1、1第 1 课时 椭圆的几何性质学习目标 1.依据椭圆的方程研究椭圆的几何性质，并正确地画出它的图形.2.依据几何条件求出椭圆方程，并利用椭圆方程研究它的性质、图形知识点一 椭圆的范围、对称性和顶点思考 在画椭圆图形时，怎样才能画的更准确些？答案 在画椭圆时，可先画一个矩形，矩形的顶点为( a， b)，( a， b)，( a， b)，(a， b)梳理 椭圆的简单几何性质焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上标准方程 1x2a2 y2b2(ab0) 1y2a2 x2b2(ab0)图形焦点坐标 (c,0) (0， c)对称性 关于 x 轴、 y 轴轴对称，关于坐标原点中心对称顶点坐标A1( a,0)，
2、A2(a,0)，B1(0， b)， B2(0， b)A1(0， a)， A2(0， a)，B1( b,0)， B2(b,0)范围 |x| a，| y| b |x| b，| y| a长轴、短轴 长轴 A1A2长为 2a，短轴 B1B2长为 2b2知识点二 椭圆的离心率椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心率，记为 e ，因为 a c，故椭圆离心率 e 的ca ca取值范围为(0,1)，当 e 越近于 1 时，椭圆越扁，当 e 越近于 0 时，椭圆越圆(1)椭圆 1( a b0)的长轴长是 a.()x2a2 y2b2(2)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆()(3)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与
3、短轴长分别为 10,8，则椭圆的方程为 1.()x225 y216(4)设 F 为椭圆 1( a b0)的一个焦点， M 为其上任一点，则| MF|的最大值为x2a2 y2b2a c(c 为椭圆的半焦距)()类型一 椭圆的简单几何性质例 1 求椭圆 m2x24 m2y21( m0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率考点 椭圆的简单几何性质题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性解 由已知得 1( m0)，x21m2y214m2因为 0 m24 m2，所以 ，1m2 14m2所以椭圆的焦点在 x 轴上，并且长半轴长 a ，1m短半轴长 b ，半焦距 c ，12m 32m所以椭圆的长轴长
4、2a ，短轴长 2b ，2m 1m焦点坐标为 ， ，(32m， 0)(32m， 0)顶点坐标为 ， ， ， ，(1m， 0)( 1m， 0)(0， 12m)(0， 12m)3离心率 e .ca32m1m 32反思与感悟 从椭圆的标准方程出发，分清其焦点位置，然后再写出相应的性质跟踪训练 1 已知椭圆 C1： 1，设椭圆 C2与椭圆 C1的长轴长、短轴长分别相等，x2100 y264且椭圆 C2的焦点在 y 轴上(1)求椭圆 C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆 C2的方程，并研究其性质考点 椭圆的简单几何性质题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性解 (1)由椭圆 C1：
5、1，可得其长半轴长为 10，短半轴长为 8，焦点坐标为(6,0)，x2100 y264(6,0)，离心率 e .35(2)椭圆 C2： 1.性质如下：y2100 x264范围：8 x8，10 y10；对称性：关于 x 轴、 y 轴、原点对称；顶点：长轴端点(0,10)，(0，10)，短轴端点(8,0)，(8,0)；焦点：(0,6)，(0，6)；离心率： e .35类型二 由几何性质求椭圆的标准方程例 2 (1)椭圆以两坐标轴为对称轴，并且过点(0,13)，(10，0)，则焦点坐标为( )A(13,0) B(0，10)C(0，13) D(0， )69考点 椭圆的简单几何性质题点 椭圆的顶点、焦点
6、、长短轴、对称性答案 D解析 由题意知，椭圆的焦点在 y 轴上，且 a13， b10，则 c ，故选 D.a2 b2 69(2)已知椭圆中心在原点，一个焦点为 F(2 ，0)，且长轴长是短轴长的 2 倍，则该椭圆3的标准方程是_考点 椭圆的简单几何性质题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性答案 1x216 y244解析 由已知，得焦点在 x 轴上，且Error!Error!所求椭圆的标准方程为 1.x216 y24反思与感悟 此类问题应由所给的几何性质充分找出 a， b， c 所应满足的关系式，进而求出 a， b，在求解时，需注意椭圆的焦点位置跟踪训练 2 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在
7、坐标轴上的椭圆方程：(1)长轴长是短轴长的 2 倍，且过点(2，6)；(2)焦点在 x 轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为 6.考点 由椭圆的简单几何性质求方程题点 由椭圆的几何特征求方程解 (1)当焦点在 x 轴上时，设椭圆方程为 1( ab0)x2a2 y2b2依题意，有Error!解得Error!椭圆方程为 1.x2148 y237同样地可求出当焦点在 y 轴上时，椭圆方程为 1.x213 y252故所求的椭圆方程为 1 或 1.x2148 y237 x213 y252(2)依题意，有Error! b c6， a2 b2 c272，所求的椭圆方程为 1.x272 y23
