1、1三角函数 011.已知 ABC 两内角 A、 B 的对边边长分别为 a、 b， 则“ ”是“BA”的（ ）cosabA.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件【答案】A由 得 ，即 ，所以 或sincosicsBin2siA2，即 或 ，所以 “ ”是“ ”的充分2AB2AcosabB非必要条件，选 A.2.函数 xycos2sin的最小正周期 T . 【答案】 ,所以 ，即函数的最小周期为sisin(2)4x2。2T3.己知 ， ，且 ，则 (1,si)acos1b（batn【答案】 2因为 ，所以 ，即 ，所以 。bcs2in0cs2i1ta24.在ABC
2、 中，角 A，B，C 所对的边分别是 ，若 ，且 ，则,ab2cb8cABC 的面积等于 【答案】 23由 得 ，所以 ，所以 ，bcab22cab221cosbcaA3A所以 。13sin8ABCS5.某同学对函数 进行研究后，得出以下结论：xfsin)(函数 的图像是轴对称图形；xy对任意实数 ， 均成立；f)(2函数 的图像与直线 有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；)(xfyxy当常数 满足 时，函数 的图像与直线 有且仅有一个公共点.k1()fkxy其中所有正确结论的序号是 【答案】 ，所以函数 是偶函数，所以关于()sin()si()fxxfxxfsin)(轴对称，所以正确
3、。 ，所以正确。由y sini，得 或 ，所以 ,所以任意相邻两点的()sifxxsi10x2,xkZ距离不一定相等，所以错误。由 ，即 ，因为()sif (sin)0xk，所以 ，所以必有 ，所以函数 的图像与直线 有1ksin0kyfkxy且仅有一个公共点，所以正确。所以所有正确结论的序号是。6.若 4co5，则 2co_.【答案】 72因为 ，所以 。cs2247css1()57.函数 ()in()0,|fxAx的部分图像如右图所示，则 ()fx _.【答案】 ()2sin4fxx由图象可知 ,即周期 ,由 得， ，所以6TA， 8T284，有 得， ，即 ，()si()fxx()2f(
4、)sin()4fsin()12所以 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以2kZ， kZ， 20。()sin4fxx8.在 ABC中， “ ”是“ 09C”的 （ cosincosinAB）(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件3(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件【答案】B由 得 ，即cosincosinAB2si()2sin()44AB，所以 或 ，即 ，或i()()4BAB，即 ，所以 “ ”是“ 09C”的必要2BCcosincosi不充分条件，选 B.9.设 的内角 的对边长分别为 ，且 ，AB、 ba、 cAbBa53osc则 的值是_cottan【答案】4由 得b53s
5、3sincosisini()5ABC，即 ，所以 ，即3sincoi5AB28coAsco4inAB。4tta10.一人在海面某处测得某山顶 的仰角为 ，在海面上向山顶的方向行进C)450(米后，测得山顶 的仰角为 ，则该山的高度为 米 （结果化简）m9【答案】 2tan1由题意知 ，且 ，则,0,90CABDCAADm。由正弦定理得 ，即 ，902 sin(2)sin()cos2AC即 ，所以山高 。cosm co1tanm11.机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走” 如图所示， “海宝”从圆心 出发，O先沿北偏西 方向行走 13 米至点 处，再沿正南方向行走 14 米至点 处，最后1
6、32arcsinAB4沿正东方向行走至点 处，点 、 都在圆 上则在以圆心 为坐标原点，正东方向CBOO为 轴正方向，正北方向为 轴正方向的直角坐标系中圆 的方程为 .xy【答案】 252yx连结 ,由题意知 ， ,OB12sin3AarcAO.所以 ， ，由余弦定理可得14AB12sin3A5cos1，即 ，所2 253412O15B以圆的半径为 ，所以所求圆的方程为 。5yx12.已知定义在 上的函数 与 的图像的交点为 ，过 作(0 )2， 2(sin)y83P轴于 ，直线 与 的图像交于点 ，则线段 的长为 . 1Px11Ptax2P12【答案】 4由 ，得 ，所以 ，即 ，因为82(
