新（浙江专用）2016高考数学二轮专题突破 专题五 解析几何 第1-3讲 理（打包3套）.zip

1第 1讲 直线与圆1．(2012·浙江)设 a∈R，则“ a＝1”是“直线 l1： ax＋2 y－1＝0 与直线 l2： x＋( a＋1)y＋4＝0 平行”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．(2015·湖南)若直线 3x－4 y＋5＝0 与圆 x2＋ y2＝ r2(r0)相交于 A， B两点，且∠ AOB＝120°( O为坐标原点)，则 r＝________.3．(2014·重庆)已知直线 ax＋ y－2＝0 与圆心为 C的圆( x－1) 2＋( y－ a)2＝4 相交于 A， B两点，且△ ABC为等边三角形，则实数 a＝________.4．(2014·课标全国Ⅱ)设点 M(x0,1)，若在圆 O： x2＋ y2＝1 上存在点 N，使得∠ OMN＝45°，则 x0的取值范围是________．考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题.直线与圆的位置关系 特别是弦长问题 ，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现.热点一 直线的方程及应用1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线 l1， l2的斜率 k1， k2存在，则 l1∥ l2⇔k1＝ k2， l1⊥ l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．求直线方程要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与 x轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．3．两个距离公式(1)两平行直线 l1： Ax＋ By＋ C1＝0，2l2： Ax＋ By＋ C2＝0 间的距离 d＝ .|C1－ C2|A2＋ B2(2)点( x0， y0)到直线 l： Ax＋ By＋ C＝0 的距离公式 d＝ .|Ax0＋ By0＋ C|A2＋ B2例 1 (1)已知直线 l1：( k－3) x＋(4－ k)y＋1＝0 与 l2：2( k－3) x－2 y＋3＝0 平行，则 k的值是( )A．1 或 3 B．1 或 5C．3 或 5 D．1 或 2(2)已知两点 A(3,2)和 B(－1,4)到直线 mx＋ y＋3＝0 的距离相等，则 m的值为( )A．0 或－ B. 或－612 12C．－ 或 D．0 或12 12 12思维升华 (1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况；(2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．跟踪演练 1 已知 A(3,1)， B(－1,2)两点，若∠ ACB的平分线方程为 y＝ x＋1，则 AC所在的直线方程为( )A． y＝2 x＋4B． y＝ x－312C． x－2 y－1＝0D．3 x＋ y＋1＝0热点二 圆的方程及应用1．圆的标准方程当圆心为( a， b)，半径为 r时，其标准方程为( x－ a)2＋( y－ b)2＝ r2，特别地，当圆心在原点时，方程为 x2＋ y2＝ r2.2．圆的一般方程x2＋ y2＋ Dx＋ Ey＋ F＝0，其中 D2＋ E2－4 F0，表示以(－ ，－ )为圆心， 为半D2 E2 D2＋ E2－ 4F2径的圆．例 2 (1)若圆 C经过(1,0)，(3,0)两点，且与 y轴相切，则圆 C的方程为( )A．( x－2) 2＋( y±2)2＝3B．( x－2) 2＋( y± )2＝33C．( x－2) 2＋( y±2)2＝43D．( x－2) 2＋( y± )2＝43(2)已知圆 M的圆心在 x轴上，且圆心在直线 l1： x＝－2 的右侧，若圆 M截直线 l1所得的弦长为 2 ，且与直线 l2：2 x－ y－4＝0 相切，则圆 M的方程为( )3 5A．( x－1) 2＋ y2＝4 B．( x＋1) 2＋ y2＝4C． x2＋( y－1) 2＝4 D． x2＋( y＋1) 2＝4思维升华 解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．跟踪演练 2 (1)(2015·杭州模拟)经过点 A(5,2)， B(3，－2)，且圆心在直线2x－ y－3＝0 上的圆的方程为________________．(2)已知直线 l的方程是 x＋ y－6＝0， A， B是直线 l上的两点，且△ OAB是正三角形( O为坐标原点)，则△ OAB外接圆的方程是____________________．热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法．(1)点线距离法：设圆心到直线的距离为 d，圆的半径为 r，则 dr⇔直线与圆相离．(2)判别式法：设圆 C：( x－ a)2＋( y－ b)2＝ r2，直线 l： Ax＋ By＋ C＝0，方程组Error!消去y，得关于 x的一元二次方程根的判别式 Δ ，则直线与圆相离⇔ Δ 0.2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．设圆 C1：( x－ a1)2＋( y－ b1)2＝ r ，圆 C2：( x－ a2)2＋( y－ b2)2＝ r ，两圆心之间的距离为21 2d，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下：(1)dr1＋ r2⇔两圆外离；(2)d＝ r1＋ r2⇔两圆外切；(3)|r1－ r2|0)上一动点， PA， PB是圆 C： x2＋ y2－2 y＝0 的两条切线， A， B是切点，若四边形 PACB的最小面积是 2，则 k的值为( )A．