广东省华南师范大学附属中学、广东实验中学、深圳中学、广雅中学四校2016届高三上学期期末联考试题（全科）.zip

1（第 4 题图）结束输出 s 12,is1i是 否开始 si ?i侧侧42322CBAS2016 届高三上学期期末华附、省实、广雅、深中四校联考文科数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，满分 150 分，考试用时 120 分钟.注意事项：1． 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内.2． 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案 ；不能答在试卷上 .3． 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以 上要求作答的答案无效 .4． 考生必须保持答题卡的整洁.第一部分 选择题（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1． 若集合 ， ，则 =（ ** ）24Mx13NxRNMðA. B. C. D. 221x23x2． 在复平面内，复数 对应的点位于（ ** ）3ZiA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3． 条件 ，条件 ，则 是 的（ ** ）:12px:2qxpqA．充分非必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件(第 5 题图)4． 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ** ）A． B． C． D．12131455． 三棱锥 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱 的长为（ ** ）SC SBA． B． C． D． 6382216． 函数 是 上的奇函数，满足 ，当 时 ，()yfxR(3)()fxf0,3x()2xf则当 时， （ ** ）,()fx2A． B． C． D．62x62x62x62x7． 已知等差数列 的通项公式 ，设 ，na45na11| |nnnAaa (*)N则当 取最小值时， 的取值为（ ** ）nA．16 B．14 C．12 D．108． 已知 中，平面内一点 满足 ，若 ，则 （ ** CP213ABPtAt）A． B． C． D．313 129. 已知点 是双曲线 的左焦点，点 是该双曲线的右顶点，过F20,xyabE点 且垂直于 轴的直线与双曲线交于 、 两点， 是直角三角形，则该双曲AB线的离心率是（ ** ）A． B． C． D． 32121310. 设变量 、 满足： ，则 的最大值为（ ** ）xy34xy3zxyA． B． C． D． 8 149211. 已知三棱锥 的所有顶点都在球 的表面上， 是边长为 1 的正三角形，SCOAB为球 的直径，且 ，则此三棱锥的体积为（ ** ）O2A． B． C． D．14426212. 已知定义在 上的可导函数 的导函数为 ，满足 ，且R()yfx()fx()fx，则不等式 的解集为（ ** ）(0)2f()2xfeA． B． C． D．,0,,22,第二部分 非选择题（共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.13. 设 ，则 与 大小关系是 ** .2mnlog2mln14. 已知向量 ， ， ，若 与 共线，则 ** . 3,10,,3kt2mnkt15. 函数 在其极值点处的切线方程为 ** .xye3PDCAB CEPDAB16. 已知数列 为等差数列，首项 ，公差 ，若 , , , , , 成等na1a0d1ka23k nka比数列，且 ， ， ，则数列 的通项公式 ** .1k235knn三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分. 解答须写出文字说明 、证明过程和演算步骤.17. （本小题满分 12 分）已知函数 在 处取最小值．2()sincosin(0)fxxxx（Ⅰ）求 的值；（Ⅱ） 在 中， 、 、 分别是角 、 、 的对边，已知ABCabABC,,21ba， 23)(f求角 ．18. （本小题满分 12 分）乐嘉是北京卫视 《我是演说家》的特约嘉宾，他的点评视角独特，语言犀利，给观众留下了深刻的印象．某机构为了了解观众对乐嘉的喜爱程度，随机调查了观看了该节目的140 名观众，得到如下的列联表：（单位：名）男 女 总计喜爱 40 60 100不喜爱 20 20 40总计 60 80 140（Ⅰ）从这 60 名男观众中按对乐嘉是否喜爱采取分层抽样，抽取一个容量为 6 的样本，问样本中喜爱与不喜爱的观众各有多少名？