7、sin1)3yx1sin3x1sin3xarc18(sin,)3Parc轴于 ，所以 ，所以 的纵坐标为 ，即1P1(,0)Parc2ty5,所以 .21(arcsin,t(arcsi)3P121tan(rcsi)3P2413.已知 ，则 _.iosi【答案】 21因为 ，所以22cssincosinin(i)。o311si2sis214.在 中， ，则 的面积为_.ABC2,6ACBAC【答案】 或3由余弦定理得 ,即 ，所以22cos 2416BC，解得 或 .所以 的面积为2680BCBCA所以 或 。13sin2SA 32SB32S15.函数 的最小正周期为 iyx【答案】 因为 ，所
8、以函数的最小正周期为 。22T16.已知集合 ， ，则 |03Ax2|4BxAB【答案】 (2,3)因为 ，所以 。|42Bxx或 23(,)x17.已知 ， ，则 的值为 1tan=1ta()3tan()【答案】 因为 所以ta()tatan(2)tan()1nbbb-=+tn(2)ba-=6。132()-=-+18.函数 的最小正周期是_1)cos(in2xxf【答案】 ,所以周期 。2()si)sinco2sinf xx2T19.在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且满足 ，ABCCabc5osA，则 的面积为_3【答案】2因为 ，所以 ，所以 ，因为2cos1A253cos(
9、)14sin5A，所以 ，所以 的面积s3ABC cosABCBC。14in522S20.函数 的最小正周期是_)3s(xy【答案】因为 ，所以周期 .22T21.已知 ABC的面积为 3,23ABC，则 A的周长等于 ._【答案】 3，即 。又由余弦定理可知13cos6022ABCS 2A，即 ，所以 ，2csABC 2BC25ABC即 ，解得 ，即 。所以()52()5493ABC的周长等于 。3722.已知 且 ，则 .(0,)tan()34【答案】 512由 得 ，所以 。因为tan()34,43kZ7,12kZ，所以 ，所以当 时， 。0,5 523.在 中，角 A、 B、 C 所对
10、边的长分别为 a、 b、 c，若 ，则 的最小C 22abcosC值等于 .【答案】 12因为 ，所以 ，即 当且仅当 时去等号。所以abc22abcab2c，所以 的最小值等于 .21cosCosC124.设函数 ，则下列结论错误的是 （ ）()sin,fxxRA 的值域为 B 是偶函数f0,1 ()fxC 不是周期函数 D 不是单调函数()fx f【答案】C因为 ，所以函数的周期是 ，即 是周期函数，()sin()si()f xf()fx所以 C 错误。选 C.25.将函数 的图像按向量 （ ）平移，所得图像对应的函3si()1coxfx=n(a,0)数为偶函数，则 的最小值为 . a【答
11、案】 65由题意知 ，按 平移，得到函数()3cosin2cos()6fxxn(a,0)，即 ，此时函数为偶函数，所以2)6faay,所以 ，所以当 时， 的最小值为 。,6kZ,kZ1ka6526. 已知函数 0， 0， 的图像与 轴的交点为（0，1） ，它()sin()fxAx|)2y在 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为 和y 0(,)x0(2,).8（1）求 的解+析+式及 的值；()fx0x（2）若锐角 满足 ，求1cos3(4)f的值.【答案】解：（1）由题意可得 即 ，3 分22,=4TA12由 ,()2sin(),(0sin1,fxxf|.65 分16所以00()2
12、sin()2,fxx0022+,4(),63xkxkZ又 是最小的正数， 7 分;3（2） 12(0,)cos,in,210 分742cos,isico,9914 分76(4)in()3sin236 9f27.在 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c，且 A, B, C 成等差数列（1）若 ，且 ，求 的值；b（2）若 ，求 的取值范围3sin1coMA【答案】解：（1） A、 B、 C 成等差数列，2,BAC又 ， ， 2 分 ABC3由 得， ， 4 分2cosa6ac又由余弦定理得 22,3b ， 6 分218ac24ac由、得， 8 分69（2） 3sin3co
13、sin1AMA11 分si()由（1）得 ， ， 3B23AC由 且 ，可得 故 ，20C0,3A所以 ，sin()(3,)A即 的取值范围为 14 分M(,)28.（文）已知 分别为 三个内角 、 、 所对的边长，且cbaABCBCABa53cos（1）求： 的值；tan（2）若 ， ，求 、 06cab【答案】解：（1）由正弦定理 得CcBAsinisin，2 分CBA53cosincsi 又 ，所以 ， 5 分Csicosi)( ABAcosin58cosi52可得 7 分4cosintaA（2）若 ，则 ， ， ，得 ，可得0623i21cosA3tan43tan， 10 分194co
