1、- 1 -2 抛物线2.1 抛物线及其标准方程课时目标 1.掌握抛物线的定义、四种不同标准形式的抛物线方程、准线、焦点坐标及对应的几何图形.2.会利用定义求抛物线方程1抛物线的定义平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不过 F)的距离_的点的集合叫做抛物线，点 F 叫做抛物线的_，直线 l 叫做抛物线的_2抛物线的标准方程(1)方程 y22px，x 22py(p0)叫做抛物线的标准方程(2)抛物线 y22px(p0)的焦点坐标是_，准线方程是_，开口方向_(3)抛物线 y22px(p0)的焦点坐标是_，准线方程是_，开口方向_(4)抛物线 x22py(p0)的焦点坐标是_，准线方程是_，
2、开口方向_(5)抛物线 x22py(p0)的焦点坐标是_，准线方程是_，开口方向_一、选择题1抛物线 y2ax(a0)的焦点到其准线的距离是( )A. B. C|a| D|a|4 |a|2 a22与抛物线 y2 x 关于直线 xy0 对称的抛物线的焦点坐标是( )14A(1,0) B( ，0) C(0,0) D(0， )116 1163抛物线 y22px(p0)上一点 M 到焦点的距离是 a(a )，则点 M 的横坐标是( )p2Aa Bap2 p2Cap Dap4已知抛物线的方程为标准方程，焦点在 x 轴上，其上点 P(3，m)到焦点 F 的距离为5，则抛物线方程为( )Ay 28x By
3、28xCy 24x Dy 24x5方程 |xy3|表示的曲线是( )2x 32 y 12- 2 -A圆 B椭圆 C直线 D抛物线6已知点 P 是抛物线 y22x 上的一个动点，则点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A. B3 C. D.172 5 92题 号 1 2 3 4 5 6答 案二、填空题7抛物线 x212y0 的准线方程是_8若动点 P 在 y2x 21 上，则点 P 与点 Q(0，1)连线中点的轨迹方程是_9已知抛物线 x2y1 上一定点 A(1,0)和两动点 P，Q，当 PAPQ 时，点 Q 的横坐标的取值范围是_三、解答题10已知抛物线
4、的顶点在原点，对称轴为 x 轴，抛物线上的点 M(3，m)到焦点的距离等于 5，求抛物线的方程和 m 的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程11.平面上动点 P 到定点 F(1,0)的距离比 P 到 y 轴的距离大 1，求动点 P 的轨迹方程- 3 -能力提升12已知抛物线 y22px(p0)的准线与圆(x3) 2y 216 相切，则 p 的值为( )A. B1 C2 D41213AB 为抛物线 yx 2上的动弦，且|AB|a (a 为常数且 a1)，求弦 AB 的中点 M 离x 轴的最近距离1理解抛物线定义，并能判定一些有关抛物线的点的轨迹问题2四个标准方程的区分：焦点在一次项字母对应的坐标
5、轴上，开口方向由一次项系数的符号确定当系数为正时，开口方向为坐标轴的正方向；系数为负时，开口方向为坐标轴的负方向3焦点在 y 轴上的抛物线的标准方程 x22py 通常又可以写成 yax 2，这与以前学习的二次函数的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程 yax 2来求其焦点和准线时，必须先化成标准形式2 抛物线21 抛物线及其标准方程知识梳理- 4 -1相等 焦点 准线2(2)( ，0) x 向右 (3)( ，0) x 向左 (4)(0， ) y 向上p2 p2 p2 p2 p2 p2(5)(0， ) y 向下p2 p2作业设计1 B 因为 y2ax，所以 p ，即该抛物线的焦点到其准线的
6、距离为 .|a|2 |a|22 D y 2 x 关于直线 xy0 对称的14抛物线为 x2 y，2p ，p ，焦点为 .14 14 18 (0， 116)3 B 由抛物线的定义知：点 M 到焦点的距离 a 等于点 M 到抛物线的准线 x 的距p2离，所以点 M 的横坐标即点 M 到 y 轴的距离为 a .p24 B 点 P(3，m)在抛物线上，焦点在 x 轴上，所以抛物线的标准方程可设为y22px(p0)由抛物线定义知|PF|3 5.p2所以 p4，所以抛物线的标准方程是 y28x.5 D 原方程变形为 ，它表示点 M(x，y)与点 F(3,1)的距离等于点 M 到直线x 32 y 12|x
7、y 3|2x y30 的距离根据抛物线的定义，知此方程表示的曲线是抛物线6 A 如图所示，由抛物线的定义知，点 P 到准线 x 的距离 d 等于点 P 到焦点的距离|PF|.12因此点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到准线的距离之和可转化为点 P 到点(0,2)的距离与点P 到点 F 的距离之和，其最小值为点 M(0,2)到点 F 的距离，则距离之和的最小值(12， 0)为 .4 14 1727y3解析 抛物线 x212y0，即 x212y，故其准线方程是 y3.8y4x 29(，31，)解析 由题意知，设 P(x1，x 1)，Q(x 2，x 1)，21 2又 A(1,0)，PAPQ， 0
8、，PA PQ 即(1x 1,1x )(x2x 1，x x )0，21 2 21也就是(1x 1)(x2x 1)(1x )(x x )0.x 1x 2，且 x11，21 2 21上式化简得 x2 x 1 (1x 1)1，由基本不等式可得 x21 或 x23.11 x1 11 x1- 5 -10解 设抛物线方程为 y22px (p0)，则焦点 F ，(p2， 0)由题意，得Error!解得Error!或Error!故所求的抛物线方程为 y28x，m2 .6抛物线的焦点坐标为(2,0)，准线方程为 x2.11解 方法一 设 P 点的坐标为(x，y)，则有 |x|1，x 12 y2两边平方并化简得 y
9、22x2|x|.y 2Error!即点 P 的轨迹方程为 y24x (x0)或 y0 (x0)的准线与圆(x3) 2y 216 相切于点(1,0)，所以 1，p2.p213解 设 A、M、B 点的纵坐标分别为 y1、y 2、y 3.A、M、B 三点在抛物线准线上的射影分别为A、M、B，如图所示由抛物线的定义，知|AF|AA|y 1 ，14|BF|BB|y 3 ，14y 1|AF| ，y 3|BF| .14 14又 M 是线段 AB 的中点，y 2 (y1y 3)12 12(|AF| |BF| 12) (2a1)12 (|AB| 12) 14等号在 AB 过焦点 F 时成立，即当定长为 a 的弦 AB 过焦点 F 时，M 点与 x 轴的距离最近，最近距离为 (2a1)14
