1、13 匀变速直线运动的位移与时间的关系学习目标 1.知道 v t 图象中的“面积”与位移的对应关系.2.经历位移公式的研究过程，理解公式的意义及正负号的意义.3.能运用位移公式解决简单问题.4.掌握匀变速直线运动x t 图象的特点，并会用它解决简单的问题.一、匀速直线运动的位移1.位移公式： x vt.2.位移在 v t 图象中的表示：对于匀速直线运动，物体的位移在数值上等于 v t 图线与对应的时间轴所包围的矩形的面积.如图 1 所示阴影图形的面积就等于物体在 t1时间内的位移.图 1二、匀变速直线运动的位移1.位移在 v t 图象中的表示：做匀变速直线运动的物体的位移对应着 v t 图线与
2、时间轴所包围的梯形面积.如图 2 所示，阴影图形的面积等于物体在 t1时间内的位移.2图 22.公式： x v0t at2.12三、位移时间图象( x t 图象)1.x t 图象：以时间 t 为横坐标，以位移 x 为纵坐标，描述位移随时间的变化规律.2.常见的 x t 图象：(1)静止：一条平行于时间轴的直线.(2)匀速直线运动：一条倾斜的直线.3.x t 图象的斜率等于物体的速度.1.判断下列说法的正误.(1)位移公式 x v0t at2仅适用于匀加速直线运动.()12(2)初速度越大，时间越长，做匀变速直线运动的物体的位移一定越大.()(3)匀变速直线运动的位移与初速度、加速度、时间三个因
3、素有关.()2.如图 3 所示为某一质点沿直线运动的 x t 图象，则质点在第 1 s 内做_运动，13 s 内_.第 1 s 内速度为_，13 s 内速度为_，35 s 内速度为_，05 内的位移为_.图 3答案 匀速 静止 10 m/s 0 5 m/s 0【考点】 x t 图象【题点】变速直线运动的 x t 图象3一、匀变速直线运动的位移时间关系式某质点做匀变速直线运动，已知初速度为 v0，在 t 时刻的速度为 v，加速度为 a.完成下列填空，推导匀变速直线运动的位移时间关系，体会微元法的基本思想.(1)把匀变速直线运动的 v t 图象分成几个小段，如图 4 所示.每段位移每段起始时刻速度
4、每段的时间对应矩形的面积.故整个过程的位移各个小矩形的_.图 4(2)把运动过程分为更多的小段，如图 5 所示，各小矩形的_可以更精确地表示物体在整个过程的位移.图 5(3)把整个运动过程分得非常细，如图 6 所示，很多小矩形合在一起形成了一个梯形OABC，_就代表物体在相应时间间隔内的位移.如图 6 所示， v t 图线下面梯形的面积图 6S (OC AB)OA12把面积及各条线段换成其所代表的物理量，上式变成x (v0 v)t12又因为 v v0 at由式可得4x v0t at2.12答案 (1)面积之和 (2)面积之和 (3)梯形面积1.公式的适用条件：位移公式 x v0t at2只适用
5、于匀变速直线运动.122.公式的矢量性： x v0t at2为矢量公式，其中 x、 v0、 a 都是矢量，应用时必须选取正12方向.一般选 v0的方向为正方向.(1)a：匀加速直线运动中， a 与 v0同向， a 取正值；匀减速直线运动中， a 与 v0反向， a 取负值.(2)若位移的计算结果为正值，说明位移方向与规定的正方向相同；若位移的计算结果为负值，说明位移方向与规定的正方向相反.3.两种特殊形式(1)当 v00 时， x at2，即由静止开始的匀加速直线运动，位移 x 与 t2成正比.12(2)当 a0 时， x v0t，即匀速直线运动的位移公式.例 1 一个物体从静止开始做匀加速直