（Ⅱ）根据以上列联表，问能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关． （精确到 0.001）（Ⅲ）从（Ⅰ）中的 6 名男性观众中随机选取两名作跟踪调查，求选到的两名观众都喜爱乐嘉的概率．p（k 2≥k 0）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005k0 2.705 3.841 5.024 6.635 7.879附：临界值表参考公式： K 2 = ， n = n (ad－ bc) 2(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)a + b + c + d. 19. （本小题满分 12 分）如图，在直角梯形 中， ， ， ， 是ABCP/ABP12ABCD中点，将 沿 折起，使得 面 .CD（Ⅰ）求证：平面 ⊥ 平面 ；（Ⅱ）若 是 的中点．求三棱锥 的体积．EE4ABCDEF20. （本小题满分 12 分）设函数 .2()lnfxabx(Ⅰ)若函数 在 处与直线 相切,求函数 上的最大值.f11y(),1在fxe(Ⅱ)当 时，若不等式 对所有的 ， 都成立，0b()fxm,302a,2求实数 的取值范围.m21. （本小题满分 12 分）已知中心在原点，焦点在 轴上的椭圆 的离心率为 ，且经过点 .xC12M31,2(Ⅰ)求椭圆 的方程；C(Ⅱ)是否存过点 (2,1)的直线 与椭圆 相交于不同的两点 ，满足Pl ,AB？ 若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由．ABMl选作题：请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明如图，圆周角 的平 分线与圆交于点 ，过点 的切线BACD与弦 的延长线交于点 ， 交 于点 .EBCF（Ⅰ）求证： ；/D（Ⅱ）若 四点共圆，且 ，求 ．F、 、 、 AB23. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知直线 过点 ，倾斜角 ，再以原点为极点，l,12P6轴x的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．C3（Ⅰ）写出直线 的参数方程和曲线 的直角坐标方程；l（Ⅱ）若直线 与曲线 分别交于 两点，求 的值．、MNPN24. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 3.fxxa5（Ⅰ）当 时，解不等式 ；2a12fx（Ⅱ）若存在实数 ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围．aa62016 届高三上学期期末华附、省实、深中、广雅四校联考文科数学参考答案一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.1. A 解：M={x|x＞2，或 x＜﹣2}，N={x|1＜x≤3}；∴ ∁ RM={﹣2≤x≤2}；∴ N∩（∁ RM）={x|1＜x≤2}．2. D 解：复数 Z= 对应的点位于第四象限．32345iii i3. A4. B5. C 解：由已知中的三视图可得 SC⊥平面 ABC，且底面△ABC 为等腰三角形，在△ABC中 AC=4，AC 边上的高为 ，故 BC=4，在 Rt△SBC 中，由 SC=4，可得 SB= ．23 426. B 解：∵f（3+x）=f（3﹣x） ，故直线 x=3 是函数 y=f（x）的一条对称轴,又由函数 y=f（x）是定义在 R 上的奇函数，故原点（0，0）是函数 y=f（x）的一个对称中心则 T=12 是函数 y=f（x）的一个周期设 x∈（﹣6，﹣3）则 x+6∈（0，3）时 f（x+6）=2 x+6=f（﹣x）=﹣f（x）即 f（x）=﹣2 x+67. D8. C 解：在 CA 上取 CE=2EA，过点 E 作 EP∥BC 交 AB 于点 P，过点 P 作 PF∥AC 交 BC 于点F，可得 ，可得点 P 满足 ，利21,33CFAPBC213CAB用平行四边形法则即可得出．9. B 解：∵△ABE 是直角三角形，∴∠AEB 为直角，∵双曲线关于 x 轴对称，且直线 AB 垂直 x 轴，∴∠AEF=∠BEF=45°，∴|AF|=|EF|，∵F 为左焦点，设其坐标为（﹣c，0） ，令 x=﹣c，则 ，则有 ∴|AF|= ，∴|EF|=a+c，21cyab2bya2∴ =a+c∴c 2﹣ac﹣2a 2=0 ∴e 2﹣e﹣2=0∵e＞1，∴e=22b10. A 解：依题意，画出可行域（如图示） ，则对于目标函数 z=x﹣3y，当直线经过 A（﹣2，2）时，z=|x﹣3y|，取到最大值，Z max=8．711.C 解：根据题意作出图形：设球心为 O，过 ABC 三点的小圆的圆心为 O1，则 OO1⊥平面 ABC，延长 CO1交球于点 D，则 SD⊥平面 ABC．