1、专题六 立体几何第一讲 空间几何体及三视图掌握核心,赢在课堂1.(2014浙江高考,文 3)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是( )A.72cm3 B.90cm3C.108cm3 D.138cm3解析:由三视图可知,该几何体是一个组合体,其左侧是一个直三棱柱,右侧是一个长方体 .其中三棱柱的底面是一个直角三角形,其两直角边长分别是 3cm和 4cm,三棱柱的高为 3cm,因此其体积V1=Sh=433=18(cm3).长方体中三条棱的长度分别为 4cm,6cm,3cm,因此其体积V2=463=72(cm3).故该几何体的体积 V=V1+V2=18+72=90(cm3).答
2、案:B2.设一个球的表面积为 S1,它的内接正方体的表面积为 S2,则的值等于( )A. B.C. D.解析:设球的半径为 R,其内接正方体的棱长为 a,则易知 R2=a2,即 a=R,则 .故选 D.答案:D3.(2014云南昆明三中、玉溪一中统考,4)如图,三棱锥 V-ABC的底面为正三角形,侧面 VAC与底面垂直,且 VA=VC,已知其正视图的面积为,则其侧视图的面积为( )A. B. C. D.解析:设三棱锥 V-ABC的底面边长为 a,侧面 VAC边 AC上的高为 h,则 ah=,其侧视图是由底面三角形ABC边 AC上的高与侧面三角形 VAC边 AC上的高组成的直角三角形,其面积为=
3、.故选 B.答案:B4.(2014甘肃兰州、张掖联考,4)下面为一个几何体的三视图,尺寸如图所示,则该几何体的体积为( )A.+ B.+C.3+ D.3+解析:由三视图知该几何体是由直径为 1的球与底面边长为 2、高为 3的正三棱柱组合的几何体.故该几何体的体积 V=V 正三棱柱 +V 球 =23+=3+.答案:D5.在三棱锥 A-BCD中,侧棱 AB,AC,AD两两垂直,ABC,ACD,ADB 的面积分别为,则该三棱锥外接球的表面积为( )A.2 B.6 C.4 D.24解析:依题意可知解得而三棱锥 A-BCD可补成一个长方体,该三棱锥与该长方体的外接球是同一个球,故其外接球的半径 R=,所
4、求表面积 S 球 =4R 2=6.答案:B6.球 O的球面上有四点 S,A,B,C,其中 O,A,B,C四点共面,ABC 是边长为 2的正三角形,平面 SAB平面 ABC,则三棱锥 S-ABC的体积的最大值为( )A. B. C. D.解析:记球 O的半径为 R,作 SDAB 于 D,连接 OD,OS,则有 R=,SD平面 ABC.注意到 SD=,因此要使 SD最大,则需 OD最小,而 OD的最小值等于=,因此高 SD的最大值是=1.又三棱锥 S-ABC的体积等于 SABC SD=22SD=SD,因此三棱锥 S-ABC的体积的最大值是1=.答案:D7.已知某几何体的三视图的正视图和侧视图是全等
5、的等腰梯形,俯视图是两个同心圆,如图所示,则该几何体的全面积为 . 解析:由三视图知该几何体为上底直径为 2,下底直径为 6,高为 2的圆台,则此几何体的全面积S=1+9+=10+4=26.答案:268.(2014河南洛阳高三统考,14)已知直三棱柱 ABC-A1B1C1的六个顶点都在球 O的球面上,若AB=BC=2,ABC=90,AA 1=2,则球 O的表面积为 . 解析:由题设可知,直三棱柱 ABC-A1B1C1可以补成一个球的内接长方体,所以球的直径为长方体的体对角线长,即=4,故球 O的表面积 S=4R 2=16.答案:169.在半径为 25 cm的球内有一个截面,它的面积是 49 c
6、m 2,求球心到这个截面的距离.解:设球半径为 R,截面圆的半径为 r,球心到截面的距离为 d,如图.S=r 2=49(cm 2),r=7(cm).d=24(cm).球心到这个截面的距离为 24 cm.10.(2014四川资阳模拟)如图,四边形 ABCD是梯形,四边形 CDEF是矩形,且平面 ABCD平面CDEF,BAD=CDA=90,AB=AD=DE=CD=2,M 是线段 AE上的动点.(1)试确定点 M的位置,使 AC平面 MDF,并说明理由;(2)在(1)的条件下,求平面 MDF将几何体 ADE-BCF分成的两部分的体积之比.解:(1)当 M是线段 AE的中点时,AC平面 MDF.证明如
7、下:连接 CE,交 DF于 N,连接 MN,由于 M,N分别是 AE,CE的中点,所以 MNAC,由于 MN平面 MDF,又 AC平面 MDF,所以 AC平面 MDF.(2)如图,将几何体 ADE-BCF补成三棱柱 ADE-BCF,三棱柱 ADE-BCF的体积为 V=SADE CD=224=8,则几何体 ADE-BCF的体积VADE-BCF=V 三棱柱 ADE-BCF-VF-BBC=8-2=.三棱锥 F-DEM的体积 V 三棱锥 M-DEF=1=,故两部分的体积之比为=14(答 14,4,41 均可).11.如图,三棱柱 ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,ACB=90,AC=BC=AA
8、1,D是棱 AA1的中点.(1)证明:平面 BDC1平面 BDC;(2)平面 BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.(1)证明:由题设知 BCCC 1,BCAC,CC 1AC=C,所以 BC平面 ACC1A1.又 DC1平面 ACC1A1,所以 DC1BC.由题设知A 1DC1=ADC=45,所以CDC 1=90,即 DC1DC.又 DCBC=C,所以 DC1平面 BDC.又 DC1平面 BDC1,故平面 BDC1平面 BDC.(2)解:设棱锥 B-DACC1的体积为 V1,AC=1.由题意得 V1=11=.又三棱柱 ABC-A1B1C1的体积 V=1,所以(V-V 1)V 1=11.