6、线运动，第 1 秒内的位移为 2 m，则下列说法正确的是( )A.物体运动的加速度为 2 m/s2B.物体第 2 秒内的位移为 4 mC.物体在第 3 秒内的平均速度为 8 m/sD.物体从静止开始通过 32 m 的位移需要 4 s 的时间答案 D解析 根据 x1 at12得，物体运动的加速度 a m/s24 m/s2，故 A 错误.物12 2x1t21 221体在第 2 s 内的位移 x2 at22 at12 4(41)m 6 m，故 B 错误.物体在第 3 s 内的12 12 12位移 x3 at32 at22 4(94) m10 m，则第 3 s 内的平均速度为 10 m/s，故 C 错
7、12 12 12误.物体从静止开始通过 32 m 的时间 t s4 s，故 D 正确.2xa 2324【考点】位移与时间关系的理解及应用【题点】位移与时间关系的应用针对训练 1 某物体做匀变速直线运动，其位移与时间的关系为 x0.5 t t2(m)，则当物体速度为 3 m/s 时，物体已运动的时间为( )5A.1.25 s B.2.5 s C.3 s D.6 s答案 A解析 由 x0.5 t t2知， v00.5 m/s， a2 m/s2，再由速度公式 v v0 at 知， t1.25 s，选项 A 正确.二、位移时间图象一列火车沿直线轨道运动，如图 7 描述了它关于出发点的位移随时间变化的情
8、况.图 7(1)火车最远距离出发点多少米？(2)试分析火车各阶段的运动状态.答案 (1)90 m(2)火车在前 2.5 min 内以 0.6 m/s 的速度做匀速直线运动，在 2.5 min 到 3 min 火车停在距出发点 90 m 的位置.1.对 x t 图象的理解(1)斜率：斜率的绝对值表示速度的大小，斜率的正负表示速度的方向.(2)截距：纵截距表示物体的起始位置.(3)交点：交点表示两物体在同一时刻处于同一位置，即相遇.2.几种常见的位移时间图象(1)静止物体的 x t 图象是平行于时间轴的直线，如图 8 中的直线 A.图 8(2)匀速直线运动的 x t 图象是一条倾斜的直线，如图中直
9、线 B 和 C，其斜率表示速度.其中 B 沿正方向运动， C 沿负方向运动.(3)匀变速直线运动的 x t 图象：由位移 x v0t at2可以看出， x 是 t 的二次函数.当12v00 时，匀变速直线运动的 x t 图象是顶点在坐标原点的一部分曲线，曲线上某点切线6的斜率表示那一时刻的速度，图 9 中切线斜率逐渐增大，质点的速度逐渐增大.图 9例 2 如图 10 是在同一条直线上运动的 A、 B 两质点的 x t 图象，由图可知( )图 10A.t0 时， A 在 B 后面B.B 质点在 t2秒末追上 A 并在此后跑在 A 的前面C.在 0 t1时间内 B 的运动速度比 A 大D.A 质点
10、在 0 t1时间内做加速运动，之后做匀速运动答案 B解析 由题图可知， t0 时， B 在 A 后面，故 A 错误； B 质点在 t2秒末追上 A 并在此后跑在A 的前面，B 正确；在 0 t1时间内 B 的斜率小于 A 的斜率，故 B 的运动速度比 A 小，C 错误；A 质点在 0 t1时间内做匀速运动，之后处于静止状态，故 D 错误.【考点】 x t 图象【题点】与 x t 图象有关的追及相遇问题x t 图象与 v t 图象的比较种类内容v t 图象 x t 图象图象上某点的纵坐标 表示瞬时速度 表示某一时刻的位置图线斜率 表示加速度 表示速度图线与时间轴所围面积 表示位移 无意义图线与纵
11、坐标轴的交点 表示初速度 表示初始时刻的位置两图线交点坐标表示速度相同，不表示相遇，往往是距离最大或最小的临界点表示相遇注意：(1)无论是 v t 图象还是 x t 图象都不是物体的运动轨迹.(2)v t 图象和 x t 图象都只能描述直线运动，不能描述曲线运动.7针对训练 2 (多选)下列所给的图象中能反映做直线运动的物体回到初始位置的是( )答案 ACD解析 A 项中，物体开始和结束时的纵坐标为 0，说明物体又回到了初始位置，A 正确；B 项中，物体一直沿正方向运动，位移增大，故无法回到初始位置，B 错误；C 项中，物体第 1 s 内的位移沿正方向，大小为 2 m，第 2 s 内的位移沿负
