广东省广州市2016届高考数学二轮专题复习试题（打包19套）.zip

1三角函数 011.已知△ ABC 两内角 A、 B 的对边边长分别为 a、 b， 则“ ”是“BA”的（ ）cosabA.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件【答案】A由 得 ，即 ，所以 或sincosicsBin2siA2，即 或 ，所以 “ ”是“ ”的充分2AB2AcosabB非必要条件，选 A.2.函数 xycos2sin的最小正周期 T . 【答案】 ,所以 ，即函数的最小周期为sisin(2)4x2。2T3.己知 ， ，且 ，则 ▲ ．(1,si)acos1b（batn【答案】 2因为 ，所以 ，即 ，所以 。bcs2in0cs2i1ta24.在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 ，若 ，且 ，则△,ab2cb8cABC 的面积等于 ▲ ．【答案】 23由 得 ，所以 ，所以 ，bcab22cab221cosbcaA3A所以 。13sin8ABCS5.某同学对函数 进行研究后，得出以下结论：xfsin)(①函数 的图像是轴对称图形；xy②对任意实数 ， 均成立；f)(2③函数 的图像与直线 有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；)(xfyxy④当常数 满足 时，函数 的图像与直线 有且仅有一个公共点.k1()fkxy其中所有正确结论的序号是 ▲ ．【答案】①②④① ，所以函数 是偶函数，所以关于()sin()si()fxxfxxfsin)(轴对称，所以①正确。② ，所以②正确。③由y sini，得 或 ，所以 ,所以任意相邻两点的()sifxxsi10x2,xkZ距离不一定相等，所以③错误。④由 ，即 ，因为()sif (sin)0xk，所以 ，所以必有 ，所以函数 的图像与直线 有1ksin0kyfkxy且仅有一个公共点，所以④正确。所以所有正确结论的序号是①②④。6.若 4co5，则 2co___________.【答案】 72因为 ，所以 。cs2247css1()57.函数 ()in()0,|fxAx的部分图像如右图所示，则 ()fx _________.【答案】 ()2sin4fxx由图象可知 ,即周期 ,由 得， ，所以6TA， 8T284，有 得， ，即 ，()si()fxx()2f()sin()4fsin()12所以 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以2kZ， kZ， 20。()sin4fxx8.在 ABC中， “ ”是“ 09C”的 （ cosincosinAB）(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件3(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件【答案】B由 得 ，即cosincosinAB2si()2sin()44AB，所以 或 ，即 ，或i()()4BAB，即 ，所以 “ ”是“ 09C”的必要2BCcosincosi不充分条件，选 B.9.设 的内角 的对边长分别为 ，且 ，AB、、 ba、、 cAbBa53osc则 的值是___________．cottan【答案】4由 得b53s3sincosisini()5ABC，即 ，所以 ，即3sincoi5AB28coAsco4inAB。4tta10.一人在海面某处测得某山顶 的仰角为 ，在海面上向山顶的方向行进C)450(米后，测得山顶 的仰角为 ，则该山的高度为 米． （结果化简）m9【答案】 2tan1由题意知 ，且 ，则,0,90CABDCAADm。由正弦定理得 ，即 ，902 sin(2)sin()cos2AC即 ，所以山高 。cosm co1tanm11.机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走” ．如图所示， “海宝”从圆心 出发，O先沿北偏西 方向行走 13 米至点 处，再沿正南方向行走 14 米至点 处，最后132arcsinAB4沿正东方向行走至点 处，点 、 都在圆 上．则在以圆心 为坐标原点，正东方向CBOO为 轴正方向，正北方向为 轴正方向的直角坐标系中圆 的方程为 .xy【答案】 252yx连结 ,由题意知 ， ,OB12sin3AarcAO.所以 ， ，由余弦定理可得14AB12sin3A5cos1，即 ，所2 253412O15B以圆的半径为 ，所以所求圆的方程为 。5yx12.已知定义在 上的函数 与 的图像的交点为 ，过 作(0 )2， 2(sin)y83P轴于 ，直线 与 的图像交于点 ，则线段 的长为 . 1Px11Ptax2P12【答案】 4由 ，得 ，所以 ，即 ，因为82(sin1)3yx1sin3x1sin3xarc18(sin,)3Parc轴于 ，所以 ，所以 的纵坐标为 ，即1P1(,0)Parc2ty5,所以 .21(arcsin,t(arcsi)3P121tan(rcsi)3P2413.已知 ，则 _______.iosi【答案】 21因为 ，所以22cssincosinin(i)。o311si2sis214.在 中， ，则 的面积为_______.ABC2,,6ACBAC【答案】 或3由余弦定理得 ,即 ，所以22cos 2416BC，解得 或 .