优化课堂2016秋高中数学 第1-2章章末复习（课件+习题）（打包6套）北师大版必修2.zip

1章末综合检测(一)(时间：120 分钟，满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列几何体是柱体的是( )解析：选 B．A 中的侧棱不平行，所以 A 不是柱体，C 是圆锥，D 是球体，B 是棱柱．2．已知圆锥的表面积是底面积的 3 倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( )A．120° B．150°C．180° D．240°解析：选 C.设圆锥底面半径为 r，母线为 l，则 π rl＋π r2＝3π r2，得 l＝2 r，所以展开图扇形半径为 2r，弧长为 2π r，所以展开图是半圆，所以扇形的圆心角为 180°，故选 C.3．已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )A. cm3 B． cm343 83C．2 cm 3 D．4 cm 3解析：选 B．该几何体是一个四棱锥，且其底面是边长为 2 的正方形，高等于 2，故其体积 V＝ Sh＝ ×22×2＝ (cm3)． 13 13 834．若一个圆台的上、下底面半径和高的比为 1∶4∶4，圆台的侧面积为 400π，则该圆台的母线长为( )A．10 B．20C．12 D．24解析：选 B．设圆台上底面半径为 r，则下底面半径、高分别为 4r，4 r，于是其母线l＝ ＝ 5r，又侧面积为 400π，所以 π( r＋4 r)·5r＝400π，解得（ 4r） 2＋ （ 4r－ r） 2r＝4，于是圆台的母线长为 20.5．若 l， m， n 是互不相同的空间直线， α ， β 是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是( )A．若 α ∥ β ， l α ， n β ，则 l∥ nB．若 α ⊥ β ， l α ，则 l⊥ βC．若 l⊥ α ， l∥ β ，则 α ⊥ βD．若 l⊥ n， m⊥ n，则 l∥ m解析：选 C.对于选项 C，若 l∥ β ，则在 β 内必有直线 n 与 l 平行，从而 n⊥ α ；于2是 α ⊥ β .6．正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为 12，底面对角线的长为 2 ，则侧面与底面所成的二面角为( )6A．30° B．45°C．60° D．90°解析：选 C.由棱锥体积公式可得底面边长为 2 ，高为 3，在底面正方形的任一边上，3取其中点，连接棱锥的顶点及其在底面的射影，根据二面角定义即可判定其平面角，在直角三角形中，因为 tan θ ＝ ，所以二面角为 60°，选 C.37．已知直线 a 和平面 α ， β ， α ∩ β ＝ l， aα ， aβ ，且 a 在 α ， β 内的射影分别为直线 b 和 c，则 b 和 c 的位置关系是( )A．相交或平行 B．相交或异面C．平行或异面 D．相交、平行或异面解析：选 D．由题意，若 a∥ l，则利用线面平行的判定，可知 a∥ α ， a∥ β ，从而 a在 α ， β 内的射影直线 b 和 c 平行；若 a∩ l＝ A，则 a 在 α ， β 内的射影直线 b 和 c 相交于点 A；若 a∩ α ＝ A， a∩ β ＝ B，且直线 a 和 l 垂直，则 a 在 α ， β 内的射影直线 b和 c 相交；否则直线 b 和 c 异面．综上所述， b 和 c 的位置关系是相交、平行或异面，故选 D．8．如图，四边形 ABCD 中， AD∥ BC， AD＝ AB，∠ BCD＝45°，∠ BAD＝90°，将△ ABD沿 BD 折起，使平面 ABD⊥平面 BCD，构成四面体 ABCD，则在四面体 ABCD 中，下列结论正确的是( )A．