1、5.3破体向量的数量积最新考纲考情考向分析1.理解破体向量数量积的含义及其物理意思.2.理解破体向量的数量积与向量投影的关系.3.操纵数量积的坐标表达式，会停顿破体向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积揣摸两个破体向量的垂直关系.要紧调查运用数量积的定义处置数量积的运算、投影、求模与夹角等征询题，调查运用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及揣摸两个破体向量的垂直关系.一般以选择题、填空题的方法调查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题.1.两个向量的夹角(1)定义已经清楚两个非零向量a，b，作a，b，那么AOB称作向量a跟向量b的夹角，记作a，b.(2)范围向量夹角a
2、，b的范围是0，且a，bb，a.(3)向量垂直假设a，b，那么a与b垂直，记作ab.2.向量在轴上的正射影已经清楚向量a跟轴l(如图)，作a，过点O，A分不作轴l的垂线，垂足分不为O1，A1，那么向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的倾向上的数量.a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的倾向与轴l的正向所成的角为，那么由三角函数中的余弦定义有al|a|cos.3.向量的数量积(1)向量的数量积(内积)的定义|a|b|cosa，b叫做向量a跟b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cosa，b.(2)向量数量积的性质假设e是单位向
3、量，那么aeea|a|cosa，e；abab0；aa|a|2，|a|；cosa，b(|a|b|0)；|ab|a|b|.(3)向量数量积的运算律交换律：abba.对R，(ab)(a)ba(b).分配律：(ab)cacbc.(4)向量数量积的坐标运算与度量公式设a(a1，a2)，b(b1，b2)，那么aba1b1a2b2；aba1b1a2b20；|a|；cosa，b.不雅念方法微思索1.a在b倾向上的正投影与b在a倾向上的正投影一样吗？提示不一样.因为a在b倾向上的正投影为|a|cos，而b在a倾向上的正投影为|b|cos，其中为a与b的夹角.2.两个向量的数量历大年夜于0，那么夹角肯定为锐角吗？
4、提示不用定.当夹角为0时，数量积也大年夜于0.题组一思索辨析1.揣摸以下结论是否精确(请在括号中打“或“)(1)向量在另一个向量倾向上的正投影为数量，而不是向量.()(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.()(3)由ab0可得a0或b0.()(4)(ab)ca(bc).()(5)两个向量的夹角的范围是.()(6)假设ab0，|ab|2cosx.(2)f(x)cos2x2cosx2cos2x2cosx122.x，cosx1，当cosx时，f(x)取得最小值；当cosx1时，f(x)取得最大年夜值1.思维升华破体向量与三角函数的综合征询题的解题思路(1)题目条件
5、给出向量的坐标中含有三角函数的方法，运用向量共线或垂直或等式成破等，掉掉落三角函数的关系式，然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标，恳求的是向量的模或者其他向量的表达方法，解题思路是经过向量的运算，运用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.跟踪训练2在破体直角坐标系xOy中，已经清楚向量m，n(sinx，cosx)，x.(1)假设mn，求tanx的值；(2)假设m与n的夹角为，求x的值.解(1)因为m，n(sinx，cosx)，mn.因此mn0，即sinxcosx0，因此sinxcosx，因此tanx1.(2)因为|m|n|1，因此mncos，即sinxcosx，因此sin，因为0x，
6、因此x0是“a与b的夹角为锐角的()A.充分不用要条件B.需要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不用要条件答案B分析按照向量数量积的定义式可知，假设ab0，那么a与b的夹角为锐角或零角，假设a与b的夹角为锐角，那么肯定有ab0，因此“ab0是“a与b的夹角为锐角的需要不充分条件，应选B.2.已经清楚向量a(1,1)，b(2，3)，假设ka2b与a垂直，那么实数k的值为()A.1B.1C.2D.2答案B分析向量a(1,1)，b(2，3)，那么ka2b.假设ka2b与a垂直，那么k4k60，解得k1.应选B.3.(2018乌海模拟)已经清楚向量a，b称心|a|1，|b|2，ab(，)，那么|2a