14、sB19sB，38195sincosin)i(in BAC由正弦定理 得CBbaiisi， 14 分19nc 2sinc1029.已知 ， ，满足 )1,sin32co(xm),(cosyx0nm（1）将 表示为 的函数 ，并求 的最小正周期；yx(ff（2）已知 分别为 的三个内角 对应的边长，若 对所有cba,ABCCBA, )2(Afxf恒成立，且 ，求 的取值范围Rx2cb【答案】 （I）由 得 2 分0nm0cosin32osyxx即 4 分xyci3cos2 1)62in(1x所以 ，其最小正周期为 6 分1)6i()(f （II）因为 对所有 恒成立2AfxRx所以 ，且 8 分
15、3)2(f Zk,因为 为三角形内角，所以 ，所以 9 分A03A由正弦定理得 ， ，Bbsin34Ccsin34CBcbsin34si12)2i(sin34)6i(分， ，),0(B1,2()6si(B4,2(cb所以 的取值范围为 14 分cb4,30.已知函数 ， )cos(incs)(xxfR（1）请指出函数 的奇偶性，并给予证明；（2）当 时，求 的取值范围2,0x)(xf【答案】解： （3 分）214sin)(f（1） ， 是非奇非偶函数 （3 分）8218ff)(xf11注：本题可分别证明非奇或非偶函数，如 ， 不是奇函数 01)(f)(xf（2）由 ，得 ， （4 分）2,0x
16、454x2sin所以 即 （2 分） 21sin 1,0)(xf1三角函数 021.已知函数 .（1）求 函数图象的对称轴方程； （2）求 的单调增区间.（3）当 时,求函数 的最大值，最小值.2. 如图，在平面直角坐标系 中，以 轴为始边作两个锐角 ，它们的终边分别与单位圆交于 两点已知 的横坐标分别为（1）求 的值；（2）求 的值3.设函数 22()sincos)cs(0)fxxx的最小正周期为 23.()求 的值; ()求 f在区间 -63， 上的值域;()若函数 ()ygx的图像是由 ()yfx的图像向右平移 2个单位长度得到,求()的单调增区间 .24.在ABC 中,a,b,c 分别
17、为角 A,B,C的对边,A 为锐角,已知向量p=(1, 3cos 2A),q=(2sin 2A,1-cos2A),且p q.(1)若 a2-c2=b2-mbc,求实数 m的值;(2)若 a= 3,求ABC 面积的最大值,以及面积最大是边 b,c的大小.5.设函数 .2()cos)cos,3xfxR() 求 的值域;() 记ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,若 , , ,()1fBb3c求 a的值.6.已知向量 21,cos3),1(sinxbxa,函数 baxf)( 2(1)求函数 f的最小正周期 T及单调减区间(2)已知 c,分别是ABC 内角 A,B,C的对边,其中
18、A为锐角, 4,3c且1)(Af,求 A,b和ABC 的面积 S7.已知函数 .1sincos)232() xxf（）求 的定义域及最小正周期； (f（）求 在区间 上的最值.)x,4238.在ABC 中，A，C 为锐角，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，且3102=,5cosin。(1)求 (+)的值；(2)若 -21ac，求 a，b，c 的值；(3)已知 ()=tnAC，求 212+sincos的值。9.已知函数 2()=3(-)+(-)R61fxsinxsinx(1)求函数 的最小正周期；(2)求使函数 ()fx取得最大值的 x集合；(3)若 0,2,且 5=3，求 4cos
19、的值。10.已知函数 f(x)=2cosxsin(x+/3)- 3sin2x+snxcosx(1)求函数 f(x)的单调递减区间; (2)将函数 f(x)的图象沿水平方向平移 m个单位后的图象关于直线 x=/2 对称,求 m的最小正值.11.已知 A(cos,sin),B(cos,sin),且 5|AB|=2,(1)求 cos(-)的值;4(2)设 (0,/2),(-/2,0),且 cos(5/2-)=-5/13,求 sin 的值.12.已知函数 f（x）=sin 47+cos 43x，x（共 12分）（1）求 f（x）的最小正周期和最小值；（6 分）（2） 已知 cos（ - ）= 5，co