∵CO 1= ，23∴ ，163∴高 SD=2OO1= ，∵△ABC 是边长为 1 的正三角形，∴S △ABC = ，2 34∴ ．3624V三 棱 锥 S-ABC12. B 解：设 g（x） = ，则 g′（x）= ()xfe2()()xxxfefffe ∵f（x）＜f′（x） ，∴g′（x）＞0，即函数 g（x）单调递增．∵f（0）=2，∴g（0）= ，()ffe则不等式 等价为 ，即 g（x）＞g（0） ，2xfe0x∵函数 g（x）单调递增．∴x＞0，∴不等式 的解集为（0，+∞）2xfe二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. logm2＜log n2 解：∵2 m＞2 n＞2 2，∴m＞n＞2，∴log 2m＞log 2n＞1 即 221loglmn∴log m2＜log n214. 1 解：∵ ， ，3,10,∴ 13,8又 ，且 与 共线，则 ，解得：t=1．,3kt2mnk30t15. y= 解：依题解：依题意得 y′=e x+xex，令 y′=0，可得 x=-1，∴y= ．1e 1e因此函数 y=xex在其极值点处的切线方程为 y= ．e16. 解：由题意， ， ，得 ，即 ，132n215a2()1(4)d2d1na所以 ．又等比数列 的公比为 3，所nk125,a以 ．根据 可得 ．13nka23nnk1nk三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分.17. 解:（Ⅰ） cos()2siisfxxnnixsicosixxs()……………………… 3 分因为函数 f (x)在 处取最小值，所以 ,sin()1由诱导公式知 ,因为 ,所以 .sin102所以 ………………………………………………… 6 分())cos2fxx（Ⅱ）因为 ,所以 ,因为角 A 为 ABC 的 内角,所以 . ……… 73A3A分又因为 所以由正弦定理,得 ,2,1basinabB也就是 , ……… 9 分sin12iAB因为 ,所以 或 . ba43当 时, ; …… … 117612C分当 时, . ………… 1243B34分918. 解：（Ⅰ）抽样比为 ，610则样本中喜爱的观从有 40× =4 名；不喜爱的观众有 6﹣4=2 名． ……… 3 分（Ⅱ）假设：观众性别与喜爱乐嘉无关，由已知数据可求得， 2214064041.675.02489k∴ 不能在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关．…… 7分（Ⅲ）记喜爱乐嘉的 4 名男性观众为 a，b，c，d，不喜爱乐嘉的 2 名男性观众为 1，2；则基本事件分别为：（a，b） ， （a，c） ， （a，d） ， （a，1） ， （a，2） ， （b，c） ， （b，d） ， （b，1） ， （b，2） ，（c，d） ， （c，1） ， （c，2） ， （d，1） ， （d，2） ， （1，2） ．其中选到的两名观众都喜爱乐嘉的事件有 6 个，故其概率为 P（A）= ． …………………………… … 12 分60.4519. 解： （Ⅰ）证明：∵ PD⊥ 底面 ABCD，∴ PD⊥ AD．又由于 CP∥ AB，CP⊥ CB，AB=BC∴ 四边形 ABCD 是正方形，∴ AD⊥ CD， …………… 3 分又 PD∩CD=D，故 AD⊥ 底面 PCD，∵ AD⊂平面 PAD，∴ 平面 PAD⊥ 平面 PCD ………………… 5 分（Ⅱ）解：∵ AD∥ BC，BC⊂平面 PBC，AD⊄ 平面 PBC，∴ AD∥ 平面 PBC∴ 点 A 到平面 PBC 的距离即为点 D 到平面 PBC 的距离 …………… 6 分又∵ PD=DC，E 是 PC 的中点 ∴ PC⊥ DE由（Ⅰ）知有 AD⊥ 底面 PCD，∴ AD⊥ DE．由题意得 AD//BC，故 BC⊥ DE．又∵ PC∩BC=C∴ DE⊥ 面 PBC． ………………………………… 9分∴ 2,DEPC又∵ AD⊥ 底面 PCD，∴ AD⊥ CP，∵ AD∥ BC，∴ AD⊥ BC ∴ 11222PEBPCSBPC∴ …………………………12 分133APEBDV1020. 解：（1）由题知 '()2afxb函数 ()f在 1处与直线 1y相切解得 2ab………………………3 分()02abfln,()11xfxxf当 e时，令 '0得 e；令 '()0fx，得 1;x,e在上单调递增，在[1，e]上单调递减，max()(1)2ff…………………………6 分（2）当 时， lnax0b若不等式 ()f对所有的 230,1,xe都成立，则 lnax对所有的 2,,a都成立，即 对所有的 ,1]3,0[ex都成立，lm令 ，则 为一次函数， min()ha ……………………9 分()hx()h[,]2a在上单调递增,21elnmin()(0)ax对所有的 21,e都成立21,ex2min()， ………12 分2即 实 数 的 取 值 范 围 是 ， -e（注：也可令 l,()hamhx则 对所有的 1,都 成立，分类讨论得2in()xe对所有的 3[0,]2都成立， 22min()ae，酌情给分）21. 