所以 的面积为2680BCBCA所以 或 。13sin2SA 32SB32S15.函数 的最小正周期为 ．iyx【答案】 因为 ，所以函数的最小正周期为 。22T16.已知集合 ， ，则 ．{|03}Ax2{|4}BxAB【答案】 (2,3)因为 ，所以 。{|4}{2}Bxx或 {23}(,)x17.已知 ， ，则 的值为 ．1tan=1ta()3tan()【答案】 因为 所以ta()tatan(2)tan[()]1nbbb---=+tn(2)ba-=6。132()-==-+×18.函数 的最小正周期是___________．1)cos(in2xxf【答案】 ,所以周期 。2()si)sinco2sinf xx2T19.在△ 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且满足 ，ABCCabc5osA，则△ 的面积为______________．3【答案】2因为 ，所以 ，所以 ，因为2cos1A253cos()14sin5A，所以 ，所以△ 的面积s3ABC cosABCBC。14in522S20.函数 的最小正周期是_________．)3s(xy【答案】因为 ，所以周期 .22T21.已知 ABC的面积为 3,,23ABC，则 A的周长等于 ._【答案】 3，即 。又由余弦定理可知13cos6022ABCS 2A，即 ，所以 ，2csABC 2BC25ABC即 ，解得 ，即 。所以()52()5493ABC的周长等于 。3722.已知 且 ，则 .(0,)tan()34【答案】 512由 得 ，所以 。因为tan()34,43kZ7,12kZ，所以 ，所以当 时， 。0,5 523.在 中，角 A、 B、 C 所对边的长分别为 a、 b、 c，若 ，则 的最小C 22abcosC值等于 .【答案】 12因为 ，所以 ，即 当且仅当 时去等号。所以abc22abcab2c，所以 的最小值等于 .21cosCosC124.设函数 ，则下列结论错误的是…………… ……………（ ）()sin,fxxRA． 的值域为 B． 是偶函数f[0,1] ()fxC． 不是周期函数 D． 不是单调函数()fx f【答案】C因为 ，所以函数的周期是 ，即 是周期函数，()sin()si()f xf()fx所以 C 错误。选 C.25.将函数 的图像按向量 （ ）平移，所得图像对应的函3si()1coxfx=n(a,0)数为偶函数，则 的最小值为 . a【答案】 65由题意知 ，按 平移，得到函数()3cosin2cos()6fxxn(a,0)，即 ，此时函数为偶函数，所以2)6faay,所以 ，所以当 时， 的最小值为 。,6kZ,kZ1ka6526. 已知函数 ＞0， ＞0， ＜ 的图像与 轴的交点为（0，1） ，它()sin()fxAx|π)2y在 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为 和y 0(,)x0(2π,).8（1）求 的解+析+式及 的值；()fx0x（2）若锐角 满足 ，求1cos3(4)f的值.【答案】解：（1）由题意可得 即 ，………………………3 分2π2,,=4TA12由 ＜ ,()2sin(),(0sin1,fxxf|.6………………………………………………………………………5 分1π6所以00()2sin()2,fxx00π2π2+,4(),63xkxkZ又 是最小的正数， ……………………………………………………7 分;3（2） π12(0,)cos,in,2………………………………10 分742cos,isico,99．…………………14 分π76(4)in()3sin236 9f27.在△ ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c，且 A, B, C 成等差数列．（1）若 ，且 ，求 的值；b（2）若 ，求 的取值范围．3sin1coMA【答案】解：（1） A、 B、 C 成等差数列，∴2,BAC又 ，∴ ， …………………………2 分 ABC3由 得， ，∴ ① ………………………4 分2cosa6ac又由余弦定理得 22,3b∴ ，∴ ② ………………………6 分218ac24ac由①、②得， ……………………………………8 分69（2） 3sin3cosin1AMA……………………………………11 分si()由（1）得 ，∴ ， 3B23AC由 且 ，可得 故 ，20C0,3A所以 ，sin()(3,)A即 的取值范围为 ． …………………………14 分M(,)28.（文）已知 分别为 △ 三个内角 、 、 所对的边长，且cbaABCBC．ABa53cos（1）求： 的值；tan（2）若 ， ，求 、 ．06cab【答案】解：（1）由正弦定理 得CcBAsinisin，2 分CBA53cosincsi 又 ，所以 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 5 分Csicosi)( ABAcosin58cosi52可得 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 7 分4cosintaA（2）若 ，则 ， ， ，得 ，可得0623i21cosA3tan43tan， ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 10 分194cosB19sB，38195sincosin)i(in BAC由正弦定理 得CBbaiisi， 14 分19nc 2sinc1029.