8、6类型三 求椭圆的离心率例 3 如图，设椭圆的左、右焦点分别为 F1， F2，过 F1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若 F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率考点 椭圆的离心率问题题点 求 a， b， c 的齐次关系式得离心率解 设椭圆方程为 1( a b0)x2a2 y2b2 F1( c,0)， P( c， yp)，代入椭圆方程得 1， y ，c2a2 y2pb2 2p b4a2| PF1| | F1F2|，即 2 c，b2a b2a5 c22 ac a20，又 b2 a2 c2， 2 c，a2 c2a c22 ac a20， e22 e10，又0 e1， e 1.2反思与感悟 求解椭
9、圆的离心率，其实质就是构建 a， b， c 之间的关系式，再结合b2 a2 c2，从而得到 a， c 之间的关系式，进而确定其离心率跟踪训练 3 设椭圆 C： 1( a b0)的左、右焦点分别为 F1， F2， P 是 C 上的点，x2a2 y2b2PF2 F1F2， PF1F230，则 C 的离心率为( )A. B. C. D.36 13 12 33考点 椭圆的离心率问题题点 求 a， b， c 得离心率答案 D解析 由题意可设| PF2| m(m0)，结合条件可知| PF1|2 m，| F1F2| m，故离心率 e3 .ca 2c2a |F1F2|PF1| |PF2| 3m2m m 331
10、椭圆 9x2 y236 的短轴长为( )A2B4C6D12考点 椭圆的简单几何性质题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性答案 B解析 原方程可化为 1，所以 b24， b2，从而短轴长为 2b4.x24 y2362若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )A. B.12 32C. D.34 64考点 椭圆的离心率问题题点 求 a， b， c 得离心率答案 A解析 不妨设椭圆的左、右焦点分别为 F1， F2， B 为椭圆的上顶点6依题意可知， BF1F2是正三角形在 Rt OBF2中，| OF2| c，|BF2| a， OF2B60，cos 60 ，ca 12即椭
11、圆的离心率 e ，故选 A.123(2017嘉兴一中期末)中心在坐标原点的椭圆，焦点在 x 轴上，焦距为 4，离心率为 ，22则该椭圆的方程为( )A. 1 B. 1x216 y212 x212 y28C. 1 D. 1x212 y24 x28 y24答案 D4已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4,0)，(0,2)，则此椭圆的方程是_考点 由椭圆的简单几何性质求方程题点 由椭圆的几何性质求方程答案 1x216 y24解析 由已知，得 a4， b2，且椭圆的焦点在 x 轴上，所以椭圆的方程是 1.x216 y245求椭圆 25x216 y2400 的长轴长、短轴长、离心率、
12、焦点坐标和顶点坐标考点 由椭圆方程研究简单几何性质题点 由椭圆的方程求顶点、焦点、长短轴、离心率解 将椭圆方程变形为 1，y225 x216得 a5， b4，所以 c3，故椭圆的长轴长和短轴长分别为 2a10,2 b8，离心率 e ，ca 35焦点坐标为(0，3)，(0,3)，顶点坐标为(0，5)，(0,5)，(4,0)，(4,0)求椭圆离心率及范围的两种方法7(1)直接法：若已知 a， c 可直接利用 e 求解若已知 a， b 或 b， c 可借助于 a2 b2 c2ca求出 c 或 a，再代入公式 e 求解ca(2)方程法：若 a， c 的值不可求，则可根据条件建立 a， b， c 的关系
13、式，借助于a2 b2 c2，转化为关于 a， c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以 a 的最高次幂，得到关于 e 的方程或不等式，即可求得 e 的值或范围一、选择题1已知椭圆的方程为 2x23 y2 m(m0)，则此椭圆的离心率为( )A. B. C. D.13 33 22 12考点 由椭圆方程研究简单几何性质题点 由椭圆的方程求顶点、焦点、长短轴、离心率答案 B解析 由 2x23 y2 m(m0)，得 1，x2m2y2m3 c2 ， e2 ， e .m2 m3 m6 13 332与椭圆 9x24 y236 有相同焦点，且短轴长为 2 的椭圆的标准方程是( )A. 1 B.x2
14、1x22 y24 y26C. y21 D. 1x26 x28 y25考点 由椭圆的简单几何性质求方程题点 由椭圆的几何性质求方程答案 B解析 由已知 c ， b1，故椭圆的标准方程为 x21.5y263椭圆 4x249 y2196 的长轴长、短轴长、离心率依次是( )A7,2， B14,4，357 357C7,2， D14,4，57 578考点 由椭圆方程研究简单几何性质题点 由椭圆的方程求顶点、焦点、长短轴、离心率答案 B解析 先将椭圆方程化为标准形式为 1，x249 y24其中 b2， a7， c3 .54焦点在 x 轴上，长、短半轴长之和为 10，焦距为 4 ，则椭圆的方程为( )5A.