20、s（ + ）= - 5,0b=1 1分 a= 1分 C= 431分c2=a +b -2abcosC=5c= 514. 【解】(I): 1cos23(1cos2)()inxxfxx 23sini()6最小正周期 2T, ,26kxkZ时 ()fx为单调递增函数 ()f的单调递增区间为 ,36k (II)解: 2sin()fxx,由题意得: 3x 52,6, 1sin),6, 14f (fx值域为 4 15.解:(1) |2ABCA|a22coscosbbA13222| 8ABCbc (2) 1sinSA = 21cosbA = 2() = 214bc 2()= 3 当且仅当 b=c=2 时 A=
21、 3 16. (1) 21)6sin()xf , T (2) 3,21 17. 详细分析 f(x) sin2xcos2 x2sin(2 x )，36(1)由 2k 2 x 2 k (kZ)2 6 32得 k x k (kZ)，6 23 f(x)的单调递减区间为 k ， k (kZ)6 23(2)由 sin(2x )0 得 2x k( kZ)，6 614即 x (kZ)，k2 12 f(x)图象上与原点最近的对称中心的坐标是( ，0)1218.解：（1） xxxxf 2cos21sin31cos2)6sin() ico21si3令 )(26Zkxk)(xf的单调递增区间为 6,3（2）由 21A
22、f，得 21)sin(A 66， 65， 3A由 b,a,c成等差数列得 2a=b+c 9ACB， 9cosAb， 18bc由余弦定理，得 bca3)(s222 18342， 31不等式1. ,xyz均为正实数,且 2logx, 2logy， 2logz，则 （ ）A B zC zxD yxz【答案】A因为 ,xyz均为正实数，所以 2log1x，即 2log1，所以 102。21log()y，因为 0()y，即 0y，所以 logy，即 1y。 2lzz，因为 ()2z，所以 2lz，即z，所以 xy，选 A.2.由 得 ，即 ，所以不等式的解集为 。|2|13x1,3已知 ，则 的最小值为
23、 lgxy25xy【答案】2由 得 且 ，即 。所以l1xy0,lg10xy，所以 的最小值为 2.252253.不等式 10xx 的解为 .【答案】 由行列式的定义可知不等式为 ，整理得 ，解得 ，2(1)0x2()0x21x或 （舍去） ，所以 。2x04.若实常数 ，则不等式 的解集为 ,1a)(logxa【答案】 ()因为 ， 得 ，解得 ，即不等式的解集为logxa1x10a。1(,0)25.已知 ，关于 的不等式 的解集是 .0ax04)1(2xax【答案】 2(,)原不等式等价为 ，即 ，因为 ，所以不等式等(2)0xa2()0axa价为 ，所以 ，即原不等式的解集为 。()2(
24、,2)6.已知不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是 1x,x【答案】 或a3当 时， ，此时不等式 成立，所以只考虑 时，0101ax12x若 ，则不等式 等价为 ，此时 。若 ，则x1xaa0不等式 等价为 ，即 ，因为 ，所以ax2，所以 。所以实数 的取值范围是 或 。123 137.若对于任意的 不等式 恒成立，则实数 的取值范围为_.0,x231aa【答案】 5a，所以要使 恒成立，则 ，2135132xx231xa51即实数 的取值范围为 。aa8.已知正实数 满足 ，则 的最小值等于_.,xy2xy【答案】9由 得 ，由 得 。所以202x2215()xxy xx，当且仅
25、当 ，即25()5()92x()x， 时取等号，所以 的最小值等于 9.()1x3x2y39.若 ，则下列结论不正确的是 （ ）10ab(A) (B) 2 2ab(C) (D) 1【答案】D由 可知， ，所以 ，选 D.10ab0ab10.已知 ,0yx且 ,1yx若 myx恒成立，则实数 m 的取值范围是_【答案】 4m，当且仅当 ，即1()224yxyxxyxyx时，取等号，所以 的最小值为 4，所以要使 恒成立，所以 。2 m411.不等式 的解集是 _.379x【答案】 1,2由 得 ，即 ，所以解得 ，所以不等式的379x3792x318x12x解集为 。1,212.如图所示， 是一
26、个矩形花坛，其中 AB= 6 米， AD = 4 米现将矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园 ，要求： B 在 上， D 在 上，对角线ABCDMPNAN过 C 点， 且矩形 的面积小于 150 平方米 MN（1）设 长为 米，矩形 的面积为 平方米，试用解 +析+式将 表示成 的xSSx函数，并写出该函数的定义域；4N PMD CBAN PMD CBA（2）当 的长度是多少时，矩形 的面积最小?并求最小面积ANAMP【答案】解：（1）由 NDC NAM，可得 ，CM ，即 ，3 分46xAM64x故 ， 5 分2SN由 且 ，可得 ，解得 ，261504xx2510x520x故所求函数的