已知 ， ，满足 ． )1,sin32co(xm),(cosyx0nm（1）将 表示为 的函数 ，并求 的最小正周期；yx(ff（2）已知 分别为 的三个内角 对应的边长，若 对所有cba,ABCCBA, )2(Afxf恒成立，且 ，求 的取值范围．Rx2cb【答案】 （I）由 得 ………2 分0nm0cosin32osyxx即 … …4 分xyci3cos2 1)62in(1x所以 ，其最小正周期为 ． ………6 分1)6i()(f （II）因为 对所有 恒成立2AfxRx所以 ，且 …………8 分3)2(f Zk,因为 为三角形内角，所以 ，所以 ． ……………9 分A03A由正弦定理得 ， ，Bbsin34Ccsin34CBcbsin34si……………………………………12)2i(sin34)6i(分， ，),0(B]1,2()6si(B]4,2(cb所以 的取值范围为 ………… ……………………14 分cb4,30.已知函数 ， ．)cos(incs)(xxfR（1）请指出函数 的奇偶性，并给予证明；（2）当 时，求 的取值范围．2,0x)(xf【答案】解： （3 分）214sin)(f（1） ， 是非奇非偶函数． （3 分）8218ff)(xf11注：本题可分别证明非奇或非偶函数，如 ， 不是奇函数． 01)(f)(xf（2）由 ，得 ， ． （4 分）2,0x454x2sin所以 ．即 ． （2 分） 21sin 1,0)(xf1三角函数 021.．已知函数 .（1）求 函数图象的对称轴方程； （2）求 的单调增区间.（3）当 时,求函数 的最大值，最小值.2.． 如图，在平面直角坐标系 中，以 轴为始边作两个锐角 ，它们的终边分别与单位圆交于 两点．已知 的横坐标分别为．（1）求 的值；（2）求 的值．3.．设函数 22()sincos)cs(0)fxxx的最小正周期为 23.(Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)求 f在区间 -63， 上的值域;(Ⅲ)若函数 ()ygx的图像是由 ()yfx的图像向右平移 2个单位长度得到,求()的单调增区间 .24.．在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C的对边,A 为锐角,已知向量p=(1, 3cos 2A),q=(2sin 2A,1-cos2A),且p∥ q.(1)若 a2-c2=b2-mbc,求实数 m的值;(2)若 a= 3,求△ABC 面积的最大值,以及面积最大是边 b,c的大小.5.．设函数 .2()cos)cos,3xfxR(Ⅰ) 求 的值域;(Ⅱ) 记△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,若 , , ,()1fBb3c求 a的值.6.．已知向量 21,cos3),1(sinxbxa,函数 baxf)(· 2(1)求函数 f的最小正周期 T及单调减区间(2)已知 c,分别是△ABC 内角 A,B,C的对边,其中 A为锐角, 4,3c且1)(Af,求 A,b和△ABC 的面积 S7.．已知函数 .1sincos)232() xxf（Ⅰ）求 的定义域及最小正周期； (f（Ⅱ）求 在区间 上的最值.)x[,]4238.．在△ABC 中，A，C 为锐角，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，且3102=,5cosin。(1)求 (+)的值；(2)若 -21ac，求 a，b，c 的值；(3)已知 ()=tnAC，求 212+sincos的值。9.．已知函数 2()=3(-)+(-)R61fxsinxsinx(1)求函数 的最小正周期；(2)求使函数 ()fx取得最大值的 x集合；(3)若 0,2,且 5=3，求 4cos的值。10.．已知函数 f(x)=2cosxsin(x+π/3)- 3sin2x+snxcosx(1)求函数 f(x)的单调递减区间; (2)将函数 f(x)的图象沿水平方向平移 m个单位后的图象关于直线 x=π/2 对称,求 m的最小正值.11.．已知 A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),且 5|AB|=2,(1)求 cos(α-β)的值;4(2)设 α∈(0,π/2),β∈(-π/2,0),且 cos(5π/2-β)=-5/13,求 sinα 的值.12.．已知函数 f（x）=sin 47+cos 43x，x∈Ｒ（共 12分）（1）求 f（x）的最小正周期和最小值；（6 分）（2） 已知 cos（ - ）= 5，cos（ + ）= - 5,0b=1 1分 a= 1分 C= 431分c2=a +b -2abcosC=5∴c= 514. 【解】(I): 1cos23(1cos2)()inxxfxx 23sini()6∴最小正周期 2T, ∵ ,26kxkZ时 ()fx为单调递增函数 ∴ ()f的单调递增区间为 [],36k (II)解: ∵ 2sin()fxx,由题意得: 3x∴ 52[,]6, ∴ 1sin)[,]6,∴ [14]f ∴ (fx值域为 4 15.