1、高考冲刺分类讨论的思想编稿：孙永钊审稿：张林娟【高考展望】数学中的分类讨论贯穿课本的各个部分，它不仅方法多样，同时存在特不强的综合性跟逻辑性.分类讨论是处理征询题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想关于简化研究东西，展开人的思想有着要紧帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高检验题中占据要紧位置。所谓分类讨论，的确是当征询题所给的东西不克不迭停顿不合研究时，就需要对研究东西按某个标准分类，然后对每一类分不研究得出每一类的结论，最后综合各种结果掉掉落全体征询题的解答.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整的数学策略.分类讨论思想是一种要紧的数学思想，它在人的思想展开中有着要紧的感
2、染，因此在近多青年的高检验题中，他都被列为一种要紧的思想方法来考察。分类讨论是每年高考必考的内容，高考对本专题的考察为：将有一道中档或中档偏上的题目，其求解思路开门见山依靠于分类讨论，特不关注以下方面：涉及指数、对数底的讨论，含参数的一元二次不等式、等比数列求跟，由求等。【知识升华】1分类讨论的稀有状况1由数学不雅念引起的分类讨论：要紧是指有的不雅念本身是分类的，在差异条件下有差异结论，那么必须停顿分类讨论求解，如绝对值、直线歪率、指数函数、对数函数等.2由性质、定理、公式引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在差异条件下结论不不合，如二次函数y=ax2+bx+c(a0)，由a
3、的正负而导致开口倾向不判定，等比数列前n项跟公式因公比q能否为1而导致公式的表达式不判定等.3由某些数学式子变形引起的分类讨论：有的数学式子本身是分类给出的，如ax2+bx+c0，a=0，a0，a0解法是差异的.4由图形引起的分类讨论：有的图形的典范、位置也要分类，如角的终边所在象限，点、线、面的位置关系等.5由理论意思引起的讨论：此类征询题在运用题中稀有.6由参数变卦引起的讨论：所解征询题含有参数时，必须对参数的差异取值停顿分类讨论；含有参数的数学征询题中，参变量的差异取值，使得变形受限导致差异的结果.2.分类的原那么1每次分类的东西是判定的，标准是一致的；分类讨论征询题的难点在于什么时离开
4、始讨论，即见解什么缘故要分类讨论，又从几多方面开始讨论，只需清楚了讨论缘故，才能精确、恰本地停顿分类与讨论.这就恳求我们精确操纵所用的不雅念、定理、定义，考虑征询题要单方面.函数征询题中的定义域，方程征询题中根之间的大小，直线与二次曲线位置关系中的判不式等等，常常是分类讨论分不的按照.2每次分类的东西不遗漏、不重复、分层次、不越级讨论.当征询题中出现多个不判定因素时，要以起主导感染的因素停顿分不，做到不重不漏，然后对分不的每一类分不求解，再整合后掉掉落一个残缺的答案.数形结合是简化分类讨论的要紧方法.3.分类讨论的一般步伐第一，清楚讨论东西，判定东西的范围；第二，判定分类标准，停顿公正分类，做
5、到不重不漏；第三，逐类讨论，获得阶段性结果；第四，归纳总结，得出结论.4.分类讨论应留心的征询题第一，按主元分类的结果应求并集.第二，按参数分类的结果要分类给出.第三，分类讨论是一种要紧的解题策略，但这种分类讨论的方法偶尔比较繁杂，假设有可以，应尽管避免分类.【模典范题】典范一、不等式中参数的讨论征询题【例1】解关于的不等式：.【思路点拨】按照式子的特征，此题应先按对最高次项的系数能否为0来分类，然后对式子分析因式，并按两个根之间的大小关系来分类讨论.而关于与时，先写庞杂好作的.【分析】1事前，原不等式化为一次不等式：，；2事前，原不等式变为：，假设，那么原不等式化为，不等式解为或，假设，那么
6、原不等式化为，事前，不等式解为，事前，不等式解为；事前，不等式解为，综上所述，原不等式的解集为：事前，解集为；事前，解集为x|x1；事前，解集为；事前，解集为；事前，解集为.总结升华：这是一个含参数a的不等式，肯定是二次不等式吗？不用定，故起首对二次项系数a分类：1a02a=0，关于2，不等式易解；关于1，又需再次分类：a0或a0，由于这两种状况下，不等式解集方法是差异的；不等式的解是在两根之外，仍然在两根之间。而判定这一点之后，又会遇到1与谁大年夜谁小的征询题，因此又需作一次分类讨论。故而解题时，需要作三级分类。举一反三：【变式】解关于的不等式:.【分析】原不等式可分析因式为:，下面按两个根
