1、对一道方程题解法的反思整:中学教学簸.学参考2003 年第 10 期一对一道方程题解法的反息陕西师范大学数科院李传峰黄云鹏“反思 “作为最流行的教育名词之一在学科教学的各方面被广泛引用与应用.数学解题中很多人也提倡反思,但对其具体内容,每人有不同的理解.总结一下不外两个层次:1.许多人从经验层次出发,认为解题反思就是对解题过程的检查与检验,以纠正错误,整理解题过程.2.一般理论层次认为解题要从三个方面进行反思:(1)反思知识点 ,通过做题使自己复习 ,巩固所学习的知识点,形成知识网络;(2)反思解题方法,力求发现更简洁,更一般,更优美的方法并找到各方法之间的内在联系;(3) 思维反思, 反思解
2、题过程中的不同思维层次,以扩展思维,优化思维,提高能力.关于以上三点如何具体在解题中操作与体现,罗增儒老师在中学数学教学参考上有系列精彩论述.本文是我作为初学解题者的一点解题感受.也是我学习罗老师解题学的一点收获.一上.0例 1 求方程:1的所有整数解_l 一.一 xyt这是一道为训练解方程的方法和技巧而编制的题目.对这道题我首先从解方程的一般思路入手:当厂(.27)0 要使 n在 R 上恒成立,/+1而 321,所以只需 n1 即可,即当 n1 时,/32十 l,(z)为减函数.由以上讨论可知当“1 时 ,(z)为减函数.例 5 求函数 Y:2a 一在 z (0,1上的最大值(其中 “R).
3、解:令,则求,( ):2at1 在(0,1上的最大值.当 n0 时,显然 f(t)在(0,1上为增函数,所以/(t):f(1):2a 一 1.当“0 时,令厂():2+:0 得一,易知 t(0,一时,.,(t)0,f(f)为增函数;非整式方程一整式方程一一元一次方程或一元二次方程一求解.解法 1:由原方程得 7(+Y)=3(一 xy+Y),?把整理成关于的方程 3x 一(3y+7).27+3y 一 7=0,由题知,A=(3y+7)一 4x3x(3y 一 7y)0=27y-I26 一 4940=一号Y,又由 yEZ 得 Y 的可能值为 0,1,2345,分别代入方程解得或;IV=q.Iv=3.1
4、.知识点反思:解题中用到的知识点:方程同解变形;一元二次方程的判别式;一元二次方程的求根公式.2.对解题方涛的反思:这种方法是利用转化化归的思想把分式方程转化成一元二次方程,实现化一,+oo)时,厂(.27)0,-,(t)为减函数 .于是若n一1n0(此时一1)则 f(t)在(0,1上为增函n数,此时/(t)=f(1):2a 一 1;若 n一 1(此时一士1),则,() 在(0,一士 上为增函数,在 nn一士,1上为减函数,所以/( )=,(一士):na一3.由以上讨论知当口一 1 时,()=2 口一1;“一 1 时,()=一 3.通过以上列举可以看出利用导数研究函数的单调性时,其求解过程思路
5、流畅,简捷,避开了利用初等方法的高技巧性,突出了通性和通法,具有一般性,因此要求学生要有意识的应用导数知识解决与函数有关的问题.fT中学盘学教学参考2003 年第 10 期生(分式方程 )为熟(整式方程). 这种化成一元二次方程来求解的方法是解方程的常规方法,它不需要考虑该方程中数值与字母的特殊性,因此一旦我们确定了转化成一元二次方程的解题思路,这道题目就实现了功能性解决.3.对解题过程的反思:罗老师在数学解题学引论中提出了要对解题过程做四个方面的分析即“四看“:(1)看解题过程是否浪费了更重要的信息,以开辟新的解题通道.(2) 看解题过程多走了哪些思维回路,通过删除,合并来体现简捷美.(3)
6、看是否可以用更一般的原理去代替现存的许多步骤,提高整个解题的观点和思维层次.(4) 看是否可以用一个更特殊的技巧去代替现存的常规步骤,以体现解题的奇异美.解本题有两个关键之处,(1)把分式化整式;(2) 把变量 Y 看做是关于的一元二次方程的参数.而(2)的实质是整数可以用整数 Y 来表示.观察方程的特点不难发现,由于题目的结论是要求方程的整数解,因此对整数,Y 方程中式子.r+Y0和一.ry+Y 值均是整数,且两者的比值是. 所以引入参数 t,可得解法 2.解法 2:设+Y=3t,一ry+y2=7t(tZ,t0),由得 Y=3t 一,把代入整理得3x9tx+9t 一 7t=0,由题知=81t
7、43(9t7t) 01o0t.又由 tz,t0 得 t 的可能值为 1,2,3,分别代人解得当 t=3 时 :4 或=5.再代人 Y=9 即得解.比起第一种解法,由于解法 2 更好地利用了题目中方程形式的特点,通过引入参数.计算上略有简化,做到了“四看 “中(1) 和(3)的要求,但从思维回路上却多了一步(引入了参数). 分析解法 2 的过程.我们发现由于+Y 表示成 3t,xyY 表示成 7f,所以整数+和一 ,ry+.,:有公【,j 数 ,由 j:在解方程中能约掉 t,所以可不引入,.以简化思维.对比分析方程中左端分式特点.发现可对其采取配方处理.解法 3:【一将原方程整理为.2(+v)+
8、3(rv)7显然 v0 且 r,变形得28(-)=3(,Y)3(r 一_v),可见+-,是 3 的倍数,没:+3,=3p(pC=0,Pl 詹?方?鼓万【:黔z),代入,得28p=313p+(),可见 P 也是 3 的倍数,设 P=3q(口0),代入,得28q=27q+(),有 q(2827q)=()0,解得 0q28从而 q=1,即+Y=9,下略.显然最后一种解法在没有增加思维回路的前提下实现了解题简化,体现了解题的简捷美和奇异美.从上面的解题反思中,我们获得了解答该技巧方法的知识,过程,方法,思维的体验.但完成这种常规反思以后总感觉还是缺了点什么,事实上在解这道题中我们注意到(+Y)(一 x
9、y+Y)=z.+Y.这一信息,该信息在我们解题中并没有起到作用,因而浪费了这一重要资源.把这一信息带回到结果中,我们发现,原方程实质是立方和式4.+5.=(4+5)(4 一 45+5)转化成分式4+5 一 Ll,l,IL 儿 ck,4+54245+5z 口 .寸口 4245+52:7.解题过程中我一直想,编题者怎么知道方程=导一定有整数解? 由最后的反恩我们 r 一一 V 十 V/不难看出该题的编制思路.受此启发,我们也可以编出无数个同类型的方程如:1+34+v4113+3 一 7r 一+一 7521 一一_v15+52+2113+2 一 3通过对这个方程的解题反思,我的一点心得是:在反思知识点,解题方法,解题思维过程的基础上,进一步反思编题者的编题思路,寻找所谓的“题眼“. 这样,不仅会成为解题高手也会成为编题高手.参考文献l 罗增儒.高巾数学奥林匹克一年级.西安:陕西师范大学出版社,20011 罗增儒.高中数学奥林匹克题解.西安:陕西师范大学出版社.20013 罗增儒.数学解题学引论.西安:陕西师范大学出版社 ,19974 陈仁胜.运 fj 解题反思,优化数学思维能力.数学通报,2002.5?一