15、 1 B. 1x236 y216 x216 y236C. 1 D. 1x26 y24 y26 x24考点 由椭圆的简单几何性质求方程题点 由椭圆的几何特征求方程答案 A解析 依题意得 c2 ， a b10，又 a2 b2 c2，所以解得 a6， b4.55若焦点在 x 轴上的椭圆 1 的离心率为 ，则 m 等于( )x22 y2m 12A. B. C. D.332 83 23考点 由椭圆方程研究简单几何性质题点 由椭圆的几何特征求方程答案 B解析 a22， b2 m， e ， m .ca 1 b2a2 1 m2 12 326椭圆( m1) x2 my21 的长轴长是( )A. B.2m 1m
16、1 2 mmC. D2mm 21 mm 1考点 由椭圆方程研究简单几何性质题点 由椭圆的方程求顶点、焦点、长短轴、离心率答案 C解析 椭圆方程可化简为 1，x211 my21m由题意，知 m0， b0)的左、右焦点， P 为直线 x 上一点， F2PF1x2a2 y2b2 3a2是底角为 30的等腰三角形，则椭圆 E 的离心率为( )A. B. C. D.12 23 34 45考点 椭圆的离心率问题题点 求 a， b， c 得离心率答案 C解析 设直线 x 与 x 轴交于点 M，则 PF2M60，在 Rt PF2M 中，3a2|PF2| F1F2|2 c，| F2M| c，故 cos603a2
17、 ，|F2M|PF2| 3a2 c2c 12解得 ，ca 34故离心率 e .34二、填空题8 A 为 y 轴上一点， F1， F2是椭圆的两个焦点， AF1F2为正三角形，且 AF1的中点 B 恰好在椭圆上，则此椭圆的离心率为_考点 椭圆的离心率问题题点 求 a， b， c 得离心率答案 13解析 如图，连接 BF2.因为 AF1F2为正三角形，且 B 为线段 AF1的中点，所以 F2B BF1.又因为 BF2F130，| F1F2|2 c，所以| BF1| c，| BF2| c，3由椭圆定义得| BF1| BF2|2 a，即 c c2 a，所以 1，3ca 3所以椭圆的离心率 e 1.39
18、若椭圆 1 的焦点在 x 轴上，过点 作圆 x2 y21 的切线，切点分别为x2a2 y2b2 (1， 12)10A， B，直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是_考点 由椭圆的简单几何性质求方程题点 由椭圆的几何特征求方程答案 1x25 y24解析 x1 是圆 x2 y21 的一条切线，椭圆的右焦点为(1,0)，即 c1.设 P ，则 kOP ， OP AB， kAB2，则直线 AB 的方程为 y2( x1)，它与(1，12) 12y 轴的交点为(0,2) b2， a2 b2 c25，故椭圆的方程为 1.x25 y2410设椭圆的两个焦点分别为 F1， F2，过 F2作椭圆
19、长轴的垂线交椭圆于点 P，若 F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是_考点 椭圆的离心率问题题点 求 a， b， c 得离心率答案 12解析 因为 F1PF2为等腰直角三角形，所以| PF2| F1F2|2 c，| PF1|2 c，又由椭圆2定义知| PF1| PF2|2 a，所以 2 c2 c2 a，即( 1) c a，2 2于是 e 1.ca 12 1 211在 ABC 中，tan A ， B .若椭圆 E 以 AB 为长轴，且过点 C，则椭圆 E 的离心率13 4是_考点 椭圆的离心率问题题点 求 a， b， c 得离心率答案 63解析 由 tan A ，得 sin A ，cos
20、A .13 1010 31010又 B ，sin B ，cos B ， 4 22 22则 sin Csin( A B)sin AcosBcos AsinB .1010 22 31010 22 255由正弦定理，得| BC| CA| AB|sin Asin Bsin C1 2 .5 2不妨取| BC|1，| CA| ，| AB|2 .5 2以 AB 所在直线为 x 轴， AB 中点 O 为原点建立直角坐标系( C 在 x 轴上方)， D 是 C 在 AB 上11的射影易求得| AD| ，| OD| ，| CD| ，322 22 22点 C .(22， 22)设椭圆 E 的方程为 1( a b0)
