
8、 抽象感悟 (2) 顶点是（ -1,6） (-1,6)关于 的对称点是 两抛物线有交点 有解 有解 (如右图 ) 问题解决 (3) = 顶点（ -1， ） 代入 得： 顶点（ 1， ） xy1OxyOxy963O6 代入 得： 由 得 , 两顶点坐标分别是（ -1,0），（ 1,12） 由中点坐标公式得 “衍生中心”的坐标是（ 0,6） 如图， 设 , , 与 轴分别相于 , , . 则 与 , 与 , 与 ， 与 分别关于 , , 中心对称 . , 分别是 , 的中位线， ， , xyBnBkBn+1B1AAn+1AnAkA1O7 6. （ 2018 辽宁大连，第 24 题） 如图 1，直线
9、 AB 与 x 轴、 y 轴分别相交于点 A、 B，将线段 AB 绕点 A 顺时针旋转 90，得到 AC，连接 BC，将 ABC 沿射线 BA 平移，当点 C 到达 x 轴时运动停止设平移为 m，平移后的图形在 x 轴下方部分的面积为 S S 关于 m 的函数图象如图 2 所示（其中 0 m a，a m b 时，函数的解析式不同） （ 1）填空： ABC 的面积为 _； （ 2）求直线 AB 的解析式； （ 3）求 S 关于 m 的解析式，并写出 m 的取值范国 7. （ 2018 山东滨州 ，第 26 题， 14 分 ） 如图，在平面直角坐标系中，圆心为 P（ x， y）的动圆经过点 A（
10、1， 2）且与 x 轴相切于点 B （ 1）当 x=2 时，求 P 的半径； （ 2）求 y 关于 x 的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图中画出此函数的图象； （ 3）请类比圆的定义（图可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（ 2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到 的距离等于到 的距离的所有点的集合 （ 4）当 P 的半径为 1 时，若 P 与以上（ 2）中所得函数图象相交于点 C、 D，其中交点D（ m， n）在点 C 的右侧，请利用图，求 cos APD 的大小 【解答】 解：（ 1）由 x=2，得到 P（ 2， y）， 连接 AP， PB， 圆 P 与
11、 x 轴相切， PB x 轴，即 PB=y， 由 AP=PB，得到 =y， 解得： y= ， 则圆 P 的半径为 ； 2545 8 （ 2）同（ 1），由 AP=PB，得到（ x 1） 2+（ y 2） 2=y2， 整理得： y= （ x 1） 2+1，即图象为开口向上的抛物线， 画出函数图象，如图所示； （ 3）给（ 2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到点 A 的距离等于到 x 轴的距离的所有点的集合； 故答案为：点 A； x 轴； （ 4）连接 CD，连接 AP 并延长，交 x 轴于点 F， 设 PE=a，则有 EF=a+1， ED= ， D 坐标为（ 1+ ， a+1），
12、代入抛物线解析式得： a+1= （ 1 a2） +1， 解得： a= 2+ 或 a= 2 （舍去），即 PE= 2+ ， 在 Rt PED 中， PE= 2， PD=1， 则 cos APD= = 2 8.（ 2018 山东济宁，第 21 题， 9 分） 知识 背 景 9 当 a 0 且 x 0 时 ， 因 为 ( x xa )2 0，所以 x 2 a + ax 0， 从而 x+ 2a ax （当 x= a 时取等号 ） 设函数 y=x+ ax (a 0， x 0)由上述结论可知：当 x= a 时 ， 该函数有最小值为 2 a 应用举例 已知函数为 y1=x(x 0)与函数 y2= 4x (x
