1、具有非线性状态空间模型的模型预测控制学术研讨南枉科效 2006 年第 9 期具有非线性状态空间模型的模型预测控制刘春风范文兵李亚萍(郑州大学信息工程学院)摘要本文提出了一种基于非线性状态空间模型的预测控制方案,该方案适用于能够分解为一个线性部分和一个非线性反馈路径的系统,并从模型测控理论,过程模型,预测控制规律以及系统等方面进行了阐述和探讨,关键词预测控制状态空间模型非线性特性1 模型预测控制理论模型预测控制是一种在近十五年的时间里得到广泛应用的控制理沦,尤其是在过程控制领域.而在电气驱动方面则鲜有应用.模型预测控制器的关键是过程模型.任何能基十初始值和未来输入预测系统未来输出信号的过程模型都
2、是可用的.在一个预测时域这些预测的输出信号被用来将一个外环的性能标准最小化(例如在一个预测时域内控制误差的平方和),还可以在一个控制时域 N.内来汁算输入信号 u(k)f】在控制时域之外,输入信号 U(k)还是不变的 .计算的输入信号将被 I 馈到设备中,直到有新的测量方法.这种叫做退步时域控制的过程将在一个新的预测和控制时域内重复.这种退步时域策略使得从原先的开环中得来的闭环控制规则成为了最小化.最小化步骤很容易将约束量包含其中,像输入,输出,或状态约束量在控制器没汁阶段就可以予以考虑.图 l描绘的即是模型预测控制(MPC)的原理.最有名最具代表性的模:!竺!:“图 1 模型预测控制原理型预
3、测控制是广义预测控制(GPC1.它是建立在在线性离散传递函数模型基础上的本文介绍了一种结合线性和非线性过程预测模型优点的模型预测控制理论.假定过程模型可以转换成一个具有非线性反馈路径的线性动态部分.这种过程模型被称为具有孤立非线性特性的系统.在预测时域内,参考轨迹是已知的,这一点与所有的预测控制理论是一致的,非线性反馈路径沿着参考轨迹被线性化.这样产生的系统是线性但时变的,而且被用作预测模型.它的精确性要好于在一个操作点周围线性化产生的系统,因为在沿着整个轨迹,非线性特性都被予以了考虑.线性时变模型的计算量与线性时不变模型差不多.在不用考虑约束的情况下.最小化问题就可以得到解析解决.而且不需要
4、数学最优化运算法则.当包含约束时,最优化问题成为一个二次程序,可以运用与 GPC 同样的高效运算法则予以解决.在本文中,非线性过程模型有更高的精确性,并且可将二次设汁技术运用十在线优化.2 过程模型在本文中,我 ff】将考虑单输入单输出(SlSO)系统.将系统扩展为多输入多输出,在复朵性没有增加的情况下是可能的.考虑的S1SO 系统是用一个具有一个孤立非线性特性 NL 的 N 度非线性离散状态空间模型来描述的.X(k+1)=Ax(k)+bAu+kNL(y(k)y(k-c?x(kd?au(k)图 2 所示为模型的流程图.系统矩阵 A.b.c,d 和 k 是常量且具有合适的维数.矢量 k 描述系统
5、中非线性特性的耦合情况.u 表示了输入信号 u 在两个采样时刻之间的增量.任何具有输入信号U(代替 AU)的状态空间系统都能通过加入附加状态变量 u(k1)变形为方程(1). 差分操作符定义为 A=lz(Z-)是后移一位操作符).系统矩阵必须已知,图 2 系统的信号流程圈状态变量假定为是可测量的,非线性特性 NL 可以未知.如果非线性特性和状态变量是可以获致的,那么一种用于这种系统的组合观测器和辨器就可以得到应用为了便于进一步的汁算,我们假定非线性特性已知且观测状态与实际状态是一致的.为了利用控制规则的简化汁算,将方程(1)中的系统模型沿输出信号 y(k)的参考轨迹 r(k)线性化.参考轨迹是