3 B. C．2 D．2212 2思维升华 (1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．跟踪演练 3 (1)已知在平面直角坐标系 xOy中，圆 C的方程为 x2＋ y2＝－2 y＋3，直线 l过点(1,0)且与直线 x－ y＋1＝0 垂直．若直线 l与圆 C交于 A、 B两点，则△ OAB的面积为( )A．1 B. C．2 D．22 2(2)两个圆 C1： x2＋ y2＋2 ax＋ a2－4＝0( a∈R)与 C2： x2＋ y2－2 by－1＋ b2＝0( b∈R)恰有三条公切线，则 a＋ b的最小值为( )A．－6 B．－3 C．－3 D．321．已知圆 C关于 y轴对称，经过点(1,0)且被 x轴分成两段弧长比为 1∶2，则圆 C的方程为( )A．( x± )2＋ y2＝33 43B．( x± )2＋ y2＝33 13C． x2＋( y± )2＝33 43D． x2＋( y± )2＝33 132．已知点 A(－2,0)， B(0,2)，若点 C是圆 x2－2 ax＋ y2＋ a2－1＝0 上的动点，△ ABC面积的最小值为 3－ ，则 a的值为( )2A．1 B．－55C．1 或－5 D．53．若圆 x2＋ y2＝4 与圆 x2＋ y2＋ ax＋2 ay－9＝0( a0)相交，公共弦的长为 2 ，则2a＝________.提醒：完成作业 专题五 第 1讲6二轮专题强化练专题五第 1讲 直线与圆A组 专题通关1．直线 l过点(－1,2)且与直线 2x－3 y－1＝0 垂直，则 l的方程是( )A．3 x＋2 y－1＝0 B．3 x＋2 y＋7＝0C．2 x－3 y＋5＝0 D．2 x－3 y＋8＝02．若直线 y＝ kx＋2 k与圆 x2＋ y2＋ mx＋4＝0 至少有一个交点，则 m的取值范围是( )A．[0，＋∞) B．[4，＋∞)C．(4，＋∞) D．[2,4]3．(2014·浙江)已知圆 x2＋ y2＋2 x－2 y＋ a＝0 截直线 x＋ y＋2＝0 所得弦的长度为 4，则实数 a的值为( )A．－2 B．－4 C．－6 D．－84．若圆 O： x2＋ y2＝4 与圆 C： x2＋ y2＋4 x－4 y＋4＝0 关于直线 l对称，则直线 l的方程是( )A． x＋ y＝0B． x－ y＝0C． x－ y＋2＝0D． x＋ y＋2＝05．已知圆 C1：( x－2) 2＋( y－3) 2＝1，圆 C2：( x－3) 2＋( y－4) 2＝9， M， N分别是圆 C1， C2上的动点， P为 x轴上的动点，则| PM|＋| PN|的最小值为( )A．5 －4 B. －12 17C．6－2 D.2 176．已知圆 O： x2＋ y2＝5，直线 l： xcos θ ＋ ysin θ ＝1(00)上，与直线 2x＋ y＋1＝0 相切，则面积最小的圆的方程为( )2xA．( x－2) 2＋( y－1) 2＝25B．( x－2) 2＋( y－1) 2＝5C．( x－1) 2＋( y－2) 2＝25D．( x－1) 2＋( y－2) 2＝512．已知圆面 C：( x－ a)2＋ y2≤ a2－1 的面积为 S，平面区域 D：2 x＋ y≤4 与圆面 C的公共区域的面积大于 S，则实数 a的取值范围是( )12A．(－∞，2) B．(－∞，0)∪(0，＋∞)C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1,2)13．(2015·宁波模拟)若圆 x2＋ y2－4 x－4 y－10＝0 上恰有三个不同的点到直线 l： y＝ kx的距离为 2 ，则 k＝________.214．已知圆 C：( x－1) 2＋( y－2) 2＝25，直线 l：(2 a＋1) x＋( a＋1) y－7 a－4＝0，其中a∈R.(1)求证：不论实数 a取何值，直线 l和圆 C恒有两个交点；(2)求直线 l被圆 C截得的线段最短时，直线 l的方程和最短的弦长；(3)求过点 M(6，－4)且与圆 C相切的直线方程．910学生用书答案精析专题五 解析几何第 1讲 直线与圆高考真题体验1．A [若直线 l1与 l2平行，则 a(a＋1)－2×1＝0，即 a＝－2 或 a＝1，所以 a＝1 是直线 l1与直线 l2平行的充分不必要条件．]2．2解析 如图，过 O点作 OD⊥ AB于 D点，在 Rt△ DOB中，∠ DOB＝60°，∴∠ DBO＝30°，又| OD|＝ ＝1，|3×0－ 4×0＋ 5|5∴ r＝2| OD|＝2.3．4± 15解析 圆心 C(1， a)到直线 ax＋ y－2＝0 的距离为 .因为△ ABC为等边三角形，所|a＋ a－ 2|a2＋ 1以| AB|＝| BC|＝2，所以( )2＋1 2＝2 2，|a＋ a－ 2|a2＋ 1解得 a＝4± .154．[－1,1]解析 如图，过点 M作⊙ O的切线，切点为 N，连接 ON.M点的纵坐标为 1，MN与⊙ O相切于点 N.设∠ OMN＝ θ ，则 θ ≥45°，即 sin θ ≥ ，即 ≥ .22 |ON||OM| 2211而| ON|＝1，∴| OM|≤ .2∵ M(x0,1)，∴ ≤ ，x20＋ 1 2∴ x ≤1，∴－1≤ x0≤1，20∴ x0的取值范围为[－1,1]．热点分类突破例 1 (1)C (2)B解析 (1)当 k＝4 时，直线 l1的斜率不存在，直线 l2的斜率存在，则两直线不平行；当k≠4 时，两直线平行的一个必要条件是 ＝ k－3，解得 k＝3 或 k＝5.但必须满足 ≠3－ k4－ k 1k－ 4(截距不相等)才是充要条件，经检验知满足这个条件．32(2)依题意，得 ＝ .|3m＋ 5|m2＋ 1 |－ m＋ 7|m2＋ 1所以|3 m＋5|＝| m－7|.