9、故平面 BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为 11.第二讲 空间中的平行及垂直掌握核心,赢在课堂1.(2014 云南昆明第一次摸底调研,4)已知 l,m 是两条不同的直线, 是一个平面,则下列命题正确的是( )A.若 l ,m ,则 l mB.若 l m,m ,则 l C.若 l m,m ,则 l D.若 l ,m ,则 l m解析:平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交、异面,A 错;若 l m,m ,则直线 l 和平面 可能平行,也可能相交,B 错;若 l m,m ,则直线 l 有可能在平面 内,C 错;通过画图可知,D显然正确 .故选 D.答案:D2.已知直线 l平面 ,直线 m平面
10、,有下列命题: l m; l m; l m ; l m .其中正确命题的序号是( )A.与 B.与C.与 D.与解析:命题正确, l , , l .又 m , l m.命题错误, l,m 可以垂直,也可以异面;命题正确, l ,l m, m .又 m , ;命题错误, 与 可能相交 .答案:D3.已知 E,F 分别是正方体的棱 BB1,AD 的中点,则直线 EF 和平面 BDD1B1所成角的正弦值是( )A. B. C. D.解析:设正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 2,由于 E,F 分别是正方体的棱 BB1,AD 的中点,连接 AE,过 F作 BD 的垂线 FH 交 BD 于 H,
11、连接 EH,则 FH平面 BDD1B1,所以直线 EF 和平面 BDD1B1所成角为 FEH.因为 FH=,AF=1,AE=,EF=,故 sin FEH=,应选 B.答案:B4.(2014 山西四校第二次联考,6)已知不重合的两条直线 l,m 和不重合的两个平面 , ,则下列命题正确的是( )A.l m,l ,则 m B. =m ,l ,则 l C. ,l ,则 l D.l m,m ,l ,则 解析:选项 A 中的 m 可能在平面 内,所以 A 错;选项 B 中的 l 可能与平面 相交,所以 B 错;选项C 中的 l 可能在平面 内,所以 C 错;由判定定理可以推得 D 正确 .答案:D5.如
12、图所示,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中, E,F 分别为棱 AA1,BB1的中点, G 为棱 A1B1上的一点,且 A1G= (0 1),则点 G 到平面 D1EF 的距离为( )A. B. C. D.解析: A1B1 EF, A1B1平面 D1EF.故把点 G 与 A1重合,点 A1到平面 D1EF 的距离即为点 G 到平面 D1EF 的距离 .,又 D1E=,EF=1,D1F=, D1E EF. 1h=11,解得 h=.答案:D6.如图,在四边形 ABCD 中, AB=AD=CD=1,BD=,BD CD.将四边形 ABCD 沿对角线 BD 折成四面体 A-BCD,使平
13、面 ABD平面 BCD,则下列结论正确的是( )A.AC BDB. BAC=90C.CA与平面 ABD 所成的角为 30D.四面体 A-BCD 的体积为解析:取 BD 的中点 O, AB=AD, AO BD.又平面 ABD平面 BCD, AO平面 BCD. CD BD, OC 不垂直于 BD.假设 AC BD, OC 为 AC 在平面 BCD 内的射影, OC BD,矛盾 .因此 AC 不垂直于 BD,选项 A 错误 . CD BD,平面 ABD平面 BCD, CD平面 ABD,AC 在平面 ABD 内的射影为 AD. AB=AD=1,BD=, AB AD. AB AC,选项 B 正确 . C
14、AD 为直线 CA与平面 ABD 所成的角, CAD=45,选项 C 错误 .VA-BCD=S ABDCD=,选项 D 错误 .故选 B.答案:B7.已知 l,m 是两条不同的直线, , 是两个不同的平面,有下列命题:若 l ,m ,l ,m ,则 ;若 l ,l , =m ,则 l m;若 ,l ,则 l ;若 l ,m l, ,则 m .其中真命题是 (写出所有真命题的序号) . 解析:当直线 l m 时,平面 与平面 不一定平行,命题错误;由直线与平面平行的性质定理,知命题正确;若 ,l ,则 l 或 l ,命题错误; l ,l m, m .又 , m ,命题正确 .故填 .答案:8.在