12、方向，大小为 2 m.故 2 s 末物体回到初始位置，C 正确；D 项中，物体做匀变速直线运动，2 s 末时物体的总位移为零，故物体回到初始位置，D 正确.【考点】运动图象的意义及应用【题点】 x t 图象和 v t 图象的综合应用三、刹车问题分析例 3 一辆汽车正在平直的公路上以 72 km/h 的速度行驶，司机看见红色信号灯便立即踩下制动器，此后，汽车开始做匀减速直线运动.设汽车减速过程的加速度大小为 5 m/s2，求：(1)开始制动后，前 2 s 内汽车行驶的距离；(2)开始制动后，前 5 s 内汽车行驶的距离.答案 (1)30 m (2)40 m解析 汽车的初速度 v072 km/h2
13、0 m/s，末速度 v0，加速度 a5 m/s2；汽车运动的总时间 t 4 s.v v0a 0 20 m/s 5 m/s2(1)因为 t12 s t，所以汽车 5 s 时早已停止运动故 x2 v0t at2(204 542) m40 m12 12【考点】刹车问题及逆向思维【题点】刹车问题中的位移计算8刹车类问题的处理思路实际交通工具刹车后在摩擦力作用下可认为是做匀减速直线运动，当速度减小到零时，车辆就会停止.解答此类问题的思路是：(1)先求出它们从刹车到停止的刹车时间 t 刹 ；v0a(2)比较所给时间与刹车时间的关系确定运动时间，最后再利用运动学公式求解.若 tt 刹 ，不能盲目把时间代入；
14、若 tt 刹 ，则在 t 时间内未停止运动，可用公式求解.针对训练 3 汽车以 20 m/s 的速度做匀速直线运动，某时刻关闭发动机而做匀减速直线运动，加速度大小为 5 m/s2，则它关闭发动机后通过 37.5 m 所需时间为( )A.3 s B.4 s C.5 s D.6 s答案 A解析 根据 x v0t at2，将 v020 m/s， a5 m/s2， x37.5 m，代入得： t13 12s， t25 s但因刹车时间 t0 4 s，所以 t25 s 应舍去.故只有选项 A 正确.0 v0a【考点】刹车问题及逆向思维【题点】刹车问题中的位移计算1.(位移公式)一辆汽车以 2 m/s2的加速
15、度做匀减速直线运动，经过 2 s(汽车未停下)，汽车行驶了 36 m.汽车开始减速时的速度是( )A.9 m/s B.18 m/sC.20 m/s D.12 m/s答案 C解析 由 x v0t at2，将 x36 m， a2 m/s 2， t2 s，代入解得： v020 m/s，选项12C 正确.2.(位移公式和速度公式)飞机起飞的过程是由静止开始在平直跑道上做匀加速直线运动的过程.飞机在跑道上加速到某速度值时离地升空飞行.已知飞机在跑道上加速前进的距离为 1 600 m，所用时间为 40 s，则飞机的加速度 a 和离地速度 v 分别为( )A.2 m/s2 80 m/s B.2 m/s2 4
16、0 m/s9C.1 m/s2 40 m/s D.1 m/s2 80 m/s答案 A解析 根 据 x at2得 a m/s2 2 m/s2， 飞 机 离 地 速 度为 v at240 12 2xt2 2 1 600402m/s80 m/s.3.(x t 图象)(多选)一遥控玩具小汽车在平直路面上运动的位移时间图象如图 11 所示，则下列说法正确的是( )图 11A.前 15 s 内汽车的位移为 30 mB.20 s 末汽车的速度为1 m/sC.前 10 s 内汽车的加速度为 3 m/s2D.前 25 s 内汽车做单方向直线运动答案 AB解析 从题图中可以看出前 15 s 内汽车的位移为 30 m