所以(3 m＋5) 2＝( m－7) 2，所以 8m2＋44 m－24＝0.所以 2m2＋11 m－6＝0.所以 m＝ 或 m＝－6.12跟踪演练 1 C解析 由题意可知，直线 AC和直线 BC关于直线 y＝ x＋1 对称．设点 B(－1,2)关于直线y＝ x＋1 的对称点为 B′( x0， y0)，则有Error!⇒Error!即 B′(1,0)．因为 B′(1,0)在直线 AC上，所以直线 AC的斜率为 k＝ ＝ ，1－ 03－ 1 12所以直线 AC的方程为 y－1＝ (x－3)，12即 x－2 y－1＝0.故 C正确．例 2 (1)D (2)B解析 (1)因为圆 C经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线 x＝2 上，又圆与 y轴相切，所以半径 r＝2，设圆心坐标为(2， b)，则(2－1) 2＋ b2＝4， b2＝3， b＝± ，所以选 D.3(2)由已知，可设圆 M的圆心坐标为( a,0)， a－2，半径为 r，12得Error!解得满足条件的一组解为Error!所以圆 M的方程为( x＋1) 2＋ y2＝4.故选 B.跟踪演练 2 (1)( x－2) 2＋( y－1) 2＝10(2)(x－2) 2＋( y－2) 2＝8解析 (1)由题意知 KAB＝2， AB的中点为(4,0)，设圆心为 C(a， b)，∵圆过 A(5,2)， B(3，－2)两点，∴圆心一定在线段 AB的垂直平分线上．则Error!解得Error!∴ C(2,1)，∴ r＝| CA|＝ ＝ . 5－ 2 2＋  2－ 1 2 10∴所求圆的方程为( x－2) 2＋( y－1) 2＝10.(2)设△ OAB的外心为 C，连接 OC，则易知 OC⊥ AB，延长 OC交 AB于点 D，则| OD|＝3 ，2且△ AOB外接圆的半径 R＝| OC|＝ |OD|＝2 .又直线 OC的方程是 y＝ x，容易求得圆心 C23 2的坐标为(2,2)，故所求圆的方程是( x－2) 2＋( y－2) 2＝8.例 3 (1)A (2)D解析 (1)对于直线方程 2x＋( y－3) m－4＝0( m∈R)，取 y＝3，则必有 x＝2，所以该直线恒过定点 P(2,3)．设圆心是 C，则易知 C(1,2)，所以 kCP＝ ＝1，3－ 22－ 1由垂径定理知 CP⊥ MN，所以 kMN＝－1.又弦 MN过点 P(2,3)，故弦 MN所在直线的方程为y－3＝－( x－2)，即 x＋ y－5＝0.(2)如图，把圆的方程化成标准形式得 x2＋( y－1) 2＝1，所以圆心为(0,1)，半径为 r＝1，四边形 PACB的面积 S＝2 S△ PBC，所以若四边形PACB的最小面积是 2，则 S△ PBC的最小值为 1.而 S△ PBC＝ r·|PB|，即12|PB|的最小值为 2，此时13|PC|最小，| PC|为圆心到直线 kx＋ y＋4＝0 的距离 d，此时 d＝ ＝ ＝ ，即|5|k2＋ 1 12＋ 22 5k2＝4，因为 k0，所以 k＝2.跟踪演练 3 (1)A (2)C解析 (1)因为圆 C的标准方程为 x2＋( y＋1) 2＝4，圆心为 C(0，－1)，半径 r＝2，直线 l的斜率为－1，其方程为 x＋ y－1＝0.圆心 C到直线 l的距离 d＝ ＝ ，|0－ 1－ 1|2 2弦长| AB|＝2 ＝2 ＝2 ，r2－ d2 4－ 2 2又坐标原点 O到线段 AB的距离为 ，12所以 S△ OAB＝ ×2 × ＝1，故选 A.12 2 12(2)两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程分别为圆 C1：( x＋ a)2＋ y2＝4，圆 C2： x2＋( y－ b)2＝1，所以| C1C2|＝ ＝2＋1＝3，a2＋ b2即 a2＋ b2＝9.由( )2≤ ，得( a＋ b)2≤18，所以－3 ≤ a＋ b≤3 ，当且仅当“ a＝ b”时取a＋ b2 a2＋ b22 2 2“＝” ．所以选 C.高考押题精练1．C [由已知得圆心在 y轴上，且被 x轴所分劣弧所对圆心角为 π.23设圆心坐标为(0， a)，半径为 r，则 rsin ＝1， rcos ＝| a|，π3 π3解得 r＝ ，23即 r2＝ ，43|a|＝ ，即 a＝± ，33 33故圆 C的方程为 x2＋( y± )2＝ .33 43故应选 C.]2．C [圆的标准方程为( x－ a)2＋ y2＝1，圆心 M(a,0)到直线 AB： x－ y＋2＝0 的距离为d＝ ，|a＋ 2|2圆上的点到直线 AB的最短距离为14d－1＝ －1，( S△ ABC)min＝ ×2 × ＝3－ ，解得 a＝1 或－5.]|a＋ 2|2 12 2 |a＋ 2|－ 22 23.102解析 联立两圆方程Error!可得公共弦所在直线方程为 ax＋2 ay－5＝0，故圆心(0,0)到直线 ax＋2 ay－5＝0 的距离为 ＝ (a0)．|－ 5|a2＋ 4a2 5a故 2 ＝2 ，22－  5a 2 2解得 a2＝ ，52因为 a0，所以 a＝ .10215二轮专题强化练答案精析专题五 解析几何第 1讲 直线与圆1．A [方法一 由题意可得 l的斜率为－ ，所以直线 l的方程为 y－2＝－ (x＋1)，32 32即 3x＋2 y－1＝0.方法二 设直线 l的方程为 3x＋2 y＋ C＝0，将点(－1,2)代入，得 C＝－1，所以 l的方程是 3x＋2 y－1＝0.]2．C [由 y＝ k(x＋2)得直线恒过定点(－2,0)，因此可得点(－2,0)必在圆内或圆上，故有(－2) 2＋0 2－2 m＋4≤0⇒ m≥4.又由方程表示圆的条件，故有 m2－4×40⇒ m4.综上可知 m4.故选 C.]3．B [由圆的方程 x2＋ y2＋2 x－2 y＋ a＝0 可得，圆心为(－1,1)，半径 r＝ .2－ a圆心到直线 x＋ y＋2＝0 的距离为 d＝ ＝ .