15、长方体 ABCD-A1B1C1D1中, AA1=AD=2AB.若 E,F 分别为线段 A1D1,CC1的中点,则直线 EF 与平面ABB1A1所成角的余弦值为 . 解析:取 BB1的中点 M,连接 FM,A1M,易知 FM平面 ABB1A1,EA1平面 ABB1A1,所以线段 A1M 是线段 EF 在平面 ABB1A1上的射影 .连接 C1E,设 AB=1,直线 EF 与平面 ABB1A1所成的角是 ,则有 EF=,A1M=,因此 cos = ,即直线 EF 与平面 ABB1A1所成角的余弦值是 .答案:9.(2014 甘肃兰州、张掖联考,19)如图,在四棱锥 P-ABCD 中, PC底面 A
16、BCD,ABCD 是直角梯形,AB AD,AB CD,AB=2AD=2CD=2,E 是 PB 的中点 .求证:(1) EC平面 PAD;(2)平面 EAC平面 PBC.证明:(1)作线段 AB 的中点 F,连接 EF,CF,则 AF=CD,AF CD.四边形 ADCF 是平行四边形,则 CF AD.又 EF AP,且 CF EF=F,平面 CFE平面 PAD.又 EC平面 CEF, EC平面 PAD.(2) PC底面 ABCD, PC AC. ABCD 是直角梯形,且 AB=2AD=2CD=2, AC=,BC=. AB2=AC2+BC2, AC BC. PC BC=C, AC平面 PBC. A
17、C平面 EAC,平面 EAC平面 PBC.10.如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中, E,F 分别为 DD1,DB 的中点 .(1)求证: EF平面 ABC1D1;(2)求证: CF B1E;(3)求三棱锥 B1-EFC 的体积 .(1)证明:连接 BD1,在 DD1B 中, E,F 分别为 D1D,DB 的中点, EF 为 DD1B 的中位线 . EF D1B. D1B平面 ABC1D1,EF平面 ABC1D1, EF平面 ABC1D1.(2)证明:在等腰直角三角形 BCD 中, F 为 BD 的中点, CF BD.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, DD1
18、平面 ABCD,又 CF平面 ABCD, DD1 CF.综合,且 DD1 BD=D,DD1,BD平面 BDD1B1. CF平面 BDD1B1. B1E平面 BDD1B1, CF B1E.(3)解:连接 B1D1,由(2)可知 CF平面 BDD1B1, CF平面 EFB1,即 CF 为三棱锥 B1-EFC 的高,CF=BF=. EF=BD1=,B1F=,B1E=3, EF2+B1F2=B1E2,即 EFB1=90. EFB1F=. CF=1.11.(2014 山西四校第二次联考,19)已知梯形 ABCD 中, AD BC, ABC= BAD=,AB=BC=2AD=4,E,F 分别是 AB,CD
19、上的点, EF BC,AE=x.沿 EF 将梯形 AEFD 翻折,使平面 AEFD平面 EBCF(如图) .G 是 BC的中点 .(1)当 x=2 时,求证: BD EG;(2)当 x 变化时,求三棱锥 D-BCF 体积的最大值 .(1)证明:作 DH EF,交 EF 于点 H,连接 BH,GH,平面 AEFD平面 EBCF,交线为 EF,DH平面 AEFD, DH平面 EBCF.又 EG平面 EBCF,故 EG DH. EH=AD=BC=BG,EF BC, EBC=,四边形 BGHE 为正方形 . EG BH.又 BH,DH平面 DBH,且 BH DH=H,故 EG平面 DBH.又 BD平面 DBH,故 EG BD.(2)解: AE EF,平面 AEFD平面 EBCF,交线为 EF,AE平面 AEFD, AE平面 EBCF,又由(1)知 DH平面 EBCF,故 AE DH,四边形 AEHD 是矩形, DH=AE.故以 F,B,C,D 为顶点的三棱锥 D-BCF 的高 DH=AE=x.又 S BCF=BCBE=4(4-x)=8-2x,三棱锥 D-BCF 的体积 VD-BCF=S BCFDH=S BCFAE=(8-2x)x=-x2+x(0x4),当 x=2 时,取最大值,最大值为 .