27、解+析+式为 ，定义域为 864S(,2)分（2）令 ，则由 ，可得 ，4xt(5,20)x(1,6)t故 10 分226()168Stt， 12 分1(8)9t当且仅当 ，即 时 又 ，故当 时， 取最小值 966t4t96S4(1,6)4tS故当 的长为 时，矩形 的面积最小，最小面积为 （平方米）14 分AN8AMPN9613.已知函数 ，其中常数 a 02,0(,2)(xaxf(1) 当 a = 4 时，证明函数 f(x)在 上是减函数；,(2) 求函数 f(x)的最小值【答案】(1) 当 时， ，1 分24)(xf任取 00，即 f(x1)f(x2)5 分所以函数 f(x)在 上是减
28、函数； 6 分,0(2) ，7 分2a当且仅当 时等号成立， 8 分x当 ，即 时， 的最小值为 ，10 分0a40a)(xf 2a当 ，即 时， 在 上单调递减，11 分2f2,0所以当 时， 取得最小值为 ，13 分x)(xfa综上所述： 14 分 .42,minf1函数 011.已知函数 的图像与函数 的图像关于直线 对称，则 的值为 . ()ygx31xyyx(10)g【答案】 2因为 的图像与函数 的图像关于直线 对称，则 与()ygx31xyyx()ygx互为反函数。所以由 得 ，解得 ，所以 。31039x21022.已知函数 ，则关于 的方程 的实2cos,()1|xfx()3
29、fxf根的个数是_ _【答案】5由 得 或 。当 时， ，2()320fxf()1fx()2f1x2x此时 ，由 ，得 。当 时，若 ，得 ，即010x()f1，此时 。若 ，得 ，即 ，此时 。所以关2xx()fx2233x于 的方程 的实根的个数共有 5 个。2()3f3.某地区的绿化面积每年平均比上一年增长 10.4%，经过 x 年，绿化面积与原绿化面积之比为 y，则 y=f(x)的图像大致为 【答案】D由题意可知绿化面积为 ，则函数 ，所以函(10.4%)1.xx()1.04,xyf数的图象为 D，所以选 D.4.定义在 上的函数 是最小正周期为 的偶函数，当 时，Rfx20,x，且在
30、 上单调递减，在 上单调递增，则函数01fx0,2,2在 上的零点的个数为_.cosyfx10,【答案】20得 ， f(x)-sinx=0f(x)=sinx=g(x)，只要考虑 y=f(x)fcosfx与 y=g(x)的交点个数.由题设， f(x)的值域为(0,1)，故当 g(x)=sinx0时两者才有交点.令 sinx02k-x20， f(x)在0,+)上单调递增， f(-x1) f(-x2) f(0)=0 f 2(-x1) f 2 (-x2) f 2(x1) f 2 (x2)， f(x1) f(-x1)=- f 2(x1)1则正确命题的个数是 （ ）(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D
31、) 4【答案】C解： ，0sin)(21xx xx)(1sin2令 ， ，fg)(在同一坐标系中画出两函数的图像如右，由图像知：(1)错，(3)、(4)对，而由于 递增，小于 1，xg)(12且以直线 为渐近线， 在1 到 1 之间振荡，故在区间(0,+)上，yxfsin)(两者图像有无穷个交点，(2)对，故选 C.25.记函数 ()f的反函数为 .y如果函数 (yfx的图像过点 )2,1(,那么函数 1yx的图像过点 _答案】 )2,(因为函数 yf的图像过点，则反函数为 的图象过点 ，所以函数1()yfx(2,1)过点 。 1()fx(,)1函数 021.如果函数 的定义域为 ，对于定义域
32、内的任意 ，存在实数 使得yfxRxa，则称此函数具有“ 性质”.fxa()Pa（1）判断函数 是否具有“ 性质” ，若具有 “ 性质” ，求出所有 的值；sinyx ()P若不具有“ 性质” ，请说明理由.()P（2）已知 具有“ 性质” ，且当 时， ，求yfx(0)0x2fxm在 上的最大值.,1（3）设函数 具有“ 性质”.且当 时， ，若ygx()P12xgx与 交点个数为 2013 个，求实数 的值.mm【答案】解：（1）由 得 ，根据诱导公式得)sin()si(xaxxasin)i( 具有“ 性质” ，其中 ka2)(ZyPk2)(Z4 分（2） 具有“ 性质” ， )(xfy)