解：(Ⅰ)设椭圆 的方程为 ，由题意得C21(0)xyab222194bca11ABCDEF解得 ，故椭圆 的方程为 ． ……………………4 分24,3abC2143xy(Ⅱ) 若存在直线 满足条件，不妨设直线 方程为 ，代入椭圆 的方程l l(2)1kxC得．2 2(34)8(1)680kxkxk因为直线 与椭圆 相交于不同的两点 ，lC,AB设 两点的坐标分别为 ，,AB12(,)yx所以 2[8()]4368)32(6)0.kkkk所以 ． ……………………6 分1又 ， ……………………7 分21212(),3434kkxx因为 ，即 ，PABM12125()()4xy，12 2(), ,()ykxykxkkx．2154即 ． ……………………9 分21[()]()xxk所以 ，解得 ．2 22268145()34343k k    12k因为 为不同的两点，所以 ．,ABk于是存在直线 满足条件，其方程为 ． ………………………12 分l 12yx22. 解：（Ⅰ） 的平分线与圆交于点CD……………2 分,EDAABBEC. ………………………………4 分/（Ⅱ）因此 四点共圆，所以 ，,ECFFAD由（Ⅰ）知 AD所以 . ………………6 分设 ，DBx因为 ，所以 ，C2ACx所以 ， ………………………… ……8 分3FA在等腰三角形 中， ，7FF12则 ，所以 . ……………………………………10 分7x27BACx23. 解：解：（Ⅰ）直线 的参数方程： ， ………………2 分l 312为 参 数ty曲线 的极坐标方程为 ，可得曲线 的直角坐标方程 …4 分C3C29xy（Ⅱ）将直线的参数方程代入 ，得 ……7 分29xy2340tt设上述方程的两根为 、 ，则1t14t由直线参数方程中参数 t 的几何意义可得 ．…………10 分12PMNt24. 解：（Ⅰ）当 时， ， ……… …2 分2a, 3253, xfx等价于 或 或 ， …………… …4 分1fx12152x解得 或 ， 不等式的解集为 . ………………5 分34x4（Ⅱ）由不等式性质可知 ，………7 分333fxaxa若存在实数 ，使得不等式 成立，则 ， ……………9 分xf解得 ， 实数 的取值范围是 . ………………… …10 分32aa,212正视图俯视图侧视图（第 5 题图）43（第 4 题图）结束输出 s 12,is1i是 否开始 si ?i2016 届高三上学期期末华附、省实、广雅、深中四校联考理科数学试卷本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟．第 I 卷一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目人要求的）1．设全集 U = R，集合 M = {x| x 1}， P = {x| x2 1}，则下列关系中正确的是（***）A． M＝ P B． P M C． M P D． UPðÜÜ2．条件 ，条件 ，则 是 的（***） :12px:2qpqA．充分非必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件3．函数 图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变） ，右平移 个单位，sin()6yx 123那么所得图象的一条对称轴方程为（***） A． B． C． D． 42x8x4x4．执行如图所示的程序框图，则输出的 结果是（***）A．121  B．132 C．142 D．1545．如图，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角 形和半圆，则该几何体的体积为（***）A． B． C． D．48246．已知函数 是定义在 R 上的奇函数，当 时， ，那么 的值为（***） )(xf 0xxf)31()9(1fA．2 B．－2 C．3 D．－37．已知等差数列 的通项公式 ，设 ，则当 取最na645na112| |nnnAaa (*)NnA小值时， n 的取值为（***） A．16 B．14 C．12 D．10 2GBO DCA8．设第一象限内的点 (,)xy满足约束条件 260xy，若目标函数0,zaxby的 最大值为 40，则 51ab的最小值为（***）A． 256 B． 94 C．1 D．49．已知直三棱柱 ，的各顶点都在球 O 的球面上，且 ，若球 O1CA 1,3ABC的体积为 ，则这个直三棱柱的体积等于（***） 03A． B． C． D．232510．