1、西宁市湟川中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题A（理科）注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡交回。2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置。3作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。一、选择题；本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1
2、已知，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2给出如下数据：第一组：3，11，5，13，7，2，6，8，9；第二组：12，20，14，22，16，11，15，17，18，则下列结论：这两组数据的中位数相等；这两组数据的极差相等；这两组数据的平均数相等；这两组数据的方差相等.其中，所有正确结论的序号是（）ABCD3设全集，集合，则ABCD4已知向量，满足，则，的夹角等于（）A30B60C120D1505已知函数的定义域是ABCDR6已知函数f（x）的导函数为f（x），且满足f（x）=x2+f（2）lnx，则f（2）的值为（）A6B7C8D97棱长为
3、2的直平行六面体，则与平面所成角的正弦值为（）ABCD8若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为（）ABCD9已知某圆柱的底面积为，高为4，某母线长为8的圆锥的侧面积恰好与该圆柱的侧面积相等，则此圆锥的体积为（）ABCD10已知椭圆C：的左，右焦点，过原点的直线l与椭圆C相交于M，N两点其中M在第一象限，则椭圆C的离心率的取值范围为（）ABCD11已知函数，若方程在上有且只有五个实数根，则实数的取值范围为（）ABCD12若，则（）ABCD二、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分13设公差不为的等差数列的前项和为，若成等比数列，且，则的值是_.14若圆C1：x2+y
4、2=1与圆C2：x2+y2-6x-8y+m=0外切，则实数m的值为_.15从一个放有两个白球、两个黑球的罐子中任意摸两个球，则至少摸到一个黑球的概率是_.16设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点（点与点，不重合），则的周长的最大值为于_三、解答题；本题共6个小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17设为等差数列，为数列的前n项和，已知，(1)证明：数列为等差数列；(2)求数列的前n项和18如图，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD把ABD折起，使A移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰在CD上，即A1O平面DBC（）求证：BCA1D；（）求证：平
5、面A1BC平面A1BD；（）求点C到平面A1BD的距离19已知向量，若函数，则()求函数的最小正周期；()将函数的图象上所有的点向左平移个单位，得到函数的图象，若函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围.20某工厂生产的甲、乙两种产品都需经过两道工序加工而成，且两道工序的加工结果均有两个等级.当两道工序的加工结果都为级时，产品为一等品，其余均为二等品已知两种不同的产品之间及其每一道工序的加工结果都相互独立，且加工结果为级的概率如表一所示(1)从甲、乙产品中各随机抽取二件，求至少有一件为一等品的概率；(2)某商家计划按表二所示的统一售价经销甲、乙两产品，据市场预测，每件产品的经销成本均为10元
6、，且甲，乙产品均能按表二售价售出（）用表示经销一件甲产品的利润，求的分布列和期望；（）该商家拟投资不超过100元用于经营甲、乙两种产品，要确保资金亏损不超过14元，请你根据以上信息制定一个最大盈利的投资计划（甲、乙两种产品各应销售多少元）.注：产品销售的盈利率（正值表示盈利率，负值表示亏损率）21已知抛物线上一点到焦点F距离是.（1）求抛物线C的方程；（2）过F的直线与抛物线C交于A、B两点，是否存在一个定圆恒以AB为直径的圆内切，若存在，求该定圆的方程；若不存在，请说明理由.22已知圆：，直线：，点(1)判断直线与圆的位置关系；(2)设直线与圆交于不同的两点，求弦的中点的轨迹方程；(3)在（
