1、从课本一道立体几何习题所想到的7.数学教学 2007 年第 7 期从课本一道立体几何习题所想到的200030 上海市徐汇中学袁小清习题:从平面上一个角 ZAPC(=)的顶点 P 出发的一条空间射线 PE 与这个角的两边(PA,PC)所成的锐角相等 (EP=ZEPC=),求证:这条射线在这个角所在的平面的射影是这个角的平分线(证明略).疑问 1:射线 PE 与平面 PAC 所成的角为多大(即:能用,表示吗)?上述习题还可引申为如此问题:疑问 2:如果异面直线 a,6 所成的角为,P为空间一定点,则通过点 P 且与 a,6 所成的角都是的直线有多少条?也就是说这两锐角与满足怎样的关系时,射线 PE
2、 存在呢?有多少条呢?为了解决疑问 2,在这里先设,都是锐角.如图 1,过点 P 作直线 ABffa,作直线 CDffb.不妨设 PC=,则 APD=180.一.若存在直线 PE,使 EP=EPC=,那么,过点 E 作 EAaj_PA 于点 1,作 EC1j_PC 于点 C1,连结 OAa,0C1,由上述习题可以得到 PE 在平面 APC 内的射影 PO 是 ZAPC 的平分线.(2)心理暗示与思维定势是产生封闭认识的影响,讨论的比例就提高了(知识性失误也增加基本原因.了).表 4 大学生与中学生回答问题对照表(大学生 94 人,中学生 221 人)没有讨论 a=1 讨论 a=1项得出 a0
3、时其它得出 a=l 时其它z=一 1zR:a0目且 a1 时z=一 1百分百分百分百分人数人数人数人数比比比比大学生求解推广方 7883%910%11%66%程中学生求 5625%94%11251%4420%解方程由表 4 可见,大学生虽然并不缺少相关知识,但只有个别人讨论,93%的人都没有讨论 a=1,而知识和能力都不如大学生的中学生,却有 71%的人能想到讨论 a=1(虽有 20%的人没讨论好).为什么知识少的能做到,知识多的反而做不到?我们认为,关键在于有没有例 1 的诱导.对于大学生,例 1 的推广过程产生了心理暗示(原因 1),再加上“指数函数定义 “思维定势的推动 (原因 2),知
4、识明确也产生认识封闭;对于中学生,脱离了例 1 的诱导,只受到“指数函数定义 “思维定势的(3)正确与封闭并存的现象是存在的.课堂的教学,学生虽然理性接受了,但原有的封闭认识并非就同步消除了,遇到类似的情境时,封闭认识还会重复表现出来.这可以称为封闭认识的顽固性,其根源在于正确与封闭可以并存.这听起来有点矛盾,但我们还是应该承认它,并努力改变它.这些事实对我们的传统认识是一种冲击,至少是我们善良期待的一个挫折,我们总认为,知识的明确或正式的纠错可以消除认识的封闭,而事实上这中间还有大量的工作需要我们去做.怎样消除明确知识在应用中的认识封闭值得研充怎样消除“理性已接受 ,行动仍依旧 “的矛盾现象
5、值得研究.以上叙事,虽然不无个案的支持,但还缺少广泛的实证,虽然已有理性的说明,但主要还是感性的经验.我们更愿意将其看成实验假设,并期望一线教师去实证相关的课题.参考文献1罗增儒.解题顺序与解题长度.中学数学.1996.10.2007 年第 7 期数学教学 7此时,疑问 1 显然比较好解决,AEPO 就是直线 JF)E 与平面 PAC 所成的角.图 l?.RtAPOC 中 jC.s=器,RtAPEC1 中,cos/3:,RtAPEO,coSAEPO:两 OP,.?.cosZEPO:cos/?,啷也就是说,如果满足条件的射线 PE 存在,那么JF)E 与平面 JF)所成的角为 .从这个结cos论
6、中又发现 COSZEPOCOS, 根据余弦函数在(0,吾 )上单调递减得 AEPO(当且仅当ZEPO=:90.时等号成立 ),于是得结论 1:直线与平面所成的角是该直线与平面内任一条直线所成的一切角(90.)中最小的角.结论 2:设直线 Z 在平面内的射影为直线 a,直线 b 为平面 Q 内的任一直线,如果直线 2 与平面所成的角为 01,直线 a 与直线 6 所成的角为 02,直线 2 与直线 b 所成的角为 03,则 COS01.COS02:COS03(其中 l,2,3 为锐角).我们再回到问题 2,在 RtAPEA1 中 tan:瓮,在 RtAPOA 中 tanOL=,?.?.taI1n
7、 芸 ,JF)】,/JF)】一,/根据正切函数在(0,) 上单调增,于是得(当 P 与尸(二)重合时等号成立).同理,若 ZEPD=AEPB:,则180-一a,即90.一 OL,(注.Q 为锐角,.?.90. 一 OL).由此可得结论 3:当且90.一时,满足条件的直线不存在;当=昙且 90.一 OL 时,满足条件的直线有且仅有 1 条;当90.一时,满足条件的直线有且仅有 2 条;当=90. 一且 -ff 时,满足条件的直线有且仅有 3 条;当 90.一昙90且昙时,满足条件的直线有且仅有 4 条.若=90. 且 0.90.可同样讨论:若 0.90.且=90., 满足条件的直线有且仅有 1
8、条;若=90. 且=90.,满足条件的直线有且仅有 1 条.(上接第 7_17 页)Gk 一 1.即 n=七一 1 时,不等式也成立.这样以_=G,2,.?.A2:半,/G2G=G2+?,即 m=+1 时,也成立.由,知,mN+时,成立.第二段:由式,n=2 时,AnGn.假设 n=时 ,AkGk(n),贝 0al+a2+ak 1+G 一 1_=Gk 一 1.由此解得一=卜_每个 n=2m(m=1,2,)为起点倒推,可知对任意 nN+,都有G.再由两段证明过程可知,当且仅当 al=a2=a 时取等号.也可探索其他证法,如凸函数法等等.参考文献1】史济怀 .平均.科学出版社.2002 第 9-24页.【2】华罗庚.数学归纳法.科学出版社.2002第 64-68 页.3】汤先键 .发掘课本潜力提高复习效果.中学数学.1990.2 第 32 页.