如图，在△ ABC 中， BO 为边 AC 上的中线， ，设 ∥ ，BGO若 ，则 的值为（***）15DAC()RA． B． C． D．226511．已知椭圆 ： 1xyab（ 0a） ，的左、右焦点分别是 1(,0)Fc、 2(,)，若离心率（e 0.68） ，则称椭圆 为“黄金椭圆” ．则下列三个命题中正确命题的个数是512（***）① 在黄金椭圆 C 中， a、 b、 c成等比数列；② 在黄金椭圆 中，若上顶点、右顶点分别为 E、 B，则 ;190F③ 在黄金椭圆 中，以 (,0)A、 (,)a、 (0,)Db、 (,)为顶点的菱形 ADBE的内切圆过焦点 1F、 2．A．0 B．1 C．2 D．3 12．规定 表示不超过 x 的最大整数，例如：[3.1]=3，[ 2.6]= 3，[ 2]= 2；若 是函[]x ()fx数 导函数，设 ，则函数 的值域是()ln|f()()gfx ()])]ygx（***） A． B． C． D． {|2,}yN{0,1}{0}{1,0}第 II 卷二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13．已知复数 ， 是 z 的共轭复数，则 z· ＝ *** ． 23(1)izz z30频 率组 距4000 6000 8000 10000经济损失/元0.000030.000090.000150.00020200014．设 a = ，则二项式 ( a － ) 6的展开式中含有 x 2 的项是*** ．∫0sin xdx x 1x15．从甲，乙，丙，丁 4 个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为 *** ． 16．已知数列 为等差数列，首项 ，公差 ，若 成等比数列，且na1a0d123,,,nkkkaa ， ， ，则数列 的通项公式 *** ． 1k235knkn三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17． （本小题满分 12 分）设函数 在 处取最2()sicosin(0)fxxx小值．（I）求 的值，并化简 f (x)； （II）在 ABC 中， 分别是角 A，B，C 的对边，已知 ，求角 C．cba, ,2,1ba3)(Af18． （本小题满分 12 分）2015 年 7 月 9 日 21 时 15 分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成 165.17 万人受灾，5.6 万人紧急转移安置，288 间房屋倒塌，46.5 千公顷农田受灾，直接经济损失 12.99 亿元.距离陆丰市 222 千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的 50 户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成 [0,2000]，(2000,4000]，(4000,6000]，(6000,8000]，(8000,10000] 五 组，并作出如下频率分布直方图(如图)：（I）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款.现从损失超过 6000 元的居民中随机抽出 2 户进行捐款援助，求这两户在同一分组的概率；（II）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的 50 户居民捐款情况如下表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有 95℅以上的把握认为捐款数额多于或少于 500元和自身经济损失是否到 4000 元有关?经济损失不超过 4000 元 经济损失超过 4000 元 合计捐款超过 500 元 30捐款不超过 500 元 6合计4FMA BCDEP(K2≥k) 0.15 0.10 0.050.0250.0100.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828附：临界值表参考公式： K 2 = ， n = a + b n (ad－ bc) 2(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)+ c + d．19． （本小题满分 12 分）如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB//CD，AD = DC = CB = 1，∠ABC=60°，四边形 ACFE 为矩形，平面 平面 ABCD，CF = 1．ACFE（I）求证： 平面 ACFE；B（II）点 M 在线段 EF 上运动，设平面 MAB 与平面 FCB 所成二面角的平面角为 ，试求 的取值范围．90ocs20． （本小题满分 12 分）在空中，取直线 l 为轴，直线 l 与 l′相交于 O 点，夹角为 30 ， l′围绕 l 旋转得到以 O 为顶点， l′为母线的圆锥面. 