7、2）的条件下，若，求直线的方程23由，按任意顺序组成的没有重复数字的数组，记为，设，其中(1)若，求的值；(2)求证：；(3)求的最大值数学试题参考答案及评分标准1D2D3C4C5C6C7D8C9C10D11C12A13 149151617(1)证明见解析(2)（1）待定系数法求解出的首项和等差，进而求出，从而计算出，得到结论；（2）在第一问的基础上，利用等差数列求和公式求解.（1）设等差数列的公差为d，则因为，所以，解得:，所以因为，又，所以数列是等差数列，其首项为，公差为（2）由等差数列求和公式可知：.18（）见解析；（）见解析；（）试题分析：（）由线面垂直得A1OBC，再由BCDC，能证
8、明BCA1D（）由BCA1D，A1DA1B，得A1D平面A1BC，由此能证明平面A1BC平面A1BD（）由=，能求出点C到平面A1BD的距离证明：（）A1O平面DBC，A1OBC，又BCDC，A1ODC=O，BC平面A1DC，BCA1D（）BCA1D，A1DA1B，BCA1B=B，A1D平面A1BC，又A1D平面A1BD，平面A1BC平面A1BD解：（）设C到平面A1BD的距离为h，=，=，又=SDBC，点C到平面A1BD的距离为考点：点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直的判定19（）函数的最小正周期为（）()整理函数的解析式为的形式，由函数的解析式即可确定函数的最小正周期；()将原问题转化
9、为函数有两个交点的问题，结合三角函数的图像即可确定实数的取值范围.（）函数 .函数的最小正周期为（）依题意将函数的图像向左平移个单位后得到函数 函数在上有两个零点，即函数与在有两个交点，如图所示：所以，即，所以实数取值范围为.本题主要考查辅助角公式的应用，三角函数的最小正周期公式，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20(1)(2)（）见解析；（）分别投资40元、60元用于经营甲、乙两种产品（1）利用对立事件概率求至少型概率，即，；（2）（）先确定随机变量的取值，再分别求概率列表可得分布列，根据公式求数学期望；（）根据条件列可行域及目标函数，画可行域，根据目标函数直
10、线平移，确定最大值取法，解方程组可得最优解，即为投资计划.（1）解：生产出的甲产品、乙产品为一等品的概率分别记为，则，记“随机抽取的四件产品中至少有一件一等品”为事件，则表示抽取的四件产品均为二等品，所以，所以随机抽取的四件产品中至少有一件一等品的概率为；（2）解：（）随机变量的取值为3元和元，由（1）得，所以分布列为：3所以（元）；（）设分别用元、元投资甲、乙两种产品，获利元，因为，所以经销甲、乙两种产品可能的最大盈利率分别为和，最大亏损率分别为和，依题意得，即，盈利的目标函数（元）作出不等式组表示的平面区域如图，由解得，结合图形可知，当直线经过点时，最大，且（元）所以该商家应分别投资40元
11、、60元用于经营甲、乙两种产品，才能在确保亏损不超过14元的前提下使可能的收益最大21（1）；（2）存在定圆恒与以AB为直径的圆内切.（1）根据抛物线的定义，由，列出方程求解的值，从而确定抛物线的方程；（2）当直线的斜率存在，设直线的方程为，直线方程与抛物线方程联立，利用根与系数的关系得出及的长，假设存在圆，设出圆的标准方程，根据条件求出的值，即可确定圆的方程；当直线的斜率不存在时，验证成立，最后得到结论即可.（1）由抛物线的定义得,又，所以，解得：. 点M在抛物线上，解得,所以抛物线方程为.(2)当直线l的斜率存在，设直线的方程为，设l与抛物线交于点，联立化简得 显然，设A,B的中点为M，则
12、 ，假设定圆存在，设定圆的方程为又两圆内切可得整理得：得 定圆的方程为当直线斜率不存在，则以A,B为直径的圆的方程为该圆也与定圆内切综上存在定圆恒与以AB为直径的圆内切.22(1)相交(2)(3)或（1）先求出动直线经过的定点，判断定点和圆的位置关系即可；（2）连接圆心和弦的中点，利用垂径定理找出几何关系来解决；（3）联立直线和圆的方程，利用韦达定理来解决.（1）因为直线：过定点，又，所以在圆内，所以直线与圆相交；（2）设，当与不重合，即时，连接，则，根据勾股定理则，化简得：（）；当与重合时，也满足上式，故弦的中点的轨迹方程为；（3）设，因为，所以，所以，化简得 又消去并整理得，所以， 由联立，解得，所以直线的方程为或23(1)57(2)证明见解析(3)131（1）把数据逐个代入，求解可得答案；（2）利用绝对值和的性质进行求解；（3）先求这10个数的2倍和3倍数，相对较大的10个数与较小10个数差为最大值.（1）因为，所以.（2）证明：因为.（3），的2倍与3倍共20个数如下：2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30.其中较大的10个数之和为203，较小的10个数之和为72，所以，当时，所以的最大值为.