解:(1) ||2ABCA|a22coscosbbA13222|| 8ABCbc (2) 1sinSA = 21cosbA = 2() = 214bc 2()= 3 当且仅当 b=c=2 时 A= 3 16. (1) 21)6sin()xf , T (2) 3,21 17. [详细分析] f(x)＝ sin2x＋cos2 x＝2sin(2 x＋ )，3π6(1)由 2kπ＋ ≤2 x＋ ≤2 kπ＋ (k∈Z)π2 π6 3π2得 kπ＋ ≤ x≤ kπ＋ (k∈Z)，π6 2π3∴ f(x)的单调递减区间为[ kπ＋ ， kπ＋ ](k∈Z)π6 2π3(2)由 sin(2x＋ )＝0 得 2x＋ ＝ kπ( k∈Z)，π6 π614即 x＝ － (k∈Z)，kπ2 π12∴ f(x)图象上与原点最近的对称中心的坐标是(－ ，0)．π1218.解：（1） xxxxf 2cos21sin31cos2)6sin() ico21si3令 )(26Zkxk)(xf的单调递增区间为 ]6,3[（2）由 21Af，得 21)sin(A∵ 66，∴ 65，∴ 3A由 b,a,c成等差数列得 2a=b+c∵ 9ACB，∴ 9cosAb，∴ 18bc由余弦定理，得 bca3)(s222 ∴ 18342，∴ 31不等式1. ． ,xyz均为正实数,且 2logx, 2logy， 2logz，则 （ ）A． B． zC． zxD． yxz【答案】A因为 ,xyz均为正实数，所以 2log1x，即 2log1，所以 102。21log()y，因为 0()y，即 0y，所以 logy，即 1y。 2lzz，因为 ()2z，所以 2lz，即z，所以 xy，选 A.2.由 得 ，即 ，所以不等式的解集为 。|2|13x[1,3]已知 ，则 的最小值为 ▲ ． lgxy25xy【答案】2由 得 且 ，即 。所以l1xy0,lg10xy，所以 的最小值为 2.252253.不等式 10xx≥ 的解为 .【答案】 由行列式的定义可知不等式为 ，整理得 ，解得 ，2(1)0x2()0x21x或 （舍去） ，所以 。2x04.若实常数 ，则不等式 的解集为 ．,1a)(logxa【答案】 ()因为 ， 得 ，解得 ，即不等式的解集为logxa1x10a。1(,0)25.已知 ，关于 的不等式 的解集是 .0ax04)1(2xax【答案】 2(,)原不等式等价为 ，即 ，因为 ，所以不等式等(2)0xa2()0axa价为 ，所以 ，即原不等式的解集为 。()2(,2)6.已知不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是 ． 1x[,]x【答案】 或a3当 时， ，此时不等式 成立，所以只考虑 时，0101ax12x若 ，则不等式 等价为 ，此时 。若 ，则x1xaa0不等式 等价为 ，即 ，因为 ，所以ax2，所以 。所以实数 的取值范围是 或 。123 137.若对于任意的 不等式 恒成立，则实数 的取值范围为_______.0,x231aa【答案】 5a，所以要使 恒成立，则 ，2135132xx231xa51即实数 的取值范围为 。aa8.已知正实数 满足 ，则 的最小值等于_______.,xy2xy【答案】9由 得 ，由 得 。所以202x2215()xxy xx，当且仅当 ，即25()5()92x()x， 时取等号，所以 的最小值等于 9.()1x3x2y39.若 ，则下列结论不正确的是 （ ）10ab(A) (B) 2 2ab(C) (D) 1【答案】D由 可知， ，所以 ，选 D.10ab0ab10.已知 ,0yx且 ,1yx若 myx恒成立，则实数 m 的取值范围是_________．【答案】 4m，当且仅当 ，即1()224yxyxxyxyx时，取等号，所以 的最小值为 4，所以要使 恒成立，所以 。2 m411.不等式 的解集是 _________________.379x【答案】 [1,2]由 得 ，即 ，所以解得 ，所以不等式的379x3792x318x12x解集为 。[1,2]12.如图所示， 是一个矩形花坛，其中 AB= 6 米， AD = 4 米．现将矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园 ，要求： B 在 上， D 在 上，对角线ABCDMPNAN过 C 点， 且矩形 的面积小于 150 平方米． MN（1）设 长为 米，矩形 的面积为 平方米，试用解 +析+式将 表示成 的xSSx函数，并写出该函数的定义域；4N PMD CBAN PMD CBA（2）当 的长度是多少时，矩形 的面积最小?并求最小面积．ANAMP【答案】解：（1）由△ NDC∽△ NAM，可得 ，CM∴ ，即 ，……………………3 分46xAM64x故 ， ………………………5 分2SN由 且 ，可得 ，解得 ，261504xx2510x520x故所求函数的解+析+式为 ，定义域为 ． …………………………………864S(,2)分（2）令 ，则由 ，可得 ，4xt(5,20)x(1,6)t故 …………………………10 分226()168Stt， …………………………12 分1(8)9t当且仅当 ，即 时 ．又 ，故当 时， 取最小值 96．6t4t96S4(1,6)4tS故当 的长为 时，矩形 的面积最小，最小面积为 （平方米）…………14 分AN8AMPN9613.已知函数 ，其中常数 a 0．]2,0(,2)(xaxf(1) 当 a = 4 时，证明函数 f(x)在 上是减函数；,(2) 求函数 f(x)的最小值．