33、0(P)(xf设 ，则 ，0x 22)mxf6 分0)()2xmf当 时， 在 递增， 时0(fy1,1x2max)(y当 时， 在 上递减，在 上递增，且21)x,， 时2()(ff2max)(y当 时， 在 上递减，在 上递增，且mxy,01,， 时22)1()0(ff 2maxy综上所述：当 时， ；当 时，max)()1fy2max)0(fy11 分2（3） 具有“ 性质” ， ， ，)(xgy)1(P)(1(xg)(1(xg，从而得到 是以 2 为周期的函数)2( xgy又设 ，则 ，1x2x)1(1)()1()() xgxg再设 （ ） ，2nxz当 （ ） ， 则 ，knz2kx
34、k2kx；nxg2)()当 （ ） ， 则 ，12kz11kxk 3kx；xx)()对于， （ ） ，都有 ，而2nznxg)(， ，121xn )()1( xgx是周期为 1 的函数)(gy当 时，要使得 与 有 2013 个交点，只要 与 在0mmxy)(gmxy)(有 2012 个交点，而在 有一个交点 过 ，)16, 107,6 21,03从而得 203当 时，同理可得m2013m当 时，不合题意综上所述 18 分20132.某种型号汽车的四个轮胎半径相同，均为 40Rcm，该车的底盘与轮胎中心在同一水平面上. 该车的涉水安全要求是：水面不能超过它的底盘高度. 如图所示：某处有一“坑形
35、”地面，其中坑 ABC形成顶角为 012的等腰三角形，且 60ABCcm，如果地面上有 ()hcm( 40)高的积水(此时坑内全是水，其它因素忽略不计 ).(1)当轮胎与 、 同时接触时，求证：此轮胎露在水面外的高度(从轮胎最上部3到水面的距离)为 8031dh；(2) 假定该汽车能顺利通过这个坑(指汽车在过此坑时，符合涉水安全要求)，求 h的最大值.(精确到 1cm).【答案】解：(1) 当轮胎与 AB、BC 同时接触时，设轮胎与 AB 边的切点为 T，轮胎中心为O，则|OT|=40，由ABC=120 0，知OBT=60 0， 2 分故|OB|= 243. . 4 分所以，从 B 点到轮胎最
36、上部的距离为 2403+40 6 分此轮胎露在水面外的高度为 d= +40-( 06cos+h)= 813h，得证. 8分(2)只要 d40， 12 分即 8013h40，解得 h16cm.，所以 h 的最大值为 16cm. 14 分3.（本题满分 16 分） )(xf和 g都是定义在集合 M上的函数,对于任意的 xM，都有 ()(fgxf成立，称函数 )(xf与 在 上互为“ H函数”.（1）若函数 ba， nm)(， f与 )(xg互为“ 函数”,证明： )(nf.（2）若集合 2,M，函数 2)(xf， xcos)(，判断函数 )(xf与 g在上是否互为 “H 函数” ，并说明理由.（3
37、）函数 xaf)( 0且 1)， 1)(g在集合 M上互为“ H函数”,求 a的取值范围及集合 .【答案】 （1）证明：函数 )(xf与 互为“ H函数“,则对于 Rx,4)()(xfgf 恒成立.即 nbaxmnxa)()( 在 R上恒成立2 分化简得 )()(bman2 分所以当 b时， (xfgf，即 )(bgnf1 分（2）假设函数 )(xf与 g互为“ H函数” ，则对于任意的 M)(gxf恒成立.即 x2cos，对于任意 2,x恒成立2 分.当 0时， 10cos. 不妨取 1，则 2，所以 1s22 分所以假设不成立，在集合 M上，函数 )(xf与 g不是互为“ H函数”1分.（
38、3）由题意得， 11xa（ 0且 1a）2 分变形得， )(，由于 且1ax，因为 x，所以 01a，即 1a2 分此时 )(log，集合 ),(log|M2 分4.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度 （单位：千克/年）是养殖密度v（单位：尾/立方米）的函数当 不超过 4（尾/立方米）时， 的值为 （千克/年） ；xx当 时， 是 的一次函数；当 达到 （尾/ 立方米）时，因缺氧等原因，420vx20的值为 （千
39、克/年） v（1）当 时，求函数 的表达式；()v（2）当养殖密度 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米） 可以x ()()fxv达到最大，并求出最大值【答案】 （1）由题意：当 时， ； 2 分042vx当 时，设 ，显然 在 是减函数，42xbaxvba4,05由已知得 ，解得 4 分204ab1852ab故函数= 6 分xv*2,04,15,28xN（2）依题意并由（1）可得 8 分xf*2,04,15,2.8xN当 时， 为增函数，故 ； 10 分04xfmax()ff8当 时， ，2222151100()88fxx 12 分max(10).f所以，当 时， 的最大值为 xf1.