已知直线 l //平面 ， l 与 的距离为 2，平面与圆锥面相交得到双曲线 . 在平面 内，以双曲线 的中心为原点，以双曲线的两个焦点所在直线为 轴，建立直角坐标系．y(Ⅰ)求双曲线 的方程； (Ⅱ)在平面 内，以双曲线 的中心为圆心，半径为 2 的圆记为曲线 ，在 上任取一点 P，过点 P 作双曲线 的两条切线 交曲线 于两点 M、N，试证明线段 MN 的长为定值，并求出这个定值．21． （本小题满分 12 分）设 1xaf()（ 0且 1） ， g(x)是 f(x)的反函数．5（Ⅰ）设关于 x的方程求 217atlogg(x)(x)在区间[2，6]上有实数解，求 t 的取值范围；（Ⅱ）当 a＝ e（ e 为自然对数的底数）时，证明：221nkn()()；（Ⅲ）当 0＜ a≤ 时，试比较 1nkf()与 4 的大小，并说明理由． 12请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请填涂题号．22． （本小题满分 10 分） （选修 4-1：几何证明选讲）如图，圆周角∠ BAC 的平分线与圆交于点 D，过点 D 的切线与弦 AC 的延长线交于点 E， AD 交 BC 于点 F．（I）求证： BC∥ DE；（II）若 D， E， C， F，四点共圆，且 ，求∠ BAC．ACB23． （本小题满分 10 分） （选修 4-4：坐标系与参数方程） 在平面直角坐标系中，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线x，过点 的直线 的参数方程为2:sincos 0Ca2,4Pl（ 为参数） ， 与 分别交于 两点．,42xtylC,MN（I）写出曲线 的直角坐标方程和 的普通方程； l（II）若 成等比数列，求 的值．,PMNa24． （本小题满分 10 分） （选修 4-5：不等式选讲） 已知函数 ．3fxa（I）当 时，解不等式 ；2a12fx（II）若存在实数 ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围．aa672016 届高三上学期期末华附、省实、广雅、深中四校联考数学（理科）参考答案及评分标准命题学校：华师附中一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）CABB CADB BCDD 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13、 14、－192 x 2 15、 16、 123132n三、解答题：17、 （本小题满分 12 分）【解析】：（I） 1cos()2sininsfxx inscosinxxx…… 1 分()因为函数 f (x)在 处取最小值，所以 ,（2 分）由诱导公式知 ,sisi1因为 ,所以 .（3 分） 所以 …… 4 分02()sin)cosfxx（II）因为 ,所以 ,因为角 A 为 ABC 的内角,所以 . …… 6 分)(AfcosA又因为 所以由正弦定理,得 ,1basinabB也就是 , …… 8 分sin12iB因为 ,所以 或 . …… 10 分ba43当 时, ; …… 11 分47612C当 时, . …… 12 分3B18、 （本小题满分 12 分） 【解析】：错误！未找到引用源。 （I）由频率分布直方图可得，损失不少于 6000 元的居民共有(0.00003 + 0.00003)×2000×50 = 6 户，损失为 6000～8000 元的居民共有 0.00003×2000×50 = 3 户，损失不少于 8000 元的居民共有 0.00003×2000×50 = 3 户， …… 3 分因此，这两户在同一分组的概率为 P = = …… 6 分C32 + C32C62 25（II）如表：经济损失不超过 4000 元 经济损失超过 4000 元 合计8zyxMFED CBA捐款超过 500 元 30 9 39捐款不超过 500 元 5 6 11合计 35 15 50…… 7 分K 2 = ……………8 分50×(30×6－ 9×5) 239×11×35×15= = 4.046 3.841 ……………10 分40501001所以有 95℅以上的把握 认为捐款数额是否多于或少于 500 元和自身经济损失是否 4000 元有关．…………… 12 分19、 （本小题满分 12 分） 【解析】：（Ⅰ）证明：在梯形 中，ABCD∵ ∥ , ,∴ ,AB1,602AB∴ ,∴ ,∴ ,22cos3C 2CBAC∴平面 平面 ,平面 平面 , 平面 ,FEFEDD∴ 平面 . ………5 分（Ⅱ）由（I）可建立分别以 直线 为 的如图所示空间直角坐标系，,CAB轴轴轴 ， zyx,令 ，则 ， ,)30(M)0,3()0(10∴ . 