17、，选项 A 正确；图象的斜率表示速度，故 1525 s 内汽车反向做匀速直线运动，速度为 v m/s1 m/s，选项 B 正确；20 3025 15前 10 s 内汽车做匀速直线运动，加速度为零，1015 s 内汽车静止，1525 s 内汽车做反向匀速直线运动，选项 C、D 错误.【考点】 x t 图象【题点】变速直线运动的 x t 图象4.(x t 图象与 v t 图象的比较)(多选)物体甲的 x t 图象和物体乙的 v t 图象分别如图12 甲、乙所示，则这两物体的运动情况是( )图 12A.甲在整个 t6 s 时间内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为 4 mB.甲在整个 t6 s 时
18、间内来回运动，它通过的总位移为零C.乙在整个 t6 s 时间内来回运动，它通过的总位移为零D.乙在整个 t6 s 时间内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为 4 m10答案 AC解析 x t 图象中，初位置2 m 到末位置 2 m 的总位移为 4 m，整个过程运动方向不变，一直是正方向. v t 图象中，图线与时间轴围成的面积表示位移，后 3 s 的运动方向发生改变，所以物体的总位移为零.【考点】运动图象的意义及应用【题点】 x t 图象和 v t 图象的综合应用5.(刹车类问题)一辆卡车紧急刹车过程加速度的大小是 5 m/s2，如果在刚刹车时卡车的速度为 10 m/s，求：(1)刹车开始后
19、 1 s 内的位移大小；(2)刹车开始后 3 s 内的位移大小和 3 s 内的平均速度大小.答案 (1)7.5 m (2)10 m m/s103解析 (1) v010 m/s， a5 m/s 2， t11 s， x1 v0t1 at1212解得 x17.5 m.(2)设经时间 t0停下， t0 s2 s0 v0a 0 10 5t23 s 内的位移大小等于前 2 s 内的位移大小x2 v0t0 at0210 m123 s 内的平均速度 m/s.vx2t2 103(或由逆向思维法求刹车后 3 s 内的位移 x2 a t02 522 m10 m.)12 12【考点】刹车问题及逆向思维【题点】刹车问题
20、中的位移计算一、选择题考点一 位移与时间关系的理解及应用1.(多选 )一 质 点 以 一 定 的 初 速 度 向 东 做 匀 变 速 直 线 运动，其位移与时间的关系为 x10 t t2 (m)，则( )A.质点初速度为 10 m/sB.质点的加速度大小是 1 m/s2C.2 s 末的速度为 6 m/s11D.在 2 s 末，质点在出发点西边，距出发点 24 m答案 AC【考点】位移与时间关系的理解及应用【题点】位移与时间关系的理解2.一物体由静止开始做匀变速直线运动，在时间 t 内通过的位移为 x，则它从出发开始经过4x 的位移所用的时间为( )A. B. C.2t D.4tt4 t2答案
21、C解析 由 x at2和 4x at 2得： t2 t，故 C 对.12 12【考点】位移与时间关系的理解及应用【题点】位移与时间关系的应用3.一个物体由静止开始做匀加速直线运动，第 1 s 内的位移是 1 m，物体在第 3 s 内的位移是( )A.2 m B.3 mC.5 m D.8 m答案 C解析 根据 x1 at12得物体的加速度为： a m/s22 m/s 2，12 2x1t21 2112则物体在第 3 s 内的位移为： x at32 at22 2(94) m5 m12 12 12【考点】位移与时间关系的理解及应用【题点】位移与时间关系的应用4.(多选)由静止开始做匀加速直线运动的火车