7、与的大小关系分类1当，即或时，不等式为或，不等式的解集为：；1当，即时，不等式的解集为：；2当，即或时，不等式的解集为：；综上所述，原不等式的解集为：当或时，；事前，；当或时，.例2秋会宁县校级期末已经清楚关于x的不等式ax23x+20的解集为x|x1或xb1求a，b；2解关于x的不等式ax2ac+bx+bc0cR【思路点拨】1由一元二次不等式与一元二次方程的关系，可得1跟b是呼应方程的两个实数根，由根与系数的关系树破关于a、b的方程组，解之即可掉掉落实数a、b的值2由1，得所求不等式即x2c+2x+2c0，再讨论实数c与2的大小关系，即可掉掉落不等式在各种状况下的解集，掉掉落此题答案【分析】
8、1按照题意，得方程ax23x+2=0的两个根为1跟b，由根与系数的关系，得，解之得a=1，b=2；2由1得关于x的不等式ax2ac+bx+bc0，即x2c+2x+2c0，因式分析，得xcx20当c=2时，原不等式的解集为；当c2时，原不等式的解集为c，2；当c2时，原不等式的解集为2，c举一反三：【变式】春山西校级期末关于x的不等式ax2+a2x20aR1已经清楚不等式的解集为，12，+，求a的值；2解关于x的不等式ax2+a2x20【分析】1关于x的不等式ax2+a2x20可变形为ax2x+10，且该不等式的解集为，12，+，a0；又不等式对应方程的两个实数根为1跟2；=2，解得a=1；2a
9、=0时，不等式可化为2x20，它的解集为x|x1；a0时，不等式可化为ax2x+10，当a0时，原不等式化为xx+10，它对应的方程的两个实数根为跟1，且1，不等式的解集为x|x或x1；当a0时，不等式化为xx+10，不等式对应方程的两个实数根为跟1，在2a0时，1，不等式的解集为x|x1；在a=2时，=1，不等式的解集为x|x=1；在a2时，1，不等式的解集为x|1x综上，a=0时，不等式的解集为x|x1，a0时，不等式的解集为x|x或x1，2a0时，不等式的解集为x|x1，a=2时，不等式的解集为x|x=1，a2时，不等式的解集为x|1x典范二、函数与方程中的分类讨论征询题【例3】函数的图
10、象可以是【思路点拨】对底数分两种状况讨论，结合图像恒过的定点可解。【答案】D；【分析】事前单调递增，故A不精确；由于恒只是点，因此B不精确；事前单调递减，故C不精确；D精确.【总结升华】含有参数的函数的综合征询题本例是函数图像历来的确是高中数学的重点跟难点之一。求解此类征询题的关键一点的确是紧扣对称轴，依此来展开有条理性的分类讨论。举一反三：【变式】函数的图象经过点(-1，3)，且f(x)在(-1，+)上恒有f(x)3，不称心题意；(2)当，那么，现在，x(-1，+)时，即f(x)3，称心题意为所求.综上，.【例4】已经清楚函数(),.(1)假设曲线与曲线在它们的交点(1,)处存在大年夜众切线
11、,求的值;(2)事前,求函数的单调区间,并求其在区间上的最大年夜值.【思路点拨】(1)按照曲线y=fx与曲线y=gx在它们的交点1，c处存在大年夜众切线，可知切点处的函数值相当，切点处的歪率相当，故可求a、b的值。(2)运用分类讨论的方法对参数a停顿讨论求解。【分析】(1)由为大年夜众切点可得:,那么,那么,又,即,代入式可得:.(2),设那么,令,解得:,;,原函数在单调递增,在单调递减,在上单调递增假设,即时,最大年夜值为;假设,即时,最大年夜值为假设时,即时,最大年夜值为.综上所述:事前,最大年夜值为;事前,最大年夜值为.【总结升华】此题该当说是导数题目中较为常规的典范题目,考察的切线、
12、单调性、极值以及最值的征询题全然上课本中恳求的重点内容,也是老师操纵比较好的知识点.举一反三：【变式】设，1运用函数单调性的意思，揣摸f(x)在0，+上的单调性；2记f(x)在0x1上的最小值为g(a)，求y=g(a)的分析式.分析：1设0x1x20，ax1x20当0x1x2时，f(x2)-f(x1)0，即f(x2)f(x1)，那么f(x)在区间0，单调递减，当x1x20，即f(x2)f(x1)，那么f(x)在区间，+单调递增.2由于0x1，由1的结论，当01，即0a0(n1，2，3)(1)求q的取值范围；(2)设bnan2an1，记bn的前n项跟为Tn，试比较Sn与Tn的大小【思路点拨】(1
13、)按照条件列出关于q的不等式，留心分类讨论(2)能否揣摸bn为专门数列进而求跟作差、作商比较大小【分析】(1)an是等比数列，Sn0，可得a1S10，q0，当q1时，Snna10；当q1时，Sn，即(n1,2,3，)，上式等价于(n1,2,3，)或(n1,2,3，)，解式得q1；解式，由于n可为奇数、可为偶数，故1q0且1q0，因此当1q2时，TnSn0，即TnSn；当q2且q0时，TnSn0，即Tnbn；当n=10时，Sn=bn；当n11时，Snbn.典范四、分析几多何中的分类讨论征询题【例7】已经清楚椭圆C的方程为，点Pa,b的坐标称心，过点P的直线l与椭圆交于A、B两点，点Q为线段AB的