1,,1BA设 为平面 MAB 的一个法向量，zyxn,1由 ，得 ,0103zyx取 ，则 ， …………7 分x,1n∵ 是平面 FCB 的一个法向量,,2∴ . …………9 分12 22||11cos334n∵ , ∴ 当 时， 有最小值 ，00cos7当 时， 有最大值 ,3cos12∴ . …………………12 分71s,2920． （本小题满分 12 分）【解析】：(Ⅰ) 如右图， 为双曲线的中心， 为轴 与OOl平面 的距离 ，A 为双曲线的顶点，2|A60,……………1 分3|.在轴 上取点 C，使得|OC|=4 过 C 作与轴 垂直的平面，l 3,l交圆锥面得到圆 C，圆 C 与双曲线相交于 D、E，DE 的中点为 B，易知，|CB|=2，|CD|=4，可得|BD|=2 ，从而可知双曲线的实半轴长为 2 且过点（2 4 ）. ……………4 分3,3,设双曲线的标准方程为 ，将点（2 4 ）代入方程得 ，1yxb, 24b所以双曲线的标准方程为 ……………5 分4(Ⅱ) 在条件(Ⅰ)下，显然双曲线 的两切线 PM、PN 都不垂直 轴， ……………6 分x0设 点 P的 坐 标 为 （ x,y） ， k令 过 点 P的 切 线 的 斜 率 为 ， 则 切 线 方 程 为0(ykx)+，：0214由 ， 消 去 得……………8 分2 200(3)((kxkyxky))-1=……………9 分,由 化 简 得 ： 20()（……………10 分12k令 PM、 N的 斜 率 分 别 为 、 ， 201,4ykx由 韦 达 定 理 得因点 在圆 上，则有 ，得：0（ x,y） 208xy201,……………11 分12k=-知 PM PN，线段 MN 是圆 O 的直径，|MN|=4 . ……………12 分21021、 （本小题满分 12 分）【解析】：（I）由题意，得 ax＝ 1y＞0，故 g(x)＝ lo， x∈(－∞,－1)∪(1,＋∞)， ……………1 分由 2lg1(7)1aat，得 t＝( x-1)2(7-x)， x∈[2,6]. ……………2 分则 =-3x2+18x-15=-3(x-1)(x-5,令 得 知 t＝( x-1)2(7-x)在区间[2，5 上递t 0,5,）增；令 得 知 t＝( x-1)2(7-x)在区间（5，6 上递减，0,56,]所以当 t 最大值 ＝32，有当 ； 所以 t 最小值 ＝5，t时 ， 时 ,t=时 ,t.所以 t 的取值范围为[5,32]. …………… 4 分(II) 21231()lnlln45nkg   ＝ln( 23145n  )＝－ln (1)2n……………5 分 令 u(z)＝－ln z2－ ＝－2ln z＋ z－ ， z＞0 …………… 6 分则 u'(z)＝－ 21＝(1－ )2≥0,所以 u(z)在(0,＋ ∞)上是增函数,又因为当 (n＞1＞0，所以 u( 12n)＞ u(1)＝0时 ，即 ln)2(1)(nn＞ 0，即 2()(1)nkgn。 …………… 8 分(III)设 a＝ p，则 p≥1，1＜ f(1)＝ 1ap≤3 ……………9 分当 n＝1 时，| f(1)－1|＝ ≤2 ＜4，当 n≥2 时， ……………10 分设 k≥2, k∈ N *时，则 f(k)＝ 12)(1)kkpp＝1＋ 2kkCpp ，所以 1＜ f(k)≤1＋ 1244()kC，从而 n－1＜ 2)nkf≤ n-1+ ＝ n+1- 1＜ n＋1，所以 n＜ 1(kf＜ f(1)＋ n＋1≤ n＋4。综上所述，总有| 1()kf－ n|＜4。 ……………1211分22、 （本小题满分 10 分）【解析】：（I）因为 ………2 分,,,EDCADABCB因此 所以 BC∥ DE. ………………4 分B（II）因为 四点共圆，所以 ，,FCFE由（1）知 ，ACE所以 . ………………6 分设 ，因为 ，DBxAB所以 ，2所以 ， …………………8 分3F在等腰三角形 中， ，AC7FCAFx则 ，7x所以 . ………………………10 分27Bx23、 （本小题满分 10 分）【解析】：（I）曲线 的直角坐标方程为 ； ………………2 分C2 0yax直线 的普通方程为 . ………………4 分l（II）将直线 的参数方程与曲线 的直角坐标方程联立，得：C， .2480tat840a设点 分别对应参数 ，则 ， . …………6 分,MN12,t1212t由于 ， 成等比数列，且1PtNt,PMNa因此 ，即 ， …………………8 分221124tt故 ，解得 或 （舍） ，84584aaa因此 的值为 1. …………10 分1224、 （本小题满分 10 分）【解析】：（I）当 时， ， ………2 分2a1, 2353, xfx等价于 或 或 ， …………………4 分1fx2112x解得 或 ，34x不等式的解集为 . ………………5 分4（II）由不等式性质可知 ， …………7 分333fxxaxa若存在实数 ，使得不等式 成立，则 ， ………………9 分f解得 ，32a实数 的取值范围是 . …………………10 分3,2