【答案】(1) 当 时， ，…………………………………………1 分24)(xf任取 00，即 f(x1)f(x2)………………………………………5 分所以函数 f(x)在 上是减函数； ………………………………………………………6 分],0(2) ，……………………………………………………7 分2a当且仅当 时等号成立， …………………………………………………………8 分x当 ，即 时， 的最小值为 ，………………………10 分0a40a)(xf 2a当 ，即 时， 在 上单调递减，…………………………………11 分2f]2,0所以当 时， 取得最小值为 ，………………………………………………13 分x)(xfa综上所述： ………………………………………14 分 .42,minf1函数 011.已知函数 的图像与函数 的图像关于直线 对称，则 的值为 . ()ygx31xyyx(10)g【答案】 2因为 的图像与函数 的图像关于直线 对称，则 与()ygx31xyyx()ygx互为反函数。所以由 得 ，解得 ，所以 。31039x21022.已知函数 ，则关于 的方程 的实2cos,()1|xfx()3fxf根的个数是___ _．【答案】5由 得 或 。当 时， ，2()320fxf()1fx()2f1x2x此时 ，由 ，得 。当 时，若 ，得 ，即010x()f1，此时 。若 ，得 ，即 ，此时 。所以关2xx()fx2233x于 的方程 的实根的个数共有 5 个。2()3f3.某地区的绿化面积每年平均比上一年增长 10.4%，经过 x 年，绿化面积与原绿化面积之比为 y，则 y=f(x)的图像大致为 【答案】D由题意可知绿化面积为 ，则函数 ，所以函(10.4%)1.xx()1.04,xyf数的图象为 D，所以选 D.4.定义在 上的函数 是最小正周期为 的偶函数，当 时，Rfx20,x，且在 上单调递减，在 上单调递增，则函数01fx0,2,2在 上的零点的个数为_______.cosyfx10,【答案】20得 ， f(x)-sinx=0f(x)=sinx=g(x)，只要考虑 y=f(x)fcosfx与 y=g(x)的交点个数.由题设， f(x)的值域为(0,1)，故当 g(x)=sinx0时两者才有交点.令 sinx02k-x2≥0，∵ f(x)在[0,+)上单调递增，∴ f(-x1) f(-x2)≥ f(0)=0 f 2(-x1) f 2 (-x2) f 2(x1) f 2 (x2)，∴ f(x1) f(-x1)=- f 2(x1)–1．则正确命题的个数是 （ ）(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4【答案】C解：  ，0sin)(21xx xx)(1sin2令 ， ，fg)(在同一坐标系中画出两函数的图像如右，由图像知：(1)错，(3)、(4)对，而由于 递增，小于 1，xg)(12且以直线 为渐近线， 在－1 到 1 之间振荡，故在区间(0,+)上，yxfsin)(两者图像有无穷个交点，∴(2)对，故选 C.25.记函数 ()f的反函数为 .y如果函数 (yfx的图像过点 )2,1(,那么函数 1yx的图像过点 _答案】 )2,(因为函数 yf的图像过点，则反函数为 的图象过点 ，所以函数1()yfx(2,1)过点 。 1()fx(,)1函数 021.如果函数 的定义域为 ，对于定义域内的任意 ，存在实数 使得yfxRxa，则称此函数具有“ 性质”.fxa()Pa（1）判断函数 是否具有“ 性质” ，若具有 “ 性质” ，求出所有 的值；sinyx ()P若不具有“ 性质” ，请说明理由.()P（2）已知 具有“ 性质” ，且当 时， ，求yfx(0)0x2fxm在 上的最大值.,1（3）设函数 具有“ 性质”.且当 时， ，若ygx()P12xgx与 交点个数为 2013 个，求实数 的值.mm【答案】解：（1）由 得 ，根据诱导公式得)sin()si(xaxxasin)i(． 具有“ 性质” ，其中 ．ka2)(ZyPk2)(Z………………4 分（2） 具有“ 性质” ， ．)(xfy)0(P)(xf设 ，则 ，0x 22)mxf……………………6 分0)()2xmf当 时， 在 递增， 时0(fy]1,[1x2max)(y当 时， 在 上递减，在 上递增，且21)x],[， 时2())(ff2max)(y当 时， 在 上递减，在 上递增，且mxy],0[]1,[， 时22)1())0(ff 2maxy综上所述：当 时， ；当 时，max)()1fy2max)0(fy………………………………11 分2（3） 具有“ 性质” ， ， ，)(xgy)1(P)(1(xg)(1(xg，从而得到 是以 2 为周期的函数．)2( xgy又设 ，则 ，1x2x．)1(1)()1()()  xgxg再设 （ ） ，2nxz当 （ ） ， 则 ，knz2kxk2kx；nxg2)()当 （ ） ， 则 ，12kz11kxk 3kx；xx)()对于， （ ） ，都有 ，而2nznxg)(， ，121xn )()1( xgx是周期为 1 的函数．)(gy①当 时，要使得 与 有 2013 个交点，只要 与 在0mmxy)(gmxy)(有 2012 个交点，而在 有一个交点． 过 ，)16,[ ]107,6[ 21,03从而得 203②当 时，同理可得m2013m③当 时，不合题意．综上所述 …………………………18 分20132.某种型号汽车的四个轮胎半径相同，均为 40Rcm，该车的底盘与轮胎中心在同一水平面上. 该车的涉水安全要求是：水面不能超过它的底盘高度. 