40、5当养殖密度为 10 尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为 千克/立方12.5米14 分5.世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形 的空地上修建一个占地面积为 的矩形 健身场地，如图点 M 在 上，ABCSAMPNAC点 N 在 上，且 P 点在斜边 上，已知 且 米， ，BC60B3|C=x.20,1x（1）试用 表示 ，并求 的取值范围；xS（2）设矩形 健身场地每平方米的造价为 ，再把矩形 以外（阴影AMPNSk37AMPN部分）铺上草坪，每平方米的造价为 （ 为正常数） ，求总造价 关于 的函数Sk12TS；试问如何选取 的长使总造价
41、 最低（不要求求出最低造价）. )(SfT|AT6CMABN P【答案】 （1）在 中，显然 ， ，PRtxMC30| 60P，2 分)(tan| 矩形 的面积 ， 4 分AN| xS 1,2于是 为所求.6 分3250（2） 矩形 健身场地造价 7 分MP1TSk7又 的面积为 ，即草坪造价 ，8ABC34502)3450(1Sk分由总造价 ， ， .1021T)6(Sk325分，11 分36S当且仅当 即 时等号成立，122121分此时 ，解得 或 ，36)30(xx18所以选取 的长为 12 米或 18 米时总造价 最低.14 分|AMT6.某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有
42、如图所示的自动通风设施该设施的下部 ABCD 是正方形，其中 AB=2 米；上部 CDG 是等边三角形，固定点 E 为 AB 的中点 EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风） ， MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和 AB 平行的伸缩横杆 （1）设 MN 与 AB 之间的距离为 x米，试将 EMN 的面积 S（平方米）表示成关于 x 的7函数； （2）求 EMN 的面积 S（平方米）的最大值GEA BNDMC（文 21 题）【答案】解：（1）如图 1 所示，当 MN 在正方形区域滑动，即 0 x2 时， EMN 的面积 S= = ； 2 分x2如图 2 所示，当 M
43、N 在三角形区域滑动，即 2 x 时，3如图，连接 EG，交 CD 于点 F，交 MN 于点 H， E 为 AB 中点， F 为 CD 中点， GF CD，且 FG .3又 MN CD， MNG DCG ，即 5 分GFHDCMN3)2(x故 EMN 的面积 S )(21 ； 7 分xx)3(2综合可得： 8 分32,)321(0, xxS说明：讨论的分段点 x=2 写在下半段也可（2）当 MN 在正方形区域滑动时， ，所以有 ； 10 分S20S当 MN 在三角形区域滑动时， S= .xx)31(2EA BGNDMC图 2HF8因而，当 （米） ， S 在 上递减，无最大值， 231x)32
44、,(20S所以当 时， S 有最大值，最大值为 2 平方米. 14 分ENGDMA BC图 17.已知 ，当点 在 的图像上运动时，点xf21log)(),(yxM)(xf在函数 的图像上运动（ ） ,2(nyxN)n *Nn（1）求 的表达式；)(xg（2）若方程 有实根，求实数 的取值范围；)21aa（3）设 ，函数 （ ）的值域为)(xgnnH)(11xgHFbx0，求实数 ， 的值2lo,lg452abab【答案】解：（1）由 得 ，所以)2(,xgnyf xnfxn 21log)(， （ ） 4 分)2(log)(1xnx（2） ，即 （ ） 6 分)(l212aax0，令 ，所以
45、，当 时，xa0xt 492t7x即实数 的取值范围是 10 分49a49,(（3）因为 ，所以 nxnnH)2(12)()(log1)2(log1)(1xxF在 上是减函数 12 分)(xF,9所以 即 ，所以 2log)(542bFa2log)(log1ll5214221baa3,2ba16 分8.我们把定义在 上，且满足 （其中常数 满足 ）R)(xafTxf Ta, 0,1Ta的函数叫做似周期函数（1）若某个似周期函数 满足 且图像关于直线 对称求证：函数)(fy1x是偶函数；)(xf（2）当 时，某个似周期函数在 时的解+析+式为 ，求2,aT0x)1()xf函数 ， 的解+析+式；
46、)(xfyZn,1（3）对于确定的 时， ，试研究似周期函数函数 在Tx0且 xf3)()(xfy区间 上是否可能是单调函数？若可能，求出 的取值范围；若不可能，请说明理),0(a由【答案】因为 关于原点对称，1 分Rx又函数 的图像关于直线 对称，所以)(fy1x 2 分1(xf又 ， T,)(aff用 代替 得 3 分xxx由可知 ，,)()ff 01a且即函数 是偶函数；4 分()xfx（2）当 时，)1Znn)(Zn；10 分)1(22(2)() xnxxfxfxff （3）当 时，)NTT )0NT1012 分nTxnaxfaTxfaTxff 3)()2()() 显然 时，函数 在区