|－ 1＋ 1＋ 2|2 2由 r2＝ d2＋( )2得 2－ a＝2＋4，42所以 a＝－4.]4．C [圆 x2＋ y2＋4 x－4 y＋4＝0，即( x＋2) 2＋( y－2) 2＝4，圆心 C的坐标为(－2,2)．直线 l过 OC的中点(－1,1)，且垂直于直线 OC，易知 kOC＝－1，故直线 l的斜率为 1，直线 l的方程为 y－1＝ x＋1，即 x－ y＋2＝0.故选 C.]5．A [两圆的圆心均在第一象限，先求| PC1|＋| PC2|的最小值，作点 C1关于 x轴的对称点C1′(2，－3)，则(| PC1|＋| PC2|)min＝| C1′ C2|＝5 ，所以(| PM|＋| PN|)min2＝5 －(1＋3)＝5 －4.]2 26．4解析 圆心 O到直线 l的距离 d＝ ＝1，1cos2θ ＋ sin2θ而圆 O半径为 ，5所以圆 O上到 l的距离等于 1的点有 4个．167．2解析 依题意，不妨设直线 y＝ x＋ a与单位圆相交于 A， B两点，则∠ AOB＝90°.如图，此时 a＝1， b＝－1，满足题意，所以 a2＋ b2＝2.8．(1)( x－1) 2＋( y－ )2＝2 (2)－ －12 2解析 (1)由题意，设圆心 C(1， r)(r为圆 C的半径)，则 r2＝2＋1 2＝2，解得 r＝ .所以圆 C的方程为( x－1) 2＋( y－ )2＝2.(|AB|2 ) 2 2(2)方法一 令 x＝0，得 y＝ ±1，所以点 B(0， ＋1)．又点 C(1， )，所以直线 BC2 2 2的斜率为 kBC＝－1，所以过点 B的切线方程为 y－( ＋1)＝ x－0，即 y＝ x＋( ＋1)．2 2令 y＝0，得切线在 x轴上的截距为－ －1.2方法二 令 x＝0，得 y＝ ±1，所以点 B(0， ＋1)．又点 C(1， )，设过点 B的切线2 2 2方程为 y－( ＋1)＝ kx，即 kx－ y＋( ＋1)＝0.由题意，得圆心 C(1， )到直线2 2 2kx－ y＋( ＋1)＝0 的距离 d＝ ＝ r＝ ，解得 k＝1.故切线方程为2|k－ 2＋ 2＋ 1|k2＋ 1 2x－ y＋( ＋1)＝0.令 y＝0，得切线在 x轴上的截距为－ －1.2 29．解 解方程组Error!得交点 P(1,2)．①若点 A， B在直线 l的同侧，则 l∥ AB.而 kAB＝ ＝－ ，3－ 23－ 5 12由点斜式得直线 l的方程为y－2＝－ (x－1)，12即 x＋2 y－5＝0.②若点 A， B分别在直线 l的异侧，则直线 l经过线段 AB的中点(4， )，52由两点式得直线 l的方程为 ＝ ，y－ 2x－ 1 52－ 24－ 1即 x－6 y＋11＝0.综上所述，直线 l的方程为x＋2 y－5＝0 或 x－6 y＋11＝0.10．解 (1)由题设，可知直线 l的方程为 y＝ kx＋1，17因为 l与 C交于两点，所以 0)，则半径 r＝ ≥ ＝ ，2a 2a＋ 2a＋ 15 22a×2a＋ 15 5当且仅当 2a＝ ，即 a＝1 时取等号．2a所以当 a＝1 时圆的半径最小，此时 r＝ ， C(1,2)，所以面积最小的圆的方程为( x－1)52＋( y－2) 2＝5，故选 D.]12．D [依题意并结合图形分析可知(图略)，圆面 C：( x－ a)2＋ y2≤ a2－1 的圆心( a,0)应在不等式 2x＋ y≤4 表示的平面区域内，且( a,0)不在直线 2x＋ y＝4 上，即有Error!由此解得 a25，所以 M(6，－4)在圆外，过点 M(6，－4)且与圆 C相切的直线有两条．当斜率不存在时，所求的切线为 x＝6；当斜率存在时，设所求的切线方程为 y＋4＝ k(x－6)，即 kx－ y－6 k－4＝0，19由 ＝5，得 k＝－ ，|k－ 2－ 6k－ 4|k2＋ 1 1160这时，所求的切线方程为 11x＋60 y＋174＝0.综上，所求的直线方程为 x＝6 或 11x＋60 y＋174＝0.1第 2 讲 椭圆、双曲线、抛物线1．(2015·福建)若双曲线 E： － ＝1 的左，右焦点分别为 F1， F2，点 P 在双曲线 E 上，x29 y216且| PF1|＝3，则| PF2|等于( )A．11 B．9 C．5 D．32．(2014·课标全国Ⅰ)已知抛物线 C： y2＝8 x 的焦点为 F，准线为 l， P 是 l 上一点， Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若 ＝4 ，则| QF|等于( )FP→ FQ→ A. B. C．3 D．272 523．(2015·浙江)椭圆 ＋ ＝1( a＞ b＞0)的右焦点 F(c,0)x2a2 y2b2关于直线 y＝ x 的对称点 Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．bc4．(2014·安徽)设 F1， F2分别是椭圆 E： x2＋ ＝1(0|F1F2|)；(2)双曲线：|| PF1|－| PF2||＝2 a(2a0， b0)的一条渐近线方程是 y＝ x，它的x2a2 y2b2 3一个焦点坐标为(2,0)，则双曲线的方程为( )A. － ＝1 B. － ＝1x22 y26 x26 y22C． x2－ ＝1 D. － y2＝1y23 x23思维升华 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．跟踪演练 1 (1)(2014·大纲全国)已知椭圆 C： ＋ ＝1( ab0)的左、右焦点为x2a2 y2b2F1、 F2，离心率为 ，过 F2的直线 l 交 C 于 A、 B 两点．