14、中点，求：1点Q的轨迹方程.2点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数.【思路点拨】此题求点的轨迹方程，点与椭圆的位置关系，直线与椭圆订交等知识.【分析】1设点A，B的坐标为x1，y1，x2，y2，点Q的坐标为Qx,y.当x1x2时，可设直线l：y=k(x-a)+b由已经清楚，y1=k(x1-a)+b,y2=k(x2-a)+b由得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0由得y1+y2=k(x1+x2)-2ak+2b由、及，得点Q的坐标称心方程2x2+y2-2ax-by=0当x1=x2时，l平行于y轴，因此AB的中点Q肯定落在x轴上，即Q的坐标为a,0，显然Q点的坐标称心方程.综上所
15、述，点Q的坐标称心方程：2x2+y2-2ax-by=0.设方程所表示的曲线为L，那么由，得2a2+b2x2-4ax+2-b2=0由于=8b2(a2+-1)，由已经清楚a2+1因此当a2+=1时，=0，曲线L与椭圆C有且只需一个大年夜众点Pa,b.当a2+1时0，曲线L与椭圆无交点，而由于0，0在椭圆C内，又在曲线L上，因此曲线L在椭圆C内.故点Q的轨迹方程为2x2+y2-2ax-by=0.(2)由，解得或，又由，解得或，那么当a=0,b=0,即点P(a,b)为原点.曲线L与坐标轴只需一个交点(0,0)当a=0且0|b|时,即点P(a,b)不在椭圆C外且在拆除原点的y轴上时,点(a,0)与(0,
16、0)重合，曲线L与坐标轴有两个交点(0,b)与(0,0)当b=0且0|a|1时，即点P(a,b)不在椭圆C外且在拆除原点的x轴上时,曲线L与坐标轴有两个交点(a,0)与(0,0).当0|a|1且0|b|时,即点P(a,b)在椭圆C内且不在坐标轴上时,曲线L与坐标轴有三个交点(a,0),(0,b)与(0,0).总结升华：此题充分运用了分类讨论的思想方法,以及综合运用知识解题的才能,此题运算量大年夜,涉及知识点较多,需要较高的运算才能跟逻辑推理才能,做为考题区分度好,特不是分类讨论时易出错.举一反三：【变式】讨论k的取值，说明方程表示的曲线.【分析】方程中x、y的平方项系数能否为0，能否相当决定着
17、方程表示的曲线，故需要对k值就以下状况分类讨论.当k2=0即k=0时，方程化为，表示顶点在原点，x轴为对称轴，开口向左的抛物线.当2k-1=0即时，方程化为x(x-8)=0x=0或x=8，表示y轴跟过点(8，0)歪率不存在的两平行直线.当k2=2k-1,即k=1时，方程化为，表示以(1，0)为圆心，半径为1的圆当k0，k1时方程可化为当方程表示中心在平行y轴直线上，中心在的椭圆事前，方程表示以为中心，中心在x轴上的双曲线.【总结升华】处理直线与圆锥曲线的位置关系时，待定直线方程需要考虑歪率不存在这种状况，分类讨论。【例8】已经清楚，为椭圆的左、右顶点，为其右中心，是椭圆上异于，的动点，且面积的
18、最大年夜值为求椭圆的方程及离心率；直线与椭圆在点处的切线交于点，当直线绕点转动时，试揣摸以为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明【思路点拨】1有待定系数法可求出椭圆方程。2先设出直线AP的方程，按照题意，表示出D、E的坐标，从而求出以BD为直径的圆的圆心跟半径，再将AP的方程与椭圆方程联破，掉掉落交点A、P的坐标关系，由于A点的坐标已经清楚，从而求出点P的坐标，然后分直线PF歪率存在跟不存在两种状况讨论直线PF与以BD为直径的圆的位置关系即可【分析】由题意可设椭圆的方程为，由题意知解得，故椭圆的方程为，离心率为以为直径的圆与直线相切证明如下：由题意可设直线的方程为.那么点坐标为，中点的坐标为由得设点的坐标为，那么因此，由于点坐标为，事前，点的坐标为，点的坐标为.直线轴，现在以为直径的圆与直线相切事前，那么直线的歪率.因此直线的方程为点到直线的距离又由于，因此故以为直径的圆与直线相切综上得，当直线绕点转动时，以为直径的圆与直线相切举一反三：【变式】已经清楚点，动点P称心，记动点P的轨迹为W求W的方程；直线与曲线W交于差异的两点C，D，假设存在点，使得成破，务虚数m的取值范围【分析】由椭圆的定义可知，动点P的轨迹是以A，B为中心，长轴长为的椭圆，W的方程是设C，D两点坐标分不为、，C，D中点为由得因此，从而歪率又，即事前，；事前，故所求的取范围是
