赢在高考2016高考数学二轮复习 专题六 立体几何 文（课件+习题）（打包4套）.zip

专题六 立体几何第一讲 空间几何体及三视图掌握核心,赢在课堂1.(2014浙江高考,文 3)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是( )A.72cm3 B.90cm3C.108cm3 D.138cm3解析:由三视图可知,该几何体是一个组合体,其左侧是一个直三棱柱,右侧是一个长方体 .其中三棱柱的底面是一个直角三角形,其两直角边长分别是 3cm和 4cm,三棱柱的高为 3cm,因此其体积V1=Sh=×4×3×3=18(cm3).长方体中三条棱的长度分别为 4cm,6cm,3cm,因此其体积V2=4×6×3=72(cm3).故该几何体的体积 V=V1+V2=18+72=90(cm3).答案:B2.设一个球的表面积为 S1,它的内接正方体的表面积为 S2,则的值等于( )A. B.C. D.解析:设球的半径为 R,其内接正方体的棱长为 a,则易知 R2=a2,即 a=R,则 .故选 D.答案:D3.(2014云南昆明三中、玉溪一中统考,4)如图,三棱锥 V-ABC的底面为正三角形,侧面 VAC与底面垂直,且 VA=VC,已知其正视图的面积为,则其侧视图的面积为( )A. B. C. D.解析:设三棱锥 V-ABC的底面边长为 a,侧面 VAC边 AC上的高为 h,则 ah=,其侧视图是由底面三角形ABC边 AC上的高与侧面三角形 VAC边 AC上的高组成的直角三角形,其面积为××=.故选 B.答案:B4.(2014甘肃兰州、张掖联考,4)下面为一个几何体的三视图,尺寸如图所示,则该几何体的体积为( )A.+ B.+πC.3+π D.3+解析:由三视图知该几何体是由直径为 1的球与底面边长为 2、高为 3的正三棱柱组合的几何体.故该几何体的体积 V=V 正三棱柱 +V 球 =×2××3+×π×=3+.答案:D5.在三棱锥 A-BCD中,侧棱 AB,AC,AD两两垂直,△ABC,△ACD,△ADB 的面积分别为,,,则该三棱锥外接球的表面积为( )A.2π B.6π C.4π D.24π解析:依题意可知解得而三棱锥 A-BCD可补成一个长方体,该三棱锥与该长方体的外接球是同一个球,故其外接球的半径 R==,所求表面积 S 球 =4πR 2=6π.答案:B6.球 O的球面上有四点 S,A,B,C,其中 O,A,B,C四点共面,△ABC 是边长为 2的正三角形,平面 SAB⊥平面 ABC,则三棱锥 S-ABC的体积的最大值为( )A. B. C. D.解析:记球 O的半径为 R,作 SD⊥AB 于 D,连接 OD,OS,则有 R==,SD⊥平面 ABC.注意到 SD==,因此要使 SD最大,则需 OD最小,而 OD的最小值等于×=,因此高 SD的最大值是=1.又三棱锥 S-ABC的体积等于 S△ABC ·SD=××22×SD=SD,因此三棱锥 S-ABC的体积的最大值是×1=.答案:D7.已知某几何体的三视图的正视图和侧视图是全等的等腰梯形,俯视图是两个同心圆,如图所示,则该几何体的全面积为 . 解析:由三视图知该几何体为上底直径为 2,下底直径为 6,高为 2的圆台,则此几何体的全面积S=π×1+π×9+π=10π+4π=26π.答案:26π8.(2014河南洛阳高三统考,14)已知直三棱柱 ABC-A1B1C1的六个顶点都在球 O的球面上,若AB=BC=2,∠ABC=90°,AA 1=2,则球 O的表面积为 . 解析:由题设可知,直三棱柱 ABC-A1B1C1可以补成一个球的内接长方体,所以球的直径为长方体的体对角线长,即=4,故球 O的表面积 S=4πR 2=16π.答案:16π9.在半径为 25 cm的球内有一个截面,它的面积是 49π cm 2,求球心到这个截面的距离.解:设球半径为 R,截面圆的半径为 r,球心到截面的距离为 d,如图.∵S=πr 2=49π(cm 2),∴r=7(cm).∴d===24(cm).