22、，在第 10 s 末的速度为 2 m/s，下列叙述中正确的是( )A.前 10 s 内通过的位移为 10 mB.每秒速度变化 0.2 m/sC.前 10 s 内平均速度为 1 m/sD.第 10 s 内的位移为 2 m答案 ABC解析 由 v at，得 a0.2 m/s2，故前 10 s 内的位移 x at2 0.2102 m10 m，选12 12项 A、B 正 确 .前 10 s 内 平 均 速 度 m/s 1 m/s， 选 项 C 正 确 .t 10 s 时 ，vxt 101012x10 at2 a(t 1)21.9 m，选项 D 错误.12 12【考点】位移与时间关系的理解及应用【题点】
23、位移与时间关系的应用5.一列火车从静止开始做匀加速直线运动，一人站在第一节车厢前端的旁边观测，第一节车厢通过他历时 2 s，整列车厢通过他历时 6 s，则这列火车的车厢有( )A.3 节 B.6 节 C.9 节 D.12 节答案 C解析 设一节车厢长为 L，则 L at12， nL at22.12 12将 t12 s， t26 s 代入上面两式解得： n9，选项 C 正确.【考点】位移与时间关系的理解及应用【题点】位移与时间关系的应用考点二 x t 图象6.如图 1 所示是一辆汽车做直线运动的 x t 图象，对线段 OA、 AB、 BC、 CD 所表示的运动，下列说法正确的是( )图 1A.O
24、A 段运动速度最大B.AB 段物体做匀速运动C.CD 段的运动方向与初始运动方向相反D.运动 4 h 汽车的位移大小为 30 km答案 C解析 分析题图可知： OA 段表示汽车向正方向做匀速直线运动， vOA 15 km/h， AB15 km1 h段表示汽车静止； BC 段表示汽车向正方向做匀速直线运动， vBC 15 30 15 km1 hkm/h； CD 段表示汽车反方向做匀速直线运动， vCD 30 km/h，负号表示运动0 30 km1 h方向与初始运动方向相反.运动 4 h 汽车的位移大小为 0.【考点】 x t 图象【题点】变速直线运动的 x t 图象7.A、 B 两质点从同一地点
25、运动的 x t 图象如图 2 所示，下列说法中正确的是( )13图 2A.A、 B 两质点在 4 s 末速度相等B.前 4 s 内 A、 B 之间距离先增大后减小，4 s 末两质点相遇C.前 4 s 内 A 质点的位移小于 B 质点的位移，后 4 s 内 A 质点的位移大于 B 质点的位移D.B 质点先加速后减速，8 s 末回到出发点答案 B解析 x t 图象中，切线的斜率大小表示速度大小，4 s 末二者的斜率不同，所以速度不同，A 错误；前 4 s 内 A、 B 之间距离先增大后减小，4 s 末两质点相遇，B 正确；前 4 s 内 A 质点的位移等于 B 质点的位移，后 4 s 内 A 质点
26、的位移等于 B 质点的位移，C 错误；由图线切线的斜率知， B 质点先减速后加速，8 s 末回到出发点，D 错误.【考点】 x t 图象【题点】与 x t 图象有关的追及相遇问题8.如图 3 所示为物体做直线运动的 v t 图象.若将该物体的运动过程用 x t 图象表示出来(其中 x 为物体相对出发点的位移)，则下面的四幅图描述正确的是( )图 3答案 C解析 0 t1时间内物体匀速正向运动，故选项 A 错； t1 t2时间内，物体静止，且此时离出发点有一定距离，选项 B、D 错； t2 t3时间内，物体反向运动，且速度大小不变，即x t 图象中，0 t1和 t2 t3两段时间内，图线斜率大小