平面 ABD⊥平面 ABCB．平面 ADC⊥平面 BDCC．平面 ABC⊥平面 BDCD．平面 ADC⊥平面 ABC解析：选 D．易知在△ BCD 中，∠ DBC＝45°，∠ BDC＝90°.又平面 ABD⊥平面 BCD，而 CD⊥ BD，所以 CD⊥平面 ABD，所以 AB⊥ C D．而 AB⊥ AD， CD∩ AD＝ D，所以 AB⊥平面 ACD，所以平面 ABC⊥平面 ACD．9．若正方体的外接球的体积为 4 π，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体3的体积为( )A. B．13 23C. D．43 53解析：选 C.设正方体的棱长为 a，其外接球的半径为 r，则由题意可得π r3＝4 π，解得 r＝ .又 2r＝ a，故 a＝2.以正方体各个面的中心为顶点的凸多面43 3 3 3体是两个全等的正四棱锥，该棱锥的高是正方体高的一半，底面面积是正方体一个面面积的一半，则凸多面体的体积 V＝2× × × ×2＝ ，故选 C.13 (12×2×2) 12 4310. 如图，若 Ω 是长方体 ABCD­A1B1C1D1被平面 EFGH 截去几何体 EFGHB1C1后得到的几何体，其中 E 为线段 A1B1上异于 B1的点， F 为线段 BB1上异于 B1的点，且 EH∥ A1D1，则下列结论中不正确的是( )3A． EH∥ FGB．四边形 EFGH 是矩形C． Ω 是棱柱D． Ω 是棱台解析：选 D．因为 EH∥ A1D1，A1D1∥ B1C1，所以 EH∥ B1C1.所以 EH∥平面 BCGF.因为平面 EFGH∩平面 BCGF＝ GF，所以 EH∥ FG，故 A 对．因为 B1C1⊥平面 A1B1BA，EF 平面 A1B1BA，所以 B1C1⊥ EF，则 EH⊥ EF.又平面 ABB1A1∥平面 DCC1D1，且与平面 EFGH 的交线分别为 EF， GH，所以 EF∥ GH，所以四边形 EFGH 为平行四边形，故它也是矩形，故 B 对．由 EH∥ B1C1∥ FG，故 Ω 是棱柱，故 C 对，选 D．11．如图，正方体 ABCD­A1B1C1D1中， E 是棱 BB1的中点，用过点 A， E， C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为( )解析：选 C.如图补全过 A， E， C1的平面，将上半部分切去，所以左视图如 C 选项，故选 C.12. 如图，在直三棱柱 ABC­A1B1C1中， AB＝ BC＝ ， BB1＝2，∠ ABC＝90°， E， F 分别2为 AA1， C1B1的中点，沿棱柱的表面从 E 到 F 两点的最短路径的长度是( )A. B．22 2C. D．2322 2解析：选 C.将直三棱柱侧面、底面展开有三种情形，如图．4在(1)中， EF＝ A1E2＋ A1F2＝ ＝ ；12＋ (322)2 222在(2)中， EF＝ EG2＋ FG2＝ ＝ ；（ 2） 2＋ (1＋ 22)2 14＋ 422在(3)中， EF＝ EG2＋ FG2＝ ＝ .(32)2 ＋ (32)2 322比较知(3)最小．二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上)13. 有一木块如图所示，点 P 在平面 A′ C′内，棱 BC 平行于平面 A′ C′，要经过 P和棱 BC 将木料锯开，锯开的面必须平整，则有________种锯法．解析：因为 BC∥平面 A′ C′， BC∥ B′ C′，所以平面 A′ C′上过 P 作 EF∥ B′ C′，则 EF∥ BC，所以过 EF， BC 所确定的平面锯开即可．又由于此平面唯一确定，所以只有一种锯法．答案：114．在四面体 ABCD 中，已知棱 AC 的长为 ，其余各棱长都为 1，则二面角 A­CD­B 的2余弦值为________．