∴球心到这个截面的距离为 24 cm.10.(2014四川资阳模拟)如图,四边形 ABCD是梯形,四边形 CDEF是矩形,且平面 ABCD⊥平面CDEF,∠BAD=∠CDA=90°,AB=AD=DE=CD=2,M 是线段 AE上的动点.(1)试确定点 M的位置,使 AC∥平面 MDF,并说明理由;(2)在(1)的条件下,求平面 MDF将几何体 ADE-BCF分成的两部分的体积之比.解:(1)当 M是线段 AE的中点时,AC∥平面 MDF.证明如下:连接 CE,交 DF于 N,连接 MN,由于 M,N分别是 AE,CE的中点,所以 MN∥AC,由于 MN⊂平面 MDF,又 AC⊄平面 MDF,所以 AC∥平面 MDF.(2)如图,将几何体 ADE-BCF补成三棱柱 ADE-B'CF,三棱柱 ADE-B'CF的体积为 V=S△ADE ·CD=×2×2×4=8,则几何体 ADE-BCF的体积VADE-BCF=V 三棱柱 ADE-B'CF-VF-BB'C=8-××2=.三棱锥 F-DEM的体积 V 三棱锥 M-DEF=××1=,故两部分的体积之比为∶=1∶4(答 1∶4,4,4∶1 均可).11.如图,三棱柱 ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,∠ACB=90°,AC=BC=AA 1,D是棱 AA1的中点.(1)证明:平面 BDC1⊥平面 BDC;(2)平面 BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.(1)证明:由题设知 BC⊥CC 1,BC⊥AC,CC 1∩AC=C,所以 BC⊥平面 ACC1A1.又 DC1⊂平面 ACC1A1,所以 DC1⊥BC.由题设知∠A 1DC1=∠ADC=45°,所以∠CDC 1=90°,即 DC1⊥DC.又 DC∩BC=C,所以 DC1⊥平面 BDC.又 DC1⊂平面 BDC1,故平面 BDC1⊥平面 BDC.(2)解:设棱锥 B-DACC1的体积为 V1,AC=1.由题意得 V1=××1×1=.又三棱柱 ABC-A1B1C1的体积 V=1,所以(V-V 1)∶V 1=1∶1.故平面 BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为 1∶1.第二讲 空间中的平行及垂直掌握核心,赢在课堂1.(2014 云南昆明第一次摸底调研,4)已知 l,m 是两条不同的直线, α 是一个平面,则下列命题正确的是( )A.若 l∥ α ,m∥ α ,则 l∥ mB.若 l⊥ m,m∥ α ,则 l⊥ αC.若 l⊥ m,m⊥ α ,则 l∥ αD.若 l∥ α ,m⊥ α ,则 l⊥ m解析:平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交、异面,A 错;若 l⊥ m,m∥ α ,则直线 l 和平面α 可能平行,也可能相交,B 错;若 l⊥ m,m⊥ α ,则直线 l 有可能在平面 α 内,C 错;通过画图可知,D显然正确 .故选 D.答案:D2.已知直线 l⊥平面 α ,直线 m⊂平面 β ,有下列命题:① α ∥ β ⇒l⊥ m;② α ⊥ β ⇒l∥ m;③ l∥ m⇒α ⊥ β ;④ l⊥ m⇒α ∥ β.其中正确命题的序号是( )A.①与② B.③与④C.②与④ D.①与③解析:命题①正确,∵ l⊥ α ,α ∥ β ,∴ l⊥ β.又 m⊂β ,∴ l⊥ m.命题②错误, l,m 可以垂直,也可以异面;命题③正确,∵ l⊥ α ,l∥ m,∴ m⊥ α .又 m⊂β ,∴ α ⊥ β ;命题④错误, α 与 β 可能相交 .答案:D3.已知 E,F 分别是正方体的棱 BB1,AD 的中点,则直线 EF 和平面 BDD1B1所成角的正弦值是( )A. B. C. D.