如图所示：某处有一“坑形”地面，其中坑 ABC形成顶角为 012的等腰三角形，且 60ABCcm，如果地面上有 ()hcm( 40)高的积水(此时坑内全是水，其它因素忽略不计 ).(1)当轮胎与 、 同时接触时，求证：此轮胎露在水面外的高度(从轮胎最上部3到水面的距离)为 8031dh；(2) 假定该汽车能顺利通过这个坑(指汽车在过此坑时，符合涉水安全要求)，求 h的最大值.(精确到 1cm).【答案】解：(1) 当轮胎与 AB、BC 同时接触时，设轮胎与 AB 边的切点为 T，轮胎中心为O，则|OT|=40，由∠ABC=120 0，知∠OBT=60 0， …………………2 分故|OB|= 243. .………… ………………………4 分所以，从 B 点到轮胎最上部的距离为 2403+40 ………6 分此轮胎露在水面外的高度为 d= +40-( 06cos+h)= 813h，得证. …8分(2)只要 d40， …………… …………………………12 分即 8013h40，解得 h16cm.，所以 h 的最大值为 16cm. … 14 分3.（本题满分 16 分） )(xf和 g都是定义在集合 M上的函数,对于任意的 xM，都有 ()(fgxf成立，称函数 )(xf与 在 上互为“ H函数”.（1）若函数 ba， nm)(， f与 )(xg互为“ 函数”,证明： )(nf.（2）若集合 ]2,[M，函数 2)(xf， xcos)(，判断函数 )(xf与 g在上是否互为 “H 函数” ，并说明理由.（3）函数 xaf)(( 0且 1)， 1)(g在集合 M上互为“ H函数”,求 a的取值范围及集合 .【答案】 （1）证明：函数 )(xf与 互为“ H函数“,则对于 Rx,4)()(xfgf 恒成立.即 nbaxmnxa)()( 在 R上恒成立………………2 分化简得 )()(bman………………2 分所以当 b时， (xfgf，即 )(bgnf…1 分（2）假设函数 )(xf与 g互为“ H函数” ，则对于任意的 M)(gxf恒成立.即 x2cos，对于任意 ]2,[x恒成立…2 分.当 0时， 10cos. 不妨取 1，则 2，所以 1s2………………2 分所以假设不成立，在集合 M上，函数 )(xf与 g不是互为“ H函数”………1分.（3）由题意得， 11xa（ 0且 1a）………2 分变形得， )(，由于 且1ax，因为 x，所以 01a，即 1a………2 分此时 )(log，集合 }),(log|{M………2 分4.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度 （单位：千克/年）是养殖密度v（单位：尾/立方米）的函数．当 不超过 4（尾/立方米）时， 的值为 （千克/年） ；xx当 时， 是 的一次函数；当 达到 （尾/ 立方米）时，因缺氧等原因，420vx20的值为 （千克/年） ．v（1）当 时，求函数 的表达式；()v（2）当养殖密度 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米） 可以x ()()fxv达到最大，并求出最大值．【答案】 （1）由题意：当 时， ； …………………………2 分042vx当 时，设 ，显然 在 是减函数，42xbaxvba[4,0]5由已知得 ，解得 …………………………4 分204ab1852ab故函数= …………………………6 分xv*2,04,15,28xN（2）依题意并由（1）可得 ……8 分xf*2,04,15,2.8xN当 时， 为增函数，故 ； ……………10 分04xfmax()ff8当 时， ，2222151100()88fxx． ……………………………12 分max(10).f所以，当 时， 的最大值为 ． xf1.5当养殖密度为 10 尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为 千克/立方12.5米．……………………………14 分5.世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形 的空地上修建一个占地面积为 的矩形 健身场地，如图点 M 在 上，ABCSAMPNAC点 N 在 上，且 P 点在斜边 上，已知 且 米， ，BC60B3|C=x.]20,1[x（1）试用 表示 ，并求 的取值范围；xS（2）设矩形 健身场地每平方米的造价为 ，再把矩形 以外（阴影AMPNSk37AMPN部分）铺上草坪，每平方米的造价为 （ 为正常数） ，求总造价 关于 的函数Sk12TS；试问如何选取 的长使总造价 最低（不要求求出最低造价）. )(SfT||AT6CMABN P【答案】 （1）在 中，显然 ， ，PRtxMC30| 60P，………………2 分)(tan||| 矩形 的面积 ， …4 分AN||| xS [1,2]于是 为所求.…………………6 分3250（2） 矩形 健身场地造价 ………………………………………7 分MP1TSk7又 的面积为 ，即草坪造价 ，……………8ABC34502)3450(1Sk分由总造价 ， ， .…1021T)6(Sk325分，……………………………………………………11 分36S当且仅当 即 时等号成立，……………………………122121分此时 ，解得 或 ，36)30(xx18所以选取 的长为 12 米或 18 米时总造价 最低.………………………14 分||AMT6.