13、 0) ，则当 x= 4 =2 时 ， y1+y2=x+ 4x 有最小值为 2 4 =4 解决问题 （ 1）已知函数为 y1=x+3(x 3)与函数 y2=(x+3)2+9(x 3)，当 x 取何值时， 21yy 有最小值？ 最小值是多少？ （ 2）已 知 某设备 租赁 使用成 本 包含以 下 三 部 分：一 是 设备的 安 装 调 试费用，共 490 元 ； 二是设备的 租 赁使用费用 ， 每天 200 元 ； 三是设备的折旧费用 ， 它与使用天数的平方成正比，比例系数为 0.001，若设该设备的租赁使用天数为 x 天，则当 x 取何值时，该设备平均每天的租货使用成本最低？最低是多少元？ 【
14、解答】 解 ：（ 1） = =（ x+3） + ， 当 x+3= 时， 有最小值， x=0 或 6（舍弃）时，有最小 值 =6 （ 2）设该设备平均每天的租货使用成本为 w 元则 w= +0.001x+200， 当 =0.001x 时 ， w 有最小值， x=700 或 700（舍 弃 ）时 ， w 有最小值， 最 小 值 =201.4 元 9.（ 2018 山东聊城 ，第 25 题） 如图，已知抛物线 2y ax bx与 x轴分别交于原点 O和点 (10,0)F ，与对称轴 l 交于点(5,5)E .矩形 ABCD的边 AB 在 x轴正半轴上，且 1AB ，边 AD， BC与抛物线分别交于点
15、 M ， N .当矩形 ABCD沿 x轴正方向平移，点 M ， N 位于对称轴 l的同侧时，连接 MN ，10 此时，四边形 ABNM 的面积记为 S ；点 M ， N 位于对称轴 l 的两侧时，连接 EM ， EN ，此时五边形 ABNEM 的面积记为 S .将点 A与点 O重合的位置作为矩形 ABCD平移的起点，设矩形 ABCD平移的长度为 (0 5)tt . （ 1）求出这条抛物线的表达式； （ 2）当 0t 时，求 OBNS 的值； （ 3）当矩形 ABCD沿着 x轴的正方向平移时，求 S 关于 (0 5)tt 的函数表达式，并求出 t为何值时， S 有最大值，最大值是多少？ 11 1
16、0.（ 2018 山东淄博 ，第 24 题， 9 分） 如图，抛物线 y=ax2+bx 经过 OAB 的三个顶点，其中点 A（ 1， ），点 B（ 3， ），O 为坐标原点 （ 1）求这条抛物线所对应的函数表达式； 12 （ 2）若 P（ 4， m）， Q（ t， n）为该抛物线上的两点，且 n m，求 t 的取值范围； （ 3）若 C 为线段 AB 上的一个动点，当点 A，点 B 到直线 OC 的距离之和最大时，求 BOC的大小及点 C 的坐标 【解答】 解：（ 1）把点 A（ 1， ），点 B（ 3， ）分别代入 y=ax2+bx 得 解得 y= （ 2）由（ 1）抛物线开口向下，对称轴为
17、直线 x= 当 x 时， y 随 x 的增大而减小 当 t 4 时， n m （ 3）如图，设抛物线交 x 轴于点 F 分别过点 A、 B 作 AD OC 于点 D， BE OC 于点 E 13 AC AD， BC BE AD+BE AC+BE=AB 当 OC AB 时，点 A，点 B 到直线 OC 的距离之和最大 A（ 1， ），点 B（ 3， ） AOF=60， BOF=30 AOB=90 ABO=30 当 OC AB 时， BOC=60 点 C 坐标为（ ， ） 11.（ 2018 山西 ，第 23 题， 9 分） 综合与探究 如图，抛物线 211433y x x 与 x轴交于 A， B