解析:设正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 2,由于 E,F 分别是正方体的棱 BB1,AD 的中点,连接 AE,过 F作 BD 的垂线 FH 交 BD 于 H,连接 EH,则 FH⊥平面 BDD1B1,所以直线 EF 和平面 BDD1B1所成角为∠ FEH.因为 FH=,AF=1,AE=,EF=,故 sin∠ FEH=,应选 B.答案:B4.(2014 山西四校第二次联考,6)已知不重合的两条直线 l,m 和不重合的两个平面 α ,β ,则下列命题正确的是( )A.l∥ m,l∥ β ,则 m∥ βB.α ∩ β=m ,l⊂α ,则 l∥ βC.α ⊥ β ,l⊥ α ,则 l∥ βD.l⊥ m,m⊥ β ,l⊥ α ,则 α ⊥ β解析:选项 A 中的 m 可能在平面 β 内,所以 A 错;选项 B 中的 l 可能与平面 β 相交,所以 B 错;选项C 中的 l 可能在平面 β 内,所以 C 错;由判定定理可以推得 D 正确 .答案:D5.如图所示,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中, E,F 分别为棱 AA1,BB1的中点, G 为棱 A1B1上的一点,且 A1G=λ (0≤ λ ≤1),则点 G 到平面 D1EF 的距离为( )A. B. C. D.解析:∵ A1B1∥ EF,∴ A1B1∥平面 D1EF.故把点 G 与 A1重合,点 A1到平面 D1EF 的距离即为点 G 到平面 D1EF 的距离 .∵,又∵ D1E=,EF=1,D1F=,∴ D1E⊥ EF.∴ ×1××h=×1××1,解得 h=.答案:D6.如图,在四边形 ABCD 中, AB=AD=CD=1,BD=,BD⊥ CD.将四边形 ABCD 沿对角线 BD 折成四面体 A'-BCD,使平面 A'BD⊥平面 BCD,则下列结论正确的是( )A.A'C⊥ BDB.∠ BA'C=90°C.CA'与平面 A'BD 所成的角为 30°D.四面体 A'-BCD 的体积为解析:取 BD 的中点 O,∵ A'B=A'D,∴ A'O⊥ BD.又∵平面 A'BD⊥平面 BCD,∴ A'O⊥平面 BCD.∵ CD⊥ BD,∴ OC 不垂直于 BD.假设 A'C⊥ BD,∵ OC 为 A'C 在平面 BCD 内的射影,∴ OC⊥ BD,矛盾 .因此 A'C 不垂直于 BD,选项 A 错误 .∵ CD⊥ BD,平面 A'BD⊥平面 BCD,∴ CD⊥平面 A'BD,A'C 在平面 A'BD 内的射影为 A'D.∵ A'B=A'D=1,BD=,∴ A'B⊥ A'D.∴ A'B⊥ A'C,选项 B 正确 .∠ CA'D 为直线 CA'与平面 A'BD 所成的角,∠ CA'D=45°,选项 C 错误 .VA'-BCD=S△ A'BD·CD=,选项 D 错误 .故选 B.答案:B7.已知 l,m 是两条不同的直线, α ,β 是两个不同的平面,有下列命题:①若 l⊂α ,m⊂α ,l∥ β ,m∥ β ,则 α ∥ β ;②若 l⊂α ,l∥ β ,α ∩ β=m ,则 l∥ m;③若 α ∥ β ,l∥ α ,则 l∥ β ;④若 l⊥ α ,m∥ l,α ∥ β ,则 m⊥ β.其中真命题是 (写出所有真命题的序号) . 解析:当直线 l∥ m 时,平面 α 与平面 β 不一定平行,命题①错误;由直线与平面平行的性质定理,知命题②正确;若 α ∥ β ,l∥ α ,则 l⊂β 或 l∥ β ,命题③错误;∵ l⊥ α ,l∥ m,∴ m⊥ α.又∵ α ∥ β ,∴ m⊥ β ,命题④正确 .故填②④ .答案:②④8.在长方体 ABCD-A1B1C1D1中, AA1=AD=2AB.若 E,F 分别为线段 A1D1,CC1的中点,则直线 EF 与平面ABB1A1所成角的余弦值为 . 解析:取 BB1的中点 M,连接 FM,A1M,易知 FM⊥平面 ABB1A1,EA1⊥平面 ABB1A1,所以线段 A1M 是线段 EF 在平面 ABB1A1上的射影 .连接 C1E,设 AB=1,直线 EF 与平面 ABB1A1所成的角是 θ ,则有 EF=,A1M=,因此 cos θ= ,即直线 EF 与平面 ABB1A1所成角的余弦值是 .