21、，x2a2 y2b2则 a22，且 1，解得 b2 ，12a2 12b2 23 c2 a2 b22 ，23 43 e2 ， e .c2a2 23 63三、解答题12已知椭圆 x2( m3) y2 m(m0)，其焦距与长轴长的比值是 ，求 m 的值及椭圆的长32轴长、短轴长及顶点坐标考点 由椭圆方程研究简单几何性质题点 由椭圆方程求顶点、焦点、长短轴、离心率解 椭圆方程可化为 1.x2m y2mm 3因为 m0，所以 m 0，mm 3 mm 2m 3所以 m ，所以 a2 m， b2 ，mm 3 mm 3所以 c .a2 b2mm 2m 3由 ，得 ，解得 m1，ca 32 m 2m 3 32所
22、以 a1， b ，则椭圆的标准方程为 x2 1，12 y214所以椭圆的长轴长为 2，短轴长为 1，四个顶点的坐标分别为(1,0)，(1,0)， ， .(0， 12) (0， 12)1213已知椭圆 1( ab0)的两个焦点分别为 F1， F2，斜率为 k 的直线 l 过左焦点 F1x2a2 y2b2且与椭圆的交点为 A， B，与 y 轴的交点为 C，且 B 为线段 CF1的中点，若| k| ，求椭142圆离心率 e 的取值范围考点 由椭圆方程研究简单几何性质题点 由椭圆的几何特征求参数解 依题意得 F1( c,0)，直线 l： y k(x c)，则 C(0， kc)因为点 B 为线段 CF1
23、的中点，所以 B .(c2， kc2)因为点 B 在椭圆上，所以 1，( c2)2a2(kc2)2b2即 1.c24a2 k2c24a2 c2所以 1，所以 k2 .e24 k2e241 e2 4 e21 e2e2由| k| ，得 k2 ，即 ，142 72 4 e21 e2e2 72所以 2e417 e280.解得 e28.12因为 0e1，所以 e21，即 e1，12 22即 e 的取值范围是 .22， 1)四、探究与拓展14已知 c 是椭圆 1( a b0)的半焦距，则 的取值范围是( )x2a2 y2b2 b caA(1) B( ，)2C(1， ) D(1， 2 2考点 由椭圆方程研究
24、简单几何性质题点 由椭圆的几何特征求参数答案 D解析 椭圆的中心、一个短轴的顶点、一个焦点构成一个直角三角形，两直角边长分别为b， c，斜边为 a，由直角三角形的两直角边之和大于斜边得 b c a， 1，又b ca132 2(当且仅当 b c 时，取等号)，1 ，故选(b ca ) b2 c2 2bca2 2b2 c2a2 b ca 2D.15设 F1， F2分别是椭圆 E： 1( a b0)的左、右焦点，过点 F1的直线交椭圆 Ex2a2 y2b2于 A， B 两点，| AF1|3| F1B|.(1)若| AB|4， ABF2的周长为 16，求| AF2|；(2)若 cos AF2B ，求椭
25、圆 E 的离心率35考点 椭圆离心率问题题点 求 a， b， c 得离心率解 (1)由| AF1|3| F1B|，| AB|4，得| AF1|3，| F1B|1.因为 ABF2的周长为 16，所以由椭圆定义可得 4a16，| AF1| AF2|2 a8，故| AF2|835.(2)设| F1B| k，则 k0 且| AF1|3 k，| AB|4 k.由椭圆定义，得| AF2|2 a3 k，| BF2|2 a k.在 ABF2中，由余弦定理，得|AB|2| AF2|2| BF2|22| AF2|BF2|cos AF2B，即(4 k)2(2 a3 k)2(2 a k)2 (2a3 k)(2a k)，65化简可得( a k)(a3 k)0，而 a k0，故 a3 k.于是有| AF2|3 k| AF1|，| BF2|5 k.因此| BF2|2| F2A|2| AB|2，可得 F1A F2A，故 AF1F2为等腰直角三角形从而 c a，所以椭圆 E 的离心率 e .22 ca 22