解析：取 AC 的中点 E，取 CD 的中点 F(图略)，则 EF＝ ， BE＝ ， BF＝ ，结合图形12 22 32知二面角 A­CD­B 的余弦值 cos θ ＝ ＝ .EFBF 33答案：3315．半径为 R 的半球，一正方体的四个顶点在半球的底面上，其余四个顶点在半球的球面上，则该正方体的表面积为________．解析：如图，作出半球沿正方体对角面的轴截面，设正方体的棱长为 a，则 a2＋ ＝ R2，(22a)2 所以 a2＝ R2，所以 S＝6× a2＝4 R2.23答案：4 R216. 如图是古希腊数学家阿基米德的墓碑，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切5球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，则圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为________，________．解析：设球的半径为 R，则圆柱的底面半径为 R，高为 2R，所以 V 圆柱 ＝π R2×2R＝2π R3，V 球 ＝ π R3，所以 ＝ ＝ ，43 V圆 柱V球 2π R343π R3 32S 圆柱 ＝2π R×2R＋2×π R2＝6π R2，S 球 ＝4π R2，所以 ＝ ＝ .S圆 柱S球 6π R24π R2 32答案：3∶2 3∶2三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分 10 分)某几何体的三视图如图，其中俯视图的内外均为正方形，边长分别为 2 和 4，几何体的高为 3，求此几何体的表面积和体积．解：依题意得侧面的高h′＝ ＝ ，（ 2－ 1） 2＋ 32 10S＝ S 上底 ＋ S 下底 ＋ S 侧面＝2 2＋4 2＋4× ×(2＋4)×12 10＝20＋12 ，10所以几何体的表面积为 20＋12 .10体积 V＝ (42＋2 2＋2×4)×3＝28.1318．(本小题满分 12 分)如图所示，四边形 ABCD 是直角梯形，求图中阴影部分绕 AB 旋转一周所成几何体的表面积和体积．(单位：cm)解：由题意知该几何体的表面积等于圆台下底面积、圆台的侧面积与半球面面积的和．6又 S 半球面 ＝ ×4π×2 2＝8π(cm 2)，12S 圆台侧 ＝π(2＋5) ＝35π(cm 2)， （ 5－ 2） 2＋ 42S 圆台下底 ＝π×5 2＝25π(cm 2)，所以所成几何体的表面积为8π＋35π＋25π＝68π(cm 2)．由题意知该几何体的体积等于圆台的体积减去半球的体积．又 V 圆台 ＝ ×(22＋2×5＋5 2)×4＝52π(cm 3)， π 3V 半球 ＝ × ×23＝ (cm3)，12 4π3 16π3所以该几何体的体积为V 圆台 － V 半球 ＝52π－ ＝ (cm3)．16π3 140π319．(本小题满分 12 分)如图，圆锥 SO 中， AB， CD 为底面圆的两条直径， AB∩ CD＝ O，且AB⊥ CD， SO＝ OB＝2， P 为 SB 的中点．(1)求证： SA∥平面 PCD；(2)求异面直线 SA 与 PD 所成角的正切值．解：(1)证明：连接 PO，因为 P， O 分别为 SB， AB 的中点，所以 PO∥ SA.因为 PO 平面 PCD， Sa 平面 PCD，所以 SA∥平面 PCD．(2)因为 PO∥ SA，所以∠ DPO 为异面直线 SA 与 PD 所成的角．因为 AB⊥ CD， SO⊥ CD， AB∩ SO＝ O，所以 CD⊥平面 SOB． 因为 PO 平面 SOB，所以 OD⊥ PO.在 Rt△ DOP 中， OD＝2， OP＝ SA＝ SB＝ ，所以 tan∠ DPO＝ ＝ ＝12 12 2 ODOP 22，2所以异面直线 SA 与 PD 所成角的正切值为 .220．