7、b|等于()A.2B.C.D.2答案A分析按照题意，|ab|，那么(ab)2a2b22ab52ab5，可得ab0，结合|a|1，|b|2，可得(2ab)24a2b24ab448，那么2，应选A.4.(2018辽阳模拟)非零向量a，b称心：|ab|a|，a(ab)0，那么ab与b夹角的大小为()A.135B.120C.60D.45答案A分析非零向量a，b称心a(ab)0，a2ab，由|ab|a|可得，a22abb2a2，解得|b|a|，cos，135，应选A.5.(2019丹东模拟)已经清楚两个单位向量a跟b的夹角为60，那么向量ab在向量a倾向上的正投影为()A.1B.1C.D.答案D分析由题
8、意可得|a|b|1，且ab|a|b|cos60，a(ab)a2ab1，那么向量ab在向量a倾向上的正投影为.应选D.6.(2018通辽质检)已经清楚点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内(含界线)一动点，那么的取值范围是()A.1,0B.1,2C.1,3D.1,4答案C分析如以下列图，由题意可得，点M所在地域的不等式表示为(x1)2(y1)21(0x2,0y2).可设点M(x，y)，A(0,0)，B(2,0).(x，y)(2x，y)x(2x)y2(x1)2y21，由0,2，1,3，应选C.7.(2018营口模拟)假设破体向量a，b称心b7，|a|，|b|2，那么向量a与b的夹角为_.答案分析
9、(ab)babb27，ab7b23.设向量a与b的夹角为，那么cos.又0，即向量a与b的夹角为.8.已经清楚向量a，b称心|a|1，|b|，|ab|，那么a在b倾向上的正投影为_.答案分析向量a，b称心|a|1，|b|，|ab|，|ab|，解得ab1.a在b倾向上的正投影为.9.如图，在ABC中，AC3，BC4，C90，D是BC的中点，那么的值为_.答案17分析如图，树破破体直角坐标系，那么C(0,0)，A(3,0)，B(0,4)，D(0,2).那么(3，4)，(3,2).3(3)4217.10.已经清楚破体向量a，b，|a|1，|b|2且ab1，假设e为破体单位向量，那么(ab)e的最大年
10、夜值为_.答案分析由|a|1，|b|2，且ab1，得cosa，b，a，b60，设a(1,0)，b(1，)，e(cos，sin)，(ab)esin，(ab)e的最大年夜值为.11.已经清楚|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角；(2)求|ab|；(3)假设a，b，求ABC的面积.解(1)因为(2a3b)(2ab)61，因此4|a|24ab3|b|261.又|a|4，|b|3，因此644ab2761，因此ab6，因此cos.又0，因此.(2)|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2422(6)3213，因此|ab|.(3)因为与的夹角，因此ABC.又|a|4，|b|
11、3，因此SABC|sinABC433.12.已经清楚ABC是边长为2的等边三角形，P为破体ABC内一点，求()的最小值.解方法一设BC的中点为D，AD的中点为E，那么有2，那么()22()()2(22).而22，当P与E重合时，2有最小值0，故现在()取最小值，最小值为222.方法二以AB所在直线为x轴，AB的中点为原点树破破体直角坐标系，如图，那么A(1,0)，B(1,0)，C(0，)，设P(x，y)，取BC的中点D，那么D.()22(1x，y)22.因此，当x，y时，()取最小值，为2.13.已经清楚O是ABC内部一点，0，2且BAC60，那么OBC的面积为()A.B.C.D.答案A分析0
12、，O为三角形的重心，OBC的面积为ABC面积的，2，|cosBAC2，BAC60，|4，ABC的面积为|sinBAC，OBC的面积为，应选A.14.(2019阜新模拟)在ABC中，A120，3，点G是ABC的重心，那么|的最小值是()A.B.C.D.答案B分析设BC的中点为D，因为点G是ABC的重心，因此()()，再令|c，|b，那么bccos1203，因此bc6，因此|2(|22|2)(c2b26)(2bc6)，因此|，当且仅当bc时取等号，应选B.15.已经清楚，是非零不共线的向量，设，定义点集A，当F1，F2A时，假设对于任意的m3，当F1，F2不在直线PQ上时，不等式k恒成破，那么实数
13、k的最小值为_.答案分析由(m3)，可得P，Q，M三点共线且m，由A，可得cosPFMcosQFM，即PFMQFM，那么FM为PFQ的角平分线，由角平分线的性质定理可得m，以P为坐标原点，PQ所在直线为x轴，树破破体直角坐标系，那么P，Q，F(x，y)，因此m，化简得2y22，故点F(x，y)是以为圆心，为半径的圆.要使得不等式对m3恒成破，只需2k，即k22对m3恒成破，k2.16.如图，等边ABC的边长为2，顶点B，C分不在x轴的非负半轴，y轴的非负半轴上滑动，M为AB的中点，求的最大年夜值.解设OBC，那么B，C，A，M，2sinsin4cos22cos26coscos2sin224cos26coscos24cos26cos2cos23sincoscos2sin2sin.的最大年夜值为.