6、系统的理想输出.在从时间 kIIk+N 的预测时域内,参考轨迹必须已知.其中 N:是预测时域的上限.对孤立非线性特性沿参考轨迹 k)的线性化在等式(1)系统的简化,线性时变模型里得出了大致结果.My(k)一 NLtffk)+-I.,(y(k)?k)(2)“Hk)+l,(c?x【k)+d.All(k)-ltk)作为结果的线性时变模型是x(k+1)=A(k).x(k)+b(k),au(k)+k.v(k)(3)其中:A(A+k,(4)b(k);b+k?d,!(s)“k)= L()?r(k)?(6)(1)中的输出等式没有因为线性化改变.当沿着参考轨迹驱动系统时,非线性特性有着与时变扰动信号 v(k)同
7、样的效果.这就意味着,正在设汁的控制器能够使系统沿着参考轨迹运行,不允许有大的偏差.对未来系统状态和输出信号的预测是用等式 f3)中的模型完成的.在这里,A(k),b(k)和 v(k)的值在预测时域内都是已知的.它们只取决于参考轨迹 k)3 预测控制规律在这一部分,我们得到有约束和无约束情况下的预测控制规律.预测控制器的性能指标是控制误差与控制步骤的平方的加权和.如式所示:2-(,(+)一(+,+?(+J)(7)用一标注的是预测量.在等式(7lJ 中,k 是当前时间步.预测时域上限 N 的选择应该使得主响应在预测时域内.山于 N.的存在,使得控制在预测时域的开始阶段出现误差,而只在 N.和 N
8、2 问进行“处罚 “成为可能 .控制时域 Nu 表示时域内允许的控制步骤.N 个控制步骤之后,系统的输入 Au 为 0(u 是常量).这是一种普通的减少运算量的方法,但这只能得到一种非最佳的解决办法.JJu权因子用来调整控制误差和控制步骤数的关系.选的越高.得出的控制器就越慢.为了使计算量函数(7)最小化,未来系统输出就成为了必需.它们不是可得的,但可以在等式(3)中的模型的基础上来预测.J 步预测器可以由连续等式(3)得出:(K+1)=c?(A(k)?x(k)+b(kJ?Au(k)+k?v(k)+dAu(k+1)(8)(K+2)=ct(A(k+1)A(k)x(k)(9)+A(k+lJb(k)
9、u(k)+b(k+1)u(k+1)+A(k+lJkv(k)+kv(k+1)卜 du(k+2)(K+3J=c(A(k+2)A(k+1)A0(k)(1I)+A(k+2b(k+1)u【k+1)+b(k+2)Auk+2)+A(k+2JAo(+1)kv(k)+A(k+2)kv(k+1)+kV(k+2)+dAu(k+31南曩=科技 2oo6 年第 9 期学术研讨这个方案可以延续到预测时域的上限 N,以 y(k+N)为例为方便起见,定义以下几个包含未来信号的矢量y:bIk+Nylk+N)IIllu=【 u4k)ulk+NJ】(I2)v=Ivk)v(k+N 一 1Jl(1jr:k+NJrtk+N.J】(14)
10、这里 V 和 r 是提前知道的,凶为它们只取决十参考轨迹预洲输出信下面以矩阵矢量的形式表达:y=Fx(k)+HAu+GVf15)矩阵 F,H 和 G 是山等式(8)得出的.他们的组成遵循一下规则:F=cnl+nfnA(k+)f 兀 A(k+)dOh 一1:IhN.3fl7,(18)Gg,v:1L:Ig:jG 的项为+n):pok 一 jcrk:J=00:J(0(20)按照在等式(3)中的系统的规则 N,矩阵具有下述的维数FR2HeRr?(21)(22)我们在矩阵向量表示中重写了等式(7)表示的汁算量函数,陈述了最小化问题.使用等式(1s)到(19)中的符号,成本函数变为:J=(r.Fx(k)?