若△ AF1B 的周长为 4 ，则 C 的方33 3程为( )A. ＋ ＝1 B. ＋ y2＝1x23 y22 x23C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1x212 y28 x212 y24(2)(2015·天津)已知双曲线 － ＝1( a＞0， b＞0)的一条渐近线过点(2， ) ，且双曲x2a2 y2b2 3线的一个焦点在抛物线 y2＝4 x 的准线上，则双曲线的方程为( )7A. － ＝1 B. － ＝1x221 y228 x228 y221C. － ＝1 D. － ＝1x23 y24 x24 y23热点二 圆锥曲线的几何性质1．椭圆、双曲线中， a， b， c 之间的关系(1)在椭圆中： a2＝ b2＋ c2，离心率为 e＝ ＝ ；ca 1－  ba 2(2)在双曲线中： c2＝ a2＋ b2，离心率为 e＝ ＝ .ca 1＋  ba 22．双曲线 － ＝1( a0， b0)的渐近线方程为x2a2 y2b23y＝± x.注意离心率 e 与渐近线的斜率的关系．ba例 2 (1)椭圆 Γ ： ＋ ＝1( ab0)的左，右焦点分别为 F1， F2，焦距为 2c.若直线 y＝x2a2 y2b2(x＋ c)与椭圆 Γ 的一个交点 M 满足∠ MF1F2＝2∠ MF2F1，则该椭圆的离心率等于3________．(2)(2015·杭州模拟)已知双曲线 － ＝1 的左、右焦点分别为 F1、 F2，过 F1作圆x2a2 y2b2x2＋ y2＝ a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点 B、 C，且| BC|＝| CF2|，则双曲线的渐近线方程为( )A． y＝±3 x B． y＝±2 x2C． y＝±( ＋1) x D． y＝±( －1) x3 3思维升华 (1)明确圆锥曲线中 a， b， c， e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出 c 和 a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数 c， a， b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．跟踪演练 2 (1)设 F1， F2分别是椭圆 ＋ ＝1 (ab0)的左，右焦点，若在直线 x＝x2a2 y2b2上存在点 P，使线段 PF1的中垂线过点 F2，则椭圆的离心率的取值范围是( )a2cA. B.(0，22] (0， 33]C. D.[22， 1) [33， 1)(2)(2015·重庆)设双曲线 － ＝1( a＞0， b＞0)的右焦点为 F，右顶点为 A，过 F 作 AFx2a2 y2b2的垂线与双曲线交于 B， C 两点，过 B， C 分别作 AC， AB 的垂线，两垂线交于点 D，若 D 到直线 BC 的距离小于 a＋ ，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )a2＋ b2A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－ ，0)∪(0， ) D．(－∞，－ )∪( ，＋∞)2 2 2 2热点三 直线与圆锥曲线判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于 x， y 的方程组，消去 y(或 x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标；(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．4例 3 (2015·江苏改编)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆＋ ＝1( a＞ b＞0)的离心率为 ，且右焦点 F 到直线 l： x＝－ 的距离x2a2 y2b2 22 a2c为 3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过 F 的直线与椭圆交于 A， B 两点，线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点P， C，若| PC|＝2| AB|，求直线 AB 的方程．思维升华 解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．跟踪演练 3 (1)(2015·四川)过双曲线 x2－ ＝1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双y23曲线的两条渐近线于 A， B 两点，则| AB|等于( )5A. B．2433 3C．6 D．4 3(2)(2015·浙江杭州二中月考)已知椭圆 E： ＋ ＝1( ab0)的右焦点为 F(3,0)，过点 Fx2a2 y2b2的直线交椭圆于 A， B 两点．若 AB 的中点坐标为(1，－1)，则 E 的方程为( )A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1x245 y236 x236 y227C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1x227 y218 x218 y291．已知双曲线 － ＝1( a0， b0)的一条渐近线上有两点 A， B，若直线 l 的方程为 x＋y2a2 x2b2y－ 2＝0，且 AB⊥ l，则椭圆 ＋ ＝1 的离心率为( )2x2a2 y2b2A. B.14 12C. D.22 322．已知椭圆 C： ＋ ＝1( ab0)的离心率为 ，且点(1， )在该椭圆上．x2a2 y2b2 12 32(1)求椭圆 C 的方程；(2)过椭圆 C 的左焦点 F1的直线 l 与椭圆 C 相交于 A， B 两点，若△ AOB 的面积为 ，求圆627心在原点 O 且与直线 l 相切的圆的方程．6提醒：完成作业 专题五 第 2 讲二轮专题强化练专题五第 2讲 椭 圆 、 双 曲 线 、 抛 物 线A 组 专题通关1．