答案:9.(2014 甘肃兰州、张掖联考,19)如图,在四棱锥 P-ABCD 中, PC⊥底面 ABCD,ABCD 是直角梯形,AB⊥ AD,AB∥ CD,AB=2AD=2CD=2,E 是 PB 的中点 .求证:(1) EC∥平面 PAD;(2)平面 EAC⊥平面 PBC.证明:(1)作线段 AB 的中点 F,连接 EF,CF,则 AF=CD,AF∥ CD.∴四边形 ADCF 是平行四边形,则 CF∥ AD.又 EF∥ AP,且 CF∩ EF=F,∴平面 CFE∥平面 PAD.又 EC⊂平面 CEF,∴ EC∥平面 PAD.(2)∵ PC⊥底面 ABCD,∴ PC⊥ AC.∵ ABCD 是直角梯形,且 AB=2AD=2CD=2,∴ AC=,BC=.∵ AB2=AC2+BC2,∴ AC⊥ BC.∵ PC∩ BC=C,∴ AC⊥平面 PBC.∵ AC⊂平面 EAC,∴平面 EAC⊥平面 PBC.10.如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中, E,F 分别为 DD1,DB 的中点 .(1)求证: EF∥平面 ABC1D1;(2)求证: CF⊥ B1E;(3)求三棱锥 B1-EFC 的体积 .(1)证明:连接 BD1,在△ DD1B 中,∵ E,F 分别为 D1D,DB 的中点,∴ EF 为△ DD1B 的中位线 .∴ EF∥ D1B.∵ D1B⊂平面 ABC1D1,EF⊄平面 ABC1D1,∴ EF∥平面 ABC1D1.(2)证明:在等腰直角三角形 BCD 中,∵ F 为 BD 的中点,∴ CF⊥ BD.①∵在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, DD1⊥平面 ABCD,又 CF⊂平面 ABCD,∴ DD1⊥ CF.②综合①②,且 DD1∩ BD=D,DD1,BD⊂平面 BDD1B1.∴ CF⊥平面 BDD1B1.∵ B1E⊂平面 BDD1B1,∴ CF⊥ B1E.(3)解:连接 B1D1,由(2)可知 CF⊥平面 BDD1B1,∴ CF⊥平面 EFB1,即 CF 为三棱锥 B1-EFC 的高,CF=BF=.∵ EF=BD1=,B1F=,B1E==3,∴ EF2+B1F2=B1E2,即∠ EFB1=90°.∴ EF·B1F=.∴· CF==1.11.(2014 山西四校第二次联考,19)已知梯形 ABCD 中, AD∥ BC,∠ ABC=∠ BAD=,AB=BC=2AD=4,E,F 分别是 AB,CD 上的点, EF∥ BC,AE=x.沿 EF 将梯形 AEFD 翻折,使平面 AEFD⊥平面 EBCF(如图) .G 是 BC的中点 .(1)当 x=2 时,求证: BD⊥ EG;(2)当 x 变化时,求三棱锥 D-BCF 体积的最大值 .(1)证明:作 DH⊥ EF,交 EF 于点 H,连接 BH,GH,∵平面 AEFD⊥平面 EBCF,交线为 EF,DH⊂平面 AEFD,∴ DH⊥平面 EBCF.又 EG⊂平面 EBCF,故 EG⊥ DH.∵ EH=AD=BC=BG,EF∥ BC,∠ EBC=,∴四边形 BGHE 为正方形 .∴ EG⊥ BH.又 BH,DH⊂平面 DBH,且 BH∩ DH=H,故 EG⊥平面 DBH.又 BD⊂平面 DBH,故 EG⊥ BD.(2)解:∵ AE⊥ EF,平面 AEFD⊥平面 EBCF,交线为 EF,AE⊂平面 AEFD,∴ AE⊥平面 EBCF,又由(1)知 DH⊥平面 EBCF,故 AE∥ DH,∴四边形 AEHD 是矩形, DH=AE.故以 F,B,C,D 为顶点的三棱锥 D-BCF 的高 DH=AE=x.又 S△ BCF=BC·BE=×4×(4-x)=8-2x,∴三棱锥 D-BCF 的体积 VD-BCF=S△ BCF·DH=S△ BCF·AE=(8-2x)x=-x2+x(0x4),当 x=2 时,取最大值,最大值为 .