某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部 ABCD 是正方形，其中 AB=2 米；上部 CDG 是等边三角形，固定点 E 为 AB 的中点．△ EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风） ， MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和 AB 平行的伸缩横杆． （1）设 MN 与 AB 之间的距离为 x米，试将△ EMN 的面积 S（平方米）表示成关于 x 的7函数； （2）求△ EMN 的面积 S（平方米）的最大值．GEA BNDMC（文 21 题）【答案】解：（1）①如图 1 所示，当 MN 在正方形区域滑动，即 0＜ x≤2 时， △ EMN 的面积 S= = ； ∙∙∙∙∙∙∙∙ 2 分x2②如图 2 所示，当 MN 在三角形区域滑动，即 2＜ x＜ 时，3如图，连接 EG，交 CD 于点 F，交 MN 于点 H，∵ E 为 AB 中点，∴ F 为 CD 中点， GF⊥ CD，且 FG＝ .3又∵ MN∥ CD，∴ △ MNG∽△ DCG．∴ ，即 ． ∙∙∙∙ 5 分GFHDCMN3)2(x故△ EMN 的面积 S＝ )(21＝ ； ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 7 分xx)3(2综合可得： ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 8 分32,)321(0, xxS说明：讨论的分段点 x=2 写在下半段也可．（2）①当 MN 在正方形区域滑动时， ，所以有 ； ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 10 分S20S②当 MN 在三角形区域滑动时， S= .xx)31(2EA BGNDMC图 2HF8因而，当 （米） ， S 在 上递减，无最大值， ．231x)32,(20S所以当 时， S 有最大值，最大值为 2 平方米. 14 分ENGDMA BC图 17.已知 ，当点 在 的图像上运动时，点xf21log)(),(yxM)(xf在函数 的图像上运动（ ） ．,2(nyxN)n *Nn（1）求 的表达式；)(xg（2）若方程 有实根，求实数 的取值范围；)21aa（3）设 ，函数 （ ）的值域为)(xgnnH)((11xgHFbx0，求实数 ， 的值．]2lo,[lg452abab【答案】解：（1）由 得 ，所以)2(,xgnyf xnfxn 21log)((， （ ） ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 4 分)2(log)(1xnx（2） ，即 （ ） ∙∙∙∙∙∙∙ 6 分)(l212aax0，令 ，所以 ，当 时，xa0xt 492t7x．即实数 的取值范围是 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 10 分49a]49,(（3）因为 ，所以 ．nxnnH)2(12)()(log1)2(log1)(1xxF在 上是减函数． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 12 分)(xF,9所以 即 ，所以 2log)(542bFa2log)(log1ll5214221baa3,2ba16 分8.我们把定义在 上，且满足 （其中常数 满足 ）R)((xafTxf Ta, 0,1Ta的函数叫做似周期函数．（1）若某个似周期函数 满足 且图像关于直线 对称．求证：函数)(fy1x是偶函数；)(xf（2）当 时，某个似周期函数在 时的解+析+式为 ，求2,aT0x)1()xf函数 ， 的解+析+式；)(xfyZn,1（3）对于确定的 时， ，试研究似周期函数函数 在Tx0且 xf3)()(xfy区间 上是否可能是单调函数？若可能，求出 的取值范围；若不可能，请说明理),0(a由．【答案】因为 关于原点对称，……………………………………………………1 分Rx又函数 的图像关于直线 对称，所以)(fy1x① ………………………………………………………2 分1(xf又 ， T,)((aff用 代替 得 ③ ……………………………………………3 分xxx由①②③可知 ，,)()ff 01a且．即函数 是偶函数；…………………………………………4 分()xfx（2）当 时，)1Znn)(Zn；……10 分)1(22(2)() xnxxfxfxff （3）当 时，)NTT )0NT10…………………12 分nTxnaxfaTxfaTxff 3)()2()() 显然 时，函数 在区间 上不是单调函数 …………………13 分0ay),0又 时， 是增函数，  NnnxxfTn ],1(,3)(此时 ……………………………………14 分f)(],若函数 在区间 上是单调函数，那么它必须是增函数，则必有)(xy,0， ………………………………………………………16 分Tna31解得 ． ………………………………………………………18 分8.设定义域为 的奇函数 在区间 上是减函数．R)(xfy)0,(（1）求证：函数 在区间 上是单调减函数； f,（2）试构造一个满足上述题意且在 内不是单调递减的函数． （不必证明）)(【答案】解（1）任取 ， ，则由 （2 分）),0(,21x21x210x由 在区间 上是单调递减函数，有 ， （3 分）)(fy )()(ff又由 是奇函数，有 ，即 ． （3 分）x)()(21xff21x所以，函数 在区间 上是单调递减函数． （1 分）)(fy,0（2）如 或 等 （6 分）.0,2)(xxf .0,,)(xf9.