已知椭圆 ＋ ＝1(00， b0)的离心率为 2.若抛物线 C2： x2＝2 py(p0)的焦点x2a2 y2b2到双曲线 C1的渐近线的距离为 2，则抛物线 C2的方程为( )A． x2＝ y B． x2＝ y833 1633C． x2＝8 y D． x2＝16 y5．(2014·课标全国Ⅱ)设 F 为抛物线 C： y2＝3 x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30°的直线交C 于 A， B 两点， O 为坐标原点，则△ OAB 的面积为( )A. B. C. D.334 938 6332 9476．已知 P 为椭圆 ＋ ＝1 上的一点， M， N 分别为圆( x＋3) 2＋ y2＝1 和圆( x－3) 2＋ y2＝4x225 y216上的点，则| PM|＋| PN|的最小值为________．7．已知点 P(0,2)，抛物线 C： y2＝2 px(p0)的焦点为 F，线段 PF 与抛物线 C 的交点为 M，过 M 作抛物线准线的垂线，垂足为 Q，若∠ PQF＝90°，则 p＝________.8．(2015·山东)平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C1： － ＝1( a0， b0)的渐近线与抛x2a2 y2b2物线 C2： x2＝2 py(p＞0)交于点 O， A， B.若△ OAB 的垂心为 C2的焦点，则 C1的离心率为________．9．已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，焦距为 2，离心率为 .12(1)求椭圆 C 的方程；(2)设直线 l 经过点 M(0,1)，且与椭圆 C 交于 A， B 两点，若 ＝2 ，求直线 l 的方程．AM→ MB→ 10．(2015·浙江)已知椭圆 ＋ y2＝1 上两个不同的点 A， B 关于直线x22y＝ mx＋ 对称．12(1)求实数 m 的取值范围；(2)求△ AOB 面积的最大值( O 为坐标原点)．B 组 能力提高11．(2014·辽宁)已知点 A(－2,3)在抛物线 C： y2＝2 px 的准线上，过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于点 B，记 C 的焦点为 F，则直线 BF 的斜率为( )A. B.12 23C. D.34 43812．(2015·浙江六校联考)已知双曲线 － ＝1( a0， b0)的左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1、 F2， P 为双曲线上任一点，且 · 的最小值的取值范围是[－ c2，－ c2]，则该双PF1→ PF2→ 34 12曲线的离心率的取值范围为( )A．(1， ] B．[ ，2]2 2C．(1， ) D．[2，＋∞)213．已知抛物线 y2＝4 x 的准线过双曲线 － ＝1( a0， b0)的左焦点且与双曲线交于x2a2 y2b2A， B 两点， O 为坐标原点，且△ AOB 的面积为 ，则双曲线的离心率为________．3214．已知椭圆 C 的长轴左、右顶点分别为 A， B，离心率 e＝ ，右焦点为 F，22且 · ＝－1.AF→ BF→ (1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若 P 是椭圆 C 上的一动点，点 P 关于坐标原点的对称点为 Q，点 P 在 x 轴上的射影点为M，连接 QM 并延长交椭圆于点 N，求证：∠ QPN＝90°.9学生用书答案精析第 2 讲 椭圆、双曲线、抛物线高考真题体验1．B [由双曲线定义|| PF2|－| PF1||＝2 a，∵| PF1|＝3，∴ P 在左支上，∵ a＝3，∴| PF2|－| PF1|＝6，∴| PF2|＝9，故选 B.]2．C [∵ ＝4 ，∴| |＝4| |，FP→ FQ→ FP→ FQ→ ∴ ＝ .|PQ||PF| 34如图，过 Q 作 QQ′⊥ l，垂足为 Q′，设 l 与 x 轴的交点为 A，则| AF|＝4，∴ ＝ ＝ ，∴| QQ′|＝3，根据抛物线定义可知| QQ′|＝| QF|＝3，故选 C.]|PQ||PF| |QQ′ ||AF| 343.22解析 方法一 设椭圆的另一个焦点为F1(－ c,0)，如图，连接 QF1， QF，设 QF 与直线 y＝ x 交于点 M.由题意知 M 为线段 QF 的中bc点，且 OM⊥ FQ.又 O 为线段 F1F 的中点，∴ F1Q∥ OM，∴ F1Q⊥ QF，| F1Q|＝2| OM|.在 Rt△ MOF 中，tan∠ MOF＝ ＝ ，| OF|＝ c，|MF||OM| bc可解得| OM|＝ ，| MF|＝ ，故| QF|＝2| MF|＝ ，| QF1|＝2| OM|＝ .c2a bca 2bca 2c2a由椭圆的定义得| QF|＋| QF1|＝ ＋ ＝2 a，整理得 b＝ c，2bca 2c2a∴ a＝ ＝ c，故 e＝ ＝ .b2＋ c2 2ca 22方法二 设 Q(x0， y0)，则 FQ 的中点坐标 ， kFQ＝ ，依题意(x0＋ c2 ， y02) y0x0－ c10Error!解得Error!又∵( x0， y0)在椭圆上，∴ ＋ ＝1，c2 2c2－ a2 2a6 4c4a4令 e＝ ，则 4e6＋ e2＝1，ca∴离心率 e＝ .224． x2＋ y2＝132解析 设点 B 的坐标为( x0， y0)．∵ x2＋ ＝1，y2b2∴ F1(－ ，0)， F2( ，0)．1－ b2 1－ b2∵ AF2⊥ x 轴，∴ A( ， b2)．1－ b2∵| AF1|＝3| F1B|，∴ ＝3 ，AF1→ F1B→ ∴(－2 ，－ b2)＝3( x0＋ ， y0)．1－ b2 1－ b2∴ x0＝－ ， y0＝－ .531－ b2 b23∴点 B 的坐标为 .