18、 两点（点 A在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C ，连接 AC ， BC .点 P 是第四象限内抛物线上的一个动点，点 P 的横坐标为 m，过点 P 作 PM x 轴，垂足为点 M ， PM 交 BC于点 Q，过点 P 作 /PE AC 交 x轴于点 E ，交 BC于点 F . （ 1）求 A， B ， C 三点的坐标； （ 2）试探究在点 P 运动的过程中，是否存在这样的点 Q，使得以 A， C ， Q为顶点的三角形是等腰三角形 .若存在，请 直接 写出此时点 Q的坐标；若不存在，请说明理由； （ 3）请用含 m的代数式表示线段 QF 的长，并求出 m为何值时 QF 有最大值 . 14
19、 12.（ 2018 云南 ，第 20 题， 9 分） 已知二次函数 y 163 x2 bx c 的图象经过 A（ 0， 3）、 B（ 4， 29 ）两点 （ 1）求 b、 c 的值； （ 2）二次函致 y 163 x2 bx c 的图象与 x 轴是否有公共点？若有，求公共点的坐标； 若没有，请说明理由 15 12.（ 2018 浙江杭州 ，第 22 题， 12 分） 设二次函数 y=ax2+bx（ a+b）（ a， b 是常数， a 0） （ 1）判断该二次函数图象与 x 轴的交点的个数，说明理由 （ 2）若该二次函数图象经过 A（ 1， 4）， B（ 0， 1）， C（ 1， 1）三个点中
20、的其中两个点，求该二次函数的表达式 （ 3）若 a+b 0，点 P（ 2， m）（ m 0）在该二次函数图象上，求证： a 0 【解答】 解：（ 1） 由题意 =b2 4a（ a+b） =b2+4ab+4a2=（ 2a+b） 2 0 二次函数图象与 x 轴的交点的个数有两个或一个 （ 2）当 x=1 时， y=a+b（ a+b） =0 抛物线不经过点 C 把点 A（ 1， 4）， B（ 0， 1）分别代入得 解得 抛物线解析式为 y=3x2 2x 1 （ 3）当 x=2 时 m=4a+2b（ a+b） =3a+b 0 a+b 0 a b 0 16 相加得： 2a 0 a 0 13.（ 2018
21、 浙江嘉兴 ，第 23 题， 12 分） （ 1） 点 M 坐棕是 )14,( bb , 把 bx 代入 14 xy ,得 14 by , 点 M 在直线 14 xy 上 . （ 2）如图 1, 直线 5mxy 与 y 轴交于点内 B ,点 B 坐杯为 )5,0( . 又 B )5,0( 在抛物线上 , 14)0(5 2 bb ,解得 2b , 二次函数的表达式为 9)2( 2 xy , 当 0y 时 ,得 1,5 21 xx . )0,5(A 双察图象可得 ,当 14)(5 2 bbxmx 时 , x的取值范围为 0x 或 5x （ 3）如图 2, 直线 14 xy 与直线 AB 交于点 E
22、 ,与 y 轴交于点 F , 而直线 AB 表达式为 5 xy , 解方程组514xyx 得52154yy点 )1,0(),521,54( FE 点 M 在 AOB 内 , 540 b . 当点 DC, 关于抛物线对称轴（直线 bx ）对称时 , 21,4341 bbb 且二次函数图象的开口向下 ,顶点 M 在直线 14 xy 上 , 17 综上 :当一 210 b 时 . 21 yy 当 21b 时， 21 yy ; 当 5421 b 时， 21 yy 14. （ 2018 浙江杭州 ，第 23 题， 12 分） 巳知 ,点 M 为二次函数 14)( 2 bbxy 图象的顶点 ,直线 5mx
23、y 分别交 x轴 , y 轴于点 BA, （ 1）判断顶点 M 是否在直线 14 xy 上 ,并说明理由 . （ 2）如图 1.若二次函数图象也经过点 BA, .且 14)(5 2 bbxmx .根据图象 ,写出 x的取值范围 . （ 3）如图 2.点 A坐标为 )0,5( ,点 M 在 BA0 内 ,若点 ),41( 1yC , ),43( 2yD 都在二次函数图象上，试比较 1y 与 2y 的大小 . 【解答】 解：（ 1）点 M 为二次函数 y=（ x b） 2+4b+1 图象的顶点， M 的坐标是（ b， 4b+1）， 把 x=b 代入 y=4x+1，得 y=4b+1， 点 M 在直线