47、间 上不是单调函数 13 分0ay),0又 时， 是增函数， NnnxxfTn ,1(,3)(此时 14 分f)(,若函数 在区间 上是单调函数，那么它必须是增函数，则必有)(xy,0， 16 分Tna31解得 18 分8.设定义域为 的奇函数 在区间 上是减函数R)(xfy)0,(（1）求证：函数 在区间 上是单调减函数； f,（2）试构造一个满足上述题意且在 内不是单调递减的函数 （不必证明）)(【答案】解（1）任取 ， ，则由 （2 分）),0(,21x21x210x由 在区间 上是单调递减函数，有 ， （3 分）)(fy )()(ff又由 是奇函数，有 ，即 （3 分）x)()(21x
48、ff21x所以，函数 在区间 上是单调递减函数 （1 分）)(fy,0（2）如 或 等 （6 分）.0,2)(xxf .0,)(xf9.科学研究表明：一般情况下，在一节 40 分钟的课中，学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化。开始上课时，学生的注意力逐步增强，随后学生的注意力开始分散。经过实验分析，得出学生的注意力指数 随时间 （分钟）的变化规律为：yx268,08()1(34),xyf（1）如果学生的注意力指数不低于 80，称为“理想听课状态” ，则在一节 40 分钟的课中11学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长？（精确到 1 分钟）（2）现有一道数学压轴题，教师必须持续讲解 24
49、分钟，为了使效果更好，要求学生的注意力指数在这 24 分钟内的最低值达到最大，那么，教师上课后从第几分钟开始讲解这道题？（精确到 1 分钟）【答案】 （1）由于学生的注意力指数不低于 80，即 80y当 时，由 得 ； 2 分08x2680xx当 时，由 得 ；2 分41(34)164x所以 ，,x6120故学生处于“理想听课状态”所持续的时间有 分钟. 3 分（2）设教师上课后从第 分钟开始讲解这道题，由于t 46所以 2 分0,6t要学生的注意力指数最低值达到最大，只需 ()2)ft即 2 分2128(4)3()480ttt解得 2 分6所以，教师上课后从第 分钟开始讲解这道题，能使学生的
50、注意力指数最低值达到最大. 1 分 10.已知函数 .1()log(0)axfx（1）求函数 的定义域 ，并判断 的奇偶性；Df（2）用定义证明函数 在 上是增函数；()fx（3）如果当 时，函数 的值域是 ，求 与 的值.,ta()f,1at【答案】 （1）令 ，解得 , 2 分0x1xD对任意 ,xD1()logllog()aaaxf fx所以函数 是奇函数. 2 分()f12另证：对任意 ,xD1()logllog10aaaxxffx所以函数 是奇函数. 2 分()f（2）设 ， 1212,(,)xx且121212112 ()()logllog()logaaaaxxffxx2 分 121
51、12121()()()0xxx 121121()() 2 分121()x0a121()log0ax ，12()fxf12()fxf所以函数 在 上是增函数 . 2 分()fD（3）由（2）知，函数 在 上是增函数，()fx1,又因为 时， 的值域是 ，(,)xta()f,所以 且 在 的值域是 ， 2 分(,)1,t1()xg(,)ta(,)故 且 （结合 图像易得 ） 2 分()agt()1t解得 （ 舍去）212113所以 ， 2 分21at11.已知二次函数 21fxaxa。（1）函数 在 ,上单调递增，求实数 的取值范围；（2）关于 x的不等式 2fx在 1,上恒成立，求实数 a的取值
52、范围；（3）函数 1agf在 ,3上是增函数，求实数 的取值范围。【答案】解：（1）当 0时， xf)(，不合题意；1 分当 0a时， fx在 ,1上不可能单调递增；2 分当 时，图像对称轴为 a2，由条件得 12a，得 . 4 分（2）设 1)()(xxfh， 5 分当 ,x时， 25,， 7 分因为不等式 f在 1,x上恒成立，所以 )(xh在 2,1时的最小值大于或等于2，所以， 250a20a或， 9 分解得 1。 10 分（3） xg)(2在 ,3上是增函数，设 321x，则 )(21xg，aax212， 212121)(x，12 分因为 32，所以 )(212， 14 分而 )6,
53、541()(212x， 16 分所以 .6a 18 分1412.已知 ，函数 Ra|)(axf（1）当 时，写出函数 的单调递增区间（不必证明） ；2)(f（2）当 时，求函数 在区间 上的最小值；xy2,1（3）设 ，函数 在区间 上既有最小值又有最大值，请分别求出 、0a)(f),(nmm的取值范围（用 表示） n【答案】 （1）当 时， ，（2 分）2 ,1)(|2|)(2xxxf所以，函数 的单调递增区间是 和 （4 分）)(xf 1,（2）因为 ， 时，2a,1（1 分）42)()22axaxxf 当 ，即 时， （3 分）321a3)()(minff当 ，即 时， （5 分）1iax所以， （6 分）3,124)(minaxf（3） （1 分）O x24y aaxxf,)()当 时，函数的图像如图所示，0a由 解得 ，（1 分）)(42xya215所以 ， （4 分）O x24ay 20aman21当 时，函数的图像如图所示，0a由 解得 ，（5 分）)(42xya21所以， ， （8 分） ma210n