(－531－ b2， － b23)将 B 代入 x2＋ ＝1，(－531－ b2， － b23) y2b2得 b2＝ .∴椭圆 E 的方程为 x2＋ y2＝1.23 32热点分类突破例 1 (1)C (2)C解析 (1)由题意得 a＝3， c＝ ，7所以| PF1|＝2.在△ F2PF1中，由余弦定理可得 cos∠ F2PF1＝ ＝－ .42＋ 22－  27 22×4×2 12又因为 cos∠ F2PF1∈(0°，180°)，所以∠ F2PF1＝120°.(2)双曲线 － ＝1( a0， b0)的渐近线方程是x2a2 y2b211y＝± x，故可知 ＝ ，ba ba 3又∵焦点坐标为(2,0)，∴ c＝ ＝2，a2＋ b2解得 a＝1， b＝ .3∴双曲线方程为 x2－ ＝1.y23跟踪演练 1 (1)A (2)D解析 (1)由 e＝ 得 ＝ .①33 ca 33又△ AF1B 的周长为 4 ，3由椭圆定义，得 4a＝4 ，得 a＝ ，3 3代入①得 c＝1，∴ b2＝ a2－ c2＝2，故 C 的方程为 ＋ ＝1.x23 y22(2)双曲线 － ＝1 的渐近线方程为 y＝± x，又渐近线过点(2， )，所以 ＝ ，即x2a2 y2b2 ba 3 2ba 32b＝ a，①3抛物线 y2＝4 x 的准线方程为 x＝－ ，7 7由已知，得 ＝ ，即 a2＋ b2＝7，②a2＋ b2 7联立①②解得 a2＝4， b2＝3，所求双曲线的方程为 － ＝1，选 D.x24 y23例 2 (1) －1 (2)C3解析 (1)直线 y＝ (x＋ c)过点 F1(－ c,0)，且倾斜角为 60°，所以∠ MF1F2＝60°，从而3∠ MF2F1＝30°，所以 MF1⊥ MF2.在 Rt△ MF1F2中，| MF1|＝ c，| MF2|＝ c，所以该椭圆的离心率 e＝ ＝ ＝ －1.32c2a 2cc＋ 3c 3(2)由题意作出示意图，易得直线 BC 的斜率为 ，abcos∠ CF1F2＝ ，bc又由双曲线的定义及| BC|＝| CF2|可得| CF1|－|CF2|＝| BF1|12＝2 a，|BF2|－| BF1|＝2 a⇒|BF2|＝4 a，故 cos∠ CF1F2＝ ＝ ⇒b2－2 ab－2 a2＝0⇒( )2－2( )－2＝0⇒ ＝1＋ ，故bc 4a2＋ 4c2－ 16a22×2a×2c ba ba ba 3双曲线的渐近线方程为 y＝±( ＋1) x.3跟踪演练 2 (1)D (2)A解析 (1)设 P ，线段 F1P 的中点 Q 的坐标为 ，(a2c， y) (b22c， y2)当 kQF2存在时，则 kF1P＝ ，cya2＋ c2kQF2＝ ，cyb2－ 2c2由 kF1P·kQF2＝－1，得y2＝ ， y2≥0， a2＋ c2 · 2c2－ b2c2但注意到 b2－2 c2≠0，即 2c2－ b20，即 3c2－ a20，即 e2 ，故 b2，∴0b0，则椭圆的焦点在 x 轴上，设椭圆的焦距为 2c，则 ＝2，a2b2 a2a2－ c2解得椭圆的离心率为 ＝ .]ca 222．解 (1)由题意可得 e＝ ＝ ，ca 12又 a2＝ b2＋ c2，所以 b2＝ a2.34因为椭圆 C 经过点(1， )，32所以 ＋ ＝1，1a29434a2解得 a＝2，所以 b2＝3，故椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1.x24 y23(2)由(1)知 F1(－1,0)，设直线 l 的方程为 x＝ ty－1，由Error!消去 x，得(4＋3 t2)y2－6 ty－9＝0，显然 Δ 0 恒成立，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1＋ y2＝ ， y1y2＝－ ，6t4＋ 3t2 94＋ 3t2所以| y1－ y2|＝  y1＋ y2 2－ 4y1y2＝ ＝ ，36t2 4＋ 3t2 2＋ 364＋ 3t2 12t2＋ 14＋ 3t2所以 S△ AOB＝ ·|F1O|·|y1－ y2|12＝ ＝ ，6t2＋ 14＋ 3t2 627化简得 18t4－ t2－17＝0，即(18 t2＋17)( t2－1)＝0，解得 t ＝1， t ＝－ (舍去)，21 21718又圆 O 的半径 r＝|0－ t×0＋ 1|1＋ t216＝ ，11＋ t2所以 r＝ ，故圆 O 的方程为 x2＋ y2＝ .22 1217二轮专题强化练答案精析第 2 讲 椭圆、双曲线、抛物线1．A [已知椭圆 ＋ ＝1(00， b0)的离心率为 2，x2a2 y2b2∴ ＝ ＝2，∴ b＝ a，ca a2＋ b2a 3∴双曲线的渐近线方程为 x±y＝0，3∴抛物线 C2： x2＝2 py(p0)的焦点 到双曲线的渐近线的距离为 ＝2，(0，p2) | 3×0±p2|2∴ p＝8.∴所求的抛物线方程为 x2＝16 y.]5．D [由已知得焦点坐标为 F( ，0)，34因此直线 AB 的方程为 y＝ (x－ )，33 34即 4x－4 y－3＝0.3方法一 联立抛物线方程化简得184y2－12 y－9＝0，3故| yA－ yB|＝ ＝6. yA＋ yB 2－ 4yAyB因此 S△ OAB＝ |OF||yA－ yB|＝ × ×6＝ .12 12 34 94方法二 联立方程得 x2－ x＋ ＝0，212 916故 xA＋ xB＝ .212根据抛物线的定义有| AB|＝ xA＋ xB＋ p＝ ＋ ＝12，212 32同时原点到直线 AB 的距离为 h＝ ＝ ，|－ 3|42＋  － 43 2 38因此 S△ OAB＝ |AB|·h＝ .]12 946．7解析 由题意知椭圆的两个焦点 F1， F2分别是两圆的圆心，且| PF1|＋| PF2|＝10，从而|PM|＋| PN|的最小值为|PF1|＋| PF2|－1－2＝7.7. 