11、HAU?Gv)(r.Fx(k)?HAU?Gv)+AUAUr23)最小化口 l 题的解决方案等式(23)给出了控制行为矢量u.u 的第一个元素作为实际过程的输入信号使用,所有其它的元素都不能在拄制中使用,但是可以作为下一个最优化过程的初始值式(23)的最小化和必要矩阵的计算在每一积分步骤中被重复.最小化程序本身取决于是否考虑了约束条件.4 两块系统下面的例子展示了一种典型机械装置驱动系统的仿真结果.我们研究的是一种具有非线性摩擦特性的旋转两块系统.系统 I|I 下列连续时问状态空问方程来表示;x+1?u+一?.-tam?.-4(25)系统的参数是 1.166kgm】.J=0.33kgm】,c=l
12、【Nm/rad.相对的以等式 r1)的形式出现的离散时间模型是通过“zero-order-hold“离散化方法来达到的 .非线性特性就是一个简单的滑动摩擦力特性模型.它的维数应该使其在输出 y 上的作用很重要参考轨迹是正弦波形;这町能是一个周期性的配置过陛图3 显示了当系统 PI 控制器控制时的参考信寸干输出信号摩擦力的消极作用在当输出过零点时尤其显着(滑动瘁撩力)当同样的系统提出的模型预测配置控制且没有约束时.非线性特性在控制器中予以了考虑,所以非线性特性的影响被显着降低 4 显示了参考轨迹和输出信号,图 5 显示了对应的无约束输入转矩输出信号与参考轨迹非常接近,而且精确性得到了显着改进.图
13、 3 标;住 PI 控制嚣的控制结果图 4 模型预酒 1 控制嚣的控制结果n/L/L/图 5 由模型预测控制器产生的输入信号图具有约束的模型预测控制器的控制结果现在我们假泼输入转矩被限制在 10NmJ.这种约束在每一积分步骤中通过解一个次程序来给予考虑图 6 显示了参考轨迹和输出信号,图 7 显示了对应的约束输入转矩.输出信引 l 衣然很接近参考轨迹,而且控制信号实现了期望约束其它对十状态变量和戚输出信号的约束,例如超调约束,可以引入用来改善系统的动态性能.5 结论易,u?-_I.I圈 7 有约束的模型预测拄割嚣产生曲输入信号提出的非线性模型预测控制理论通过沿着预测范围内的参考轨迹的线性化可以
14、考虑孤立的非线性特性.这比仅在每个积分步线性化要准确得多.线性模型预测控制的主要特性_1 二次最优化ul题,得到了保留.当最优化过程中包含约束时,这在计算上是个很大的优势.采用此种控制理论的动机在于,孤立的非线性特性被予以了考虑,且最优化口 J 题仍然易于解决(解析或通过一个一次程序 1.与非线性模型预测控制器相比,汁算量的减少与这种方法的提出也是不无关系的参考文献【1J 舒迪前预测控制系统及其应用【MJ.北京:机械工业出版社199621KrausPDab,K.Rake,HModelBasedPredictiveController,jLhKahnanfilteringforStateEsti
15、mationInAdvancesinModelBasedPredictiveContro.OxfordUniversityPress.PP6983.1994【3】NoriegaJ0scR,WangHongADirectAdaptiveNeural NenorkControlforUnknoxnNonlinearSystemsandItsApplicafionlL1EEETrans.OnNeuralNetaorks.1998,9(1):2829【3J 韩璞.朱希彦自动控制系统数-5-4*真【Mj 北京 :中国电力出版社 1996:224228【4j 陈虹.刘志远.解小华.非线性模型预测控制的现状与问题 】控制理论与应用 2rww1.17(4)469475【5jMayneDQ,RawhngJBConstraindModelPredictiveControlStabilityandOptimalityj】 Automatica2rl,36():789814lBrockettRW.VoltcrraSerieandGeometryControlTheory.Automatica1976.12(1)16717“【7席裕庚预测控制北京:国防工业出版社,1993(收稿日期:2rw)6?10?17)一一Il.LI1HnO为义定H一一.二一d 一