24、 y=4x+1 上； 18 （ 2）如图 1 ， 直线 y=mx+5 交 y 轴于点 B， B 点坐标为（ 0， 5）又 B 在抛物线上， 5=（ 0 b） 2+4b+1=5，解得 b=2， 二次函数的解析是为 y=（ x 2） 2+9， 当 y=0 时，（ x 2） 2+9=0，解得 x1=5， x2= 1， A（ 5， 0） 由图象，得 当 mx+5（ x b） 2+4b+1 时， x 的取值范围是 x 0 或 x 5； （ 3）如图 2， 直线 y=4x+1 与直线 AB 交于点 E，与 y 轴交于 F， A（ 5， 0）， B（ 0， 5）得 直线 AB 的解析式为 y= x+5， 联
25、立 EF， AB 得 方程组 ， 解得 ， 点 E（ ， ）， F（ 0， 1） 点 M 在 AOB 内， 1 4b+1 0 b 当点 C， D 关于抛物线的对称轴对称时， b = b， b= ， 19 且二次函数图象开口向下，顶点 M 在直线 y=4x+1 上， 综上：当 0 b 时， y1 y2， 当 b= 时， y1=y2， 当 b 时， y1 y2 15. （ 2018 浙江宁波 ，第 22 题， 10 分） 已知抛物线 y= x2+bx+c 经过点（ 1， 0），（ 0， ） （ 1）求该抛物线的函数表达式； （ 2）将抛物线 y= x2+bx+c 平移，使其顶点恰好落在原点，请写出
26、一种平移的方法及平移后的函数表达式 【解答】 解：（ 1）把（ 1， 0），（ 0， ）代入抛物线解析式得： ， 解得： ， 则抛物线解析式为 y= x2 x+ ； （ 2）抛物线解析式为 y= x2 x+ = （ x+1） 2+2， 将抛物线向右平移一个单位，向下平移 2 个单位，解析式变为 y= x2 16.（ 2018 浙江舟山， 第 23 题， 10 分） 已知，点 M 为二次函数 y=（ x b） 2+4b+1 图象的顶点，直线 y=mx+5 分别交 x 轴正半轴，y 轴于点 A， B （ 1）判断顶点 M 是否在直线 y=4x+1 上，并说明理由 （ 2）如图 1，若二次函数图象也
27、经过点 A， B，且 mx+5（ x b） 2+4b+1，根据图象，写出 x 的取值范围 （ 3）如图 2，点 A 坐标为（ 5， 0），点 M 在 AOB 内，若点 C（ ， y1）， D（ ， y2）都在二次函数图象上，试比较 y1 与 y2 的大小 20 【解答】 解：（ 1）点 M 为二次函数 y=（ x b） 2+4b+1 图象的顶点， M 的坐标是（ b， 4b+1）， 把 x=b 代入 y=4x+1，得 y=4b+1， 点 M 在直线 y=4x+1 上； （ 2）如图 1 ， 直线 y=mx+5 交 y 轴于点 B， B 点坐标为（ 0， 5）又 B 在抛物线上， 5=（ 0 b
28、） 2+4b+1=5，解得 b=2， 二次函数的解析是为 y=（ x 2） 2+9， 当 y=0 时，（ x 2） 2+9=0，解得 x1=5， x2= 1， A（ 5， 0） 由图象，得 当 mx+5（ x b） 2+4b+1 时， x 的取值范围是 x 0 或 x 5； （ 3）如图 2， 直线 y=4x+1 与直线 AB 交于点 E，与 y 轴交于 F， A（ 5， 0）， B（ 0， 5）得 直线 AB 的解析式为 y= x+5， 联立 EF， AB 得 21 方程组 ， 解得 ， 点 E（ ， ）， F（ 0， 1） 点 M 在 AOB 内， 1 4b+1 0 b 当点 C， D 关于抛物线的对称轴对称时， b = b， b= ， 且二次函数图象开口向下，顶点 M 在直线 y=4x+1 上， 综上：当 0 b 时， y1 y2， 当 b= 时， y1=y2， 当 b 时， y1 y2