2解析 由抛物线的定义可得| MQ|＝| MF|，F( ，0)，又 PQ⊥ QF，故 M 为线段 PF 的中点，所以 M( ，1)，把 M( ，1)，代入抛物线p2 p4 p4y2＝2 px(p0)得，1＝2 p× ，p4解得 p＝ ，故答案为 .2 28.32解析 由题意，不妨设直线 OA 的方程为 y＝ x，直线 OB 的方程为 y＝－ x.ba ba由Error!得 x2＝2 p · x，ba∴ x＝ ， y＝ ，∴ A .2pba 2pb2a2 (2pba， 2pb2a2)设抛物线 C2的焦点为 F，则 F ，(0，p2)∴ kAF＝ .2pb2a2－ p22pba∵△ OAB 的垂心为 F，∴ AF⊥ OB，19∴ kAF·kOB＝－1，∴ · ＝－1，∴ ＝ .2pb2a2－ p22pba (－ ba) b2a2 54设 C1的离心率为 e，则 e2＝ ＝ ＝1＋ ＝ .∴ e＝ . c2a2 a2＋ b2a2 54 94 329．解 (1)设椭圆方程为 ＋x2a2 y2b2＝1( a0， b0)，因为 c＝1， ＝ ，ca 12所以 a＝2， b＝ ，3所以椭圆方程为 ＋ ＝1.x24 y23(2)由题意得直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y＝ kx＋1，联立方程Error!得(3＋4 k2)x2＋8 kx－8＝0，且 Δ 0.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由 ＝2 ，得 x1＝－2 x2，AM→ MB→ 又Error!所以Error!消去 x2得( )2＝ ，8k3＋ 4k2 43＋ 4k2解得 k2＝ ， k＝± ，14 12所以直线 l 的方程为 y＝± x＋1，12即 x－2 y＋2＝0 或 x＋2 y－2＝0.10．解 (1)由题意知 m≠0，可设直线 AB 的方程为y＝－ x＋ b.由Error!1m消去 y，得 x2－ x＋ b2－1＝0.(12＋ 1m2) 2bm因为直线 y＝－ x＋ b 与椭圆 ＋ y2＝1 有两个不同的交点，1m x2220所以 Δ ＝－2 b2＋2＋ ＞0，①4m2将 AB 中点 M 代入直线方程 y＝ mx＋ 解得 b＝－ ，②(2mbm2＋ 2， m2bm2＋ 2) 12 m2＋ 22m2由①②得 m＜－ 或 m＞ .63 63(2)令 t＝ ∈ ∪ ，1m (－ 62， 0) (0， 62)则| AB|＝ · .t2＋ 1－ 2t4＋ 2t2＋ 32t2＋ 12且 O 到直线 AB 的距离为 d＝ .t2＋ 12t2＋ 1设△ AOB 的面积为 S(t)，所以 S(t)＝ |AB|·d12＝ ≤ .12 － 2(t2－ 12)2＋ 2 22当且仅当 t2＝ 时，等号成立．12故△ AOB 面积的最大值为 .2211．D [抛物线 y2＝2 px 的准线为直线 x＝－ ，而点 A(－2,3)在准线上，所以－ ＝－2，p2 p2即 p＝4，从而 C： y2＝8 x，焦点为 F(2,0)．设切线方程为 y－3＝ k(x＋2)，代入 y2＝8 x 得y2－ y＋2 k＋3＝0( k≠0)，①k8由于 Δ ＝1－4× (2k＋3)＝0，所以 k＝－2 或 k＝ .k8 12因为切点在第一象限，所以 k＝ .12将 k＝ 代入①中，得 y＝8，再代入 y2＝8 x 中得 x＝8，12所以点 B 的坐标为(8,8)，所以直线 BF 的斜率为 .]4312．B [设 P(m， n)，则 － ＝1，m2a2 n2b221即 m2＝ a2(1＋ )，n2b2设 F1(－ c,0)， F2(c,0)，则 ＝(－ c－ m，－ n)，PF1→ ＝( c－ m，－ n)，PF2→ 则 · ＝ m2－ c2＋ n2＝ a2(1＋ )－ c2＋ n2PF1→ PF2→ n2b2＝ n2(1＋ )＋ a2－ c2≥ a2－ c2(当 n＝0 时取等号)．a2b2则 · 的最小值为 a2－ c2，PF1→ PF2→ 由题意可得－ c2≤ a2－ c2≤－ c2，34 12即 c2≤ a2≤ c2，14 12即 c≤ a≤ c，12 22则 ≤ e≤2，故选 B.]213．2解析 抛物线 y2＝4 x 的准线方程为 x＝－1，由题意知，双曲线的左焦点坐标为(－1,0)，即 c＝1，且 A(－ c， )， B(－ c，－ )，b2a b2a因为△ AOB 的面积为 ，32所以 ×2× ×1＝ ，12 b2a 32即 ＝ ，b2a 32所以， ＝ ，1－ a2a 32解得 a＝ ，∴ e＝ ＝ ＝2.12 ca 11214．(1)解 依题意，设椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1( ab0)，x2a2 y2b2则 A(－ a,0)， B(a,0)， F(c,0)，22由 e＝ ＝ ，ca 22得 a＝ c.①2由 · ＝－1，AF→ BF→ 得( c＋ a,0)·(c－ a,0)＝ c2－ a2＝－1.②联立①②，解得 a＝ ， c＝1，2所以 b2＝1，故椭圆 C 的方程为 ＋ y2＝1.x22(2)证明 设 P(x1， y1)， N(x2， y2)，由题意知 xi≠0， yi≠0( i＝1,2)，且 x1≠ x2，又 Q(－ x1，－ y1)， M(x1,0)．由 Q， M， N 三点共线，知 kQM＝ kQN，所以 ＝ .③y12x1 y2＋ y1x2＋ x1又 kPQkPN＋1＝ · ＋1.④y1x1 y2－ y1x2－ x1把③代入④，得 kPQkPN＋1＝ · ＋1＝ .⑤2 y2＋ y1x2＋ x1 y2－ y1x2－ x1  x2＋ 2y2 －  x21＋ 2y21x2－ x21因为点 P， N 在椭圆上，所以 x ＋2 y ＝2， x ＋2 y ＝2，⑥21 21 2 2把⑥代入⑤，得 kPQkPN＋1＝ ＝0，2－ 2x2－ x21即 kPQkPN＝－1，所以∠ QPN＝90°.