(本小题满分 12 分)如图所示，正三棱柱 A1B1C1­ABC 中，点 D 是 BC 的中点， BC＝ BB1，设 B1D∩ BC1＝ F.2求证：(1)A1C∥平面 AB1D；7(2)BC1⊥平面 AB1D．证明：(1)连接 A1B，设 A1B 与 AB1交于 E，连接 DE.因为点 D 是 BC 的中点，点 E 是 A1B 的中点．所以 DE∥ A1C.因为 A1C平面 AB1D， DE 平面 AB1D，所以 A1C∥平面 AB1D．(2)因为△ ABC 是正三角形，点 D 是 BC 的中点，所以 AD⊥ BC.因为平面 ABC⊥平面 B1BCC1，平面 ABC∩平面 B1BCC1＝ BC， AD 平面 ABC，所以 AD⊥平面 B1BCC1.因为 BC1 平面 B1BCC1，所以 AD⊥ BC1.因为点 D 是 BC 的中点， BC＝ BB1，所以 BD＝ BB1.222因为 ＝ ＝ ，BDBB1 CC1BC 22所以 Rt△ B1BD∽Rt△ BCC1.所以∠ BB1D＝∠ CBC1，∠ BDB1＝∠ CC1B，且∠ CBC1＋∠ CC1B＝90°，所以∠ CBC1＋∠ BDB1＝90°.所以 BC1⊥ B1D，又 AD∩ B1D＝ D，所以 BC1⊥平面 AB1D．21．(本小题满分 12 分)如图，直三棱柱 ABC­A1B1C1的底面是边长为 2 的正三角形，E， F 分别是 BC， CC1的中点．(1)证明：平面 AEF⊥平面 B1BCC1；(2)若直线 A1C 与平面 A1ABB1所成的角为 45°，求三棱锥 F­AEC 的体积．解：(1)证明：如图，因为三棱柱 ABC­A1B1C1是直三棱柱，所以 AE⊥ BB1.又 E 是正三角形 ABC 的边 BC 的中点，所以 AE⊥ BC.因此 AE⊥平面 B1BCC1.而 AE 平面 AEF，所以平面 AEF⊥平面 B1BCC1.(2)设 AB 的中点为 D，连接 A1D， CD．8因为△ ABC 是正三角形，所以 CD⊥ AB．又三棱柱 ABC­A1B1C1是直三棱柱，所以 CD⊥ AA1.因此 CD⊥平面 A1ABB1，于是∠ CA1D 为直线 A1C 与平面 A1ABB1所成的角．由题设，∠ CA1D＝45°，所以 A1D＝ CD＝ AB＝ .32 3在 Rt△ AA1D 中， AA1＝ ＝ ＝ ，所以 FC＝ AA1＝ .A1D2－ AD2 3－ 1 212 22故三棱锥 F­AEC 的体积V＝ S△ AEC·FC＝ × × ＝ .13 13 32 22 61222．(本小题满分 12 分)在四棱锥 P­ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， AB＝2， BC＝ a，又侧棱 PA⊥底面 ABC D．(1)当 a 为何值时， BD⊥平面 PAC？试证明你的结论；(2)当 a＝4 时，求证： BC 边上存在一点 M，使得 PM⊥ DM；(3)若在 BC 边上至少存在一点 M，使 PM⊥ DM，求 a 的取值范围．解：(1)当 a＝2 时， ABCD 为正方形，则 BD⊥ AC，又因为 PA⊥底面 ABCD， BD 平面 ABCD，所以 BD⊥ PA，又因为 PA∩ AC＝ A，所以 BD⊥平面 PAC.故当 a＝2 时， BD⊥平面 PAC.(2)证明：当 a＝4 时，取 BC 边的中点 M， AD 边的中点 N，连接 AM， DM， MN，因为四边形 ABMN 和四边形 DCMN 都是正方形，所以∠ AMD＝∠ AMN＋∠ DMN＝45°＋45°＝90°，即 DM⊥ AM，又因为 PA⊥底面 ABCD，所以 PA⊥ DM，又 AM∩ PA＝ A，所以 DM⊥平面 PAM，得 PM⊥ DM，故当 a＝4 时， BC 边的中点 M 使 PM⊥ DM.(3)假设 BC 边上存在点 M，使得 PM⊥ DM，因为 PA⊥底面 ABCD，所以， M 点应是以 AD 为直径的圆和 BC 边的交点，则 AD≥2 AB，即 a≥4 为所求．