27、相等，故 C 对.【考点】运动图象的意义及应用【题点】 x t 图象和 v t 图象的综合应用14考点三 刹车类问题9.一辆汽车以 20 m/s 的速度沿平直公路匀速行驶，突然发现前方有障碍物，立即刹车，汽车以大小为 5 m/s2的加速度做匀减速直线运动，那么刹车后 2 s 内与刹车后 6 s 内汽车通过的位移大小之比为( )A.11 B.34 C.31 D.43答案 B解析 汽车的刹车时间 t0 s4 s，故刹车后 2 s 及 6 s 内汽车的位移大小分别为205x1 v0t1 at12202 m (5)2 2 m30 m， x2204 m (5)4 2 m40 12 12 12m， x1
28、x234，B 正确.【考点】刹车问题及逆向思维【题点】刹车问题中的位移计算10.一辆汽车做匀速运动，某时刻遇到紧急情况需刹车，刹车后的第 1 秒内运动了 8 m，第2 秒内运动了 4 m，关于汽车的运动和刹车过程，下列说法正确的是( )A.汽车匀速运动时的速度是 8 m/sB.汽车刹车时的加速度大小是 2 m/s2C.汽车刹车后 3 秒末的加速度为 0D.汽车刹车后运动的距离是 16 m答案 C解析 由位移时间公式可知，v01 a12812v02 a228412由联立得 v010 m/s， a4 m/s 2，A、B 错误.刹车减速到零所需时间 t s2.5 s，故刹车后 3 s 末的速度为零，
29、故 C 正0 v0a 0 10 4确.刹车后的运动距离为 x v0t at2102.5 m 42.52 m12.5 m，故 D 错误.12 12【考点】刹车问题及逆向思维【题点】刹车问题中的位移计算二、非选择题11.(位移与时间的关系)一物体由静止开始做匀加速直线运动，前 4 s 内的位移是 64 m，求：(1)物体在前一半时间内所通过的位移大小.15(2)经过后一半位移所需的时间.答案 (1)16 m (2)(42 ) s2解析 (1)由 x at2，得 a 2 m/s28 m/s2，则物体在前一半时间内的位移 x112 2xt2 6416at12 822 m16 m.12 12(2)根据
30、x at 2，得 t 2 s，经过后一半位移所需时间12 2xa 2328 2t t t(42 ) s.2【考点】位移与时间关系的理解及应用【题点】位移与时间关系的应用12.(刹车问题及逆向思维)汽车以 v010 m/s 的速度在水平路面上匀速运动，刹车后经过 2 s 速度变为 6 m/s，若将刹车过程视为匀减速直线运动，求：(1)从开始刹车起，汽车在 6 s 内发生的位移大小；(2)汽车静止前 2 s 内通过的位移大小.答案 (1)25 m (2)4 m解析 (1)汽车刹车时的加速度： a m/s22 m/s 2，v v0t 6 102则汽车速度减为零所需的时间： t0 s5 s6 s.0
31、v0a 10 2则 6 s 内的位移等于 5 s 内的位移： x v0t0 at02105 m 252 m25 m.12 12(2)采用逆向思维，汽车在静止前 2 s 内的位移： x a t 2 222 m4 m.12 12【考点】刹车问题及逆向思维【题点】逆向思维法的应用13.(速度公式与位移公式的综合应用)在高速公路上，有时会发生“追尾”事故后面的汽车撞上前面的汽车.某段平直高速公路的最高车速限制为 108 km/h.设某人驾车正以最高时速沿该高速公路匀速行驶，该车刹车时产生的加速度大小为 5 m/s2，该人的反应时间(从意识到应该停车到操作刹车的时间)为 0.5 s.计算行驶时的安全车距至少为多少？答案 105 m解析 汽车原来的速度 v0108 km/h30 m/s运动过程如图所示16在反应时间 t10.5 s 内，汽车做匀速直线运动的位移为 x1 v0t1300.5 m15 m刹车后，汽车做匀减速直线运动，滑行时间为 t2 s6 s0 30 5汽车刹车后滑行的位移为 x2 v0t2 at22306 m (5)6 2 m90 m12 12所以行驶时的安全车距至少应为 x x1 x215 m90 m105 m.【考点】刹车问题及逆向思维【题点】刹车问题中位移的计算