科学研究表明：一般情况下，在一节 40 分钟的课中，学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化。开始上课时，学生的注意力逐步增强，随后学生的注意力开始分散。经过实验分析，得出学生的注意力指数 随时间 （分钟）的变化规律为：yx268,08()1(34),xyf（1）如果学生的注意力指数不低于 80，称为“理想听课状态” ，则在一节 40 分钟的课中11学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长？（精确到 1 分钟）（2）现有一道数学压轴题，教师必须持续讲解 24 分钟，为了使效果更好，要求学生的注意力指数在这 24 分钟内的最低值达到最大，那么，教师上课后从第几分钟开始讲解这道题？（精确到 1 分钟）【答案】 （1）由于学生的注意力指数不低于 80，即 80y当 时，由 得 ； …………2 分08x2680xx当 时，由 得 ；…………2 分41(34)164x所以 ，,x6120故学生处于“理想听课状态”所持续的时间有 分钟. ……………3 分（2）设教师上课后从第 分钟开始讲解这道题，由于t 46所以 …………………………………………………………2 分0,6t要学生的注意力指数最低值达到最大，只需 ()2)ft即 ……………………………2 分2128[(4)3()480]ttt解得 ………………………………………2 分6所以，教师上课后从第 分钟开始讲解这道题，能使学生的注意力指数最低值达到最大. ………………………………………………………………………1 分 10.已知函数 .1()log(0)axfx（1）求函数 的定义域 ，并判断 的奇偶性；Df（2）用定义证明函数 在 上是增函数；()fx（3）如果当 时，函数 的值域是 ，求 与 的值.,ta()f,1at【答案】 （1）令 ，解得 , ……………2 分0x1xD对任意 ,xD1()logllog()aaaxf fx所以函数 是奇函数. ……………2 分()f12另证：对任意 ,xD1()logllog10aaaxxffx所以函数 是奇函数. …………………………2 分()f（2）设 ， 1212,(,)xx且121212112 ()()logllog()logaaaaxxffxx…………2 分∴ 12112121()[()]()0xxx∴ 121121()[()]∴ ∵ ∴ ………2 分121()x0a121()log0ax∴ ，∴12()fxf12()fxf所以函数 在 上是增函数 . ………………………………………………2 分()fD（3）由（2）知，函数 在 上是增函数，()fx1,又因为 时， 的值域是 ，(,)xta()f,所以 且 在 的值域是 ， ……………2 分(,)1,t1()xg(,)ta(,)故 且 （结合 图像易得 ） …………………2 分()agt()1t解得 （ 舍去）212113所以 ， ………………………………………2 分21at11.已知二次函数 21fxaxa。（1）函数 在 ,上单调递增，求实数 的取值范围；（2）关于 x的不等式 2fx在 1,上恒成立，求实数 a的取值范围；（3）函数 1agf在 ,3上是增函数，求实数 的取值范围。【答案】解：（1）当 0时， xf)(，不合题意；……………1 分当 0a时， fx在 ,1上不可能单调递增；……………2 分当 时，图像对称轴为 a2，由条件得 12a，得 . ……………4 分（2）设 1)()(xxfh， ……………5 分当 ],[x时， ]25,[， ……………7 分因为不等式 f在 1,x上恒成立，所以 )(xh在 ]2,1[时的最小值大于或等于2，所以， 250a20a或， ……………9 分解得 1。 ……………10 分（3） xg)(2在 ,3上是增函数，设 321x，则 )(21xg，aax212， 212121)(x，……………12 分因为 32，所以 )(212， ……………14 分而 )6,541()(212x， ……………16 分所以 .6a ……………18 分1412.已知 ，函数 ．Ra||)(axf（1）当 时，写出函数 的单调递增区间（不必证明） ；2)(f（2）当 时，求函数 在区间 上的最小值；xy]2,1[（3）设 ，函数 在区间 上既有最小值又有最大值，请分别求出 、0a)(f),(nmm的取值范围（用 表示） ．n【答案】 （1）当 时， ，…………（2 分）2 ,1)(|2|)(2xxxf所以，函数 的单调递增区间是 和 ．…………（4 分）)(xf ]1,,[（2）因为 ， 时，2a],1[．…………（1 分）42)()22axaxxf 当 ，即 时， ．…………（3 分）321a3)()(minff当 ，即 时， ．…………（5 分）1iax所以， ．…………（6 分）3,124)(minaxf（3） ．…………（1 分）O x24y aaxxf,)()①当 时，函数的图像如图所示，0a由 解得 ，……（1 分）)(42xya215所以 ， ．……（4 分）O x24ay 20aman21②当 时，函数的图像如图所示，0a由 解得 ，……（5 分）)(42xya21所以， ， ．……（8 分） ma210n