1、具有大小结构的生物种群模型的半群解第 27 卷第 3 期2007 年 6 月咸宁学院JournalofXianningCollegeVO1.27,ND.3Jun.2007文章编号:1oo65342(2O07)O3 0004-02具有大小结构的生物种群模型的半群解黄启华,沈育民 2(1.成宁学院数学系,湖北成宁 437100;2.成宁市工业交通技工学校 ,湖北成宁437100)摘要:建立了一类带大小结构的生物种群模型的算子方程 ,运用算子半群理论证明了算子方程解的存在唯一性.关键词:生物种群;大小结构;半群中图分类号:0175.129 文献标识码:A0 引言本文考虑一类具有大小结构的生物种群模型
2、,即以下的一阶,非局部,非线性偏微分方程的初边值问题:fa“+(g(z)“)+(z)“=O,O1,tog(O)u(O,) 一 J6(9“(车,t)d8,t0Lu(x,O)=(),Oz 1吐(),gu(t),+(),-(o)Jik(O“(8)曲=o(3)定义算子 K:(1)L2(o,1)-R,VL2(o,1),K()三(9(9d8这里,u(x, ) 表示在 t 时刻大小为 z 的种群密度,函数g,k 依次代表种群的增长率,死亡率和繁殖率.对类似于问题(1)的模型已有一些研究,在文 E1中,八SAckleh 和 KDeng 通过建立上下解 ,运用单调逼近的方法证明解的存在唯一性;在文2中,ACal
3、sina 用特征线法和不动点定理证明了解的存在唯一性.文 E3对问题进行有限差分,得到一个差分方程组,然后证明差分方程的解序列在 L 范数意义下收敛到一个有界变差函数,进一步阐明该有界变差函数就是原问题的弱解.文 E4对连续模型进行半离散化,证明了半离散模型解的存在唯一性.本文运用算子半群理论,建立了问题(1)的算子方程,并证明了算子方程解的存在唯一性.1 建立算子方程在本文,我们对问题(1)中的变量作如下假设:(H1)gEw(O,1),且对任意的O,1),g(9O,g(1)一 O;(H2)上一(O,1),且在O,1上几乎处处有O(H3)L2(O,1), 且在O,1上几乎处处有O.我们引入如下
4、记号:一,“()一“(?,),a“(?,)一吐(),:?,?表示 L2(0,1)上的内积.将(1)的两边与作内积得 :(),+(g“(),+“(),O(2)因为r1r1(),=I()=I()一一(o)g(o)“(o,)一gu(),所以(2)等价于 :*收稿日期:200703-06于是(3)可写成 :吐(),+“(),-g+一 o)K(“()=o或吐(),+“(),-g+一 o)=o(4)方程(2)叉可写成 :吐(),? 一“(),?=O(5)其中 A=一(g) 一因而,我们得到算子方程吐“(6)I“(O) 一,2 算子方程解的存在唯一性方程(4)叉可写成吐(),一“(),AO,其中 A=g 一
5、+(o)注意到 IlKII=IIIIL2,而且当车O,1) 时,0g(9一 g(9-g(1) llg,Il.(19,因而 I(g(9) llg,Ilo.-1I(19 一一+o.(发 J0J0散)由(2)和(5)定义线性算子:A:domAcL2(O,1)垒 HH一)一I 锄= HI(0,1),()(1_)=0,()(0)=K()引理 1domA 在 H 中稠密.证明令 D=(ClO,1fsu 邴 c0,1)易知 D 在 H 中稠密,因而只需证 domA 在 D 中稠密即可也就是要证对任意的D,存在 domA 中的序列(,使一第 3 期黄启华,沈育民具有大小结构的生物种群模型的半群解 5给定 01
6、,令DB.supScO,胡,Ve(O,yR, 定义如下(7,(1-)+,oeL(,e1易见,矗(1)一(1) 一 0,()(r)=0注意到()(O)=K() 等价于(g(o)一6 五(9(1 一)d 一5 五(e)d斗一 J:五(d由于 g(o)o,且 e 一 0 时,I 五(1 一上)一 0对任意足够小的 e,如 e6D,可选定一(g(o)一5 五(9(1 一-.-)dS)一(5 五(e)d+Jk(那么对 eeo,(gS)(O)=K(),故domA又 e 一 0 时, g(O)K()所以一.引理得证.对O,1上的任意可测函数,定义 afessinff(x)l0z1)引理 2 令三三三一告(g
7、)一()+llkll/2(g(o),则算子 A 一是 H 中的耗散算子.证明对任意的domA,有As,一一 fo(g)+uS)Sd$=一fo(gS-4-gS+)一一3(2(gS)+1+,uS2)d8一一1(g)(1)+专(g)(o)一3(专 g+,uS2)d8一一 J1gI+)d82g(0)+(一吉 g)一) 3+(一 1(g 胁=(孝+(一 1(g)一()llll即AS,lIz故 A 一是耗散算子.引理 3A 的伴随算子 A 可确定如下:VdomA 一HlHzc0,1),H,()(r)=0,VdomA,A 一 g 一+(O)忌证明容易验证:A,=,A, 故引理成立.引理 4A 是闭算子.证明
8、设如domA,如一,且垒一 y,下证domA 且 Y=AS事实上,一 A=一() 一,由如,在 H 中收敛,H 完备知:存在H,使()一H,既然(O,1),从而 VzO,1,有(g 如)(z)(g 如)(O)+J(g 如)dK(如)+J(g 如)于是l()(z)一()(z)llK(如一加)l+ll(一)lllkllHll 如一加 llH+ll(一 g 卅),llH故当 zO,1时,(g 如) 一致收敛于(g),其中r 工(g)(z)一 K()+I可见,gSE(O,1),(g)一,(g)(O)=K()既然对任意的,(g 如)(1 一) 一 O,(g)(1 一)=O因此domA,且 j,一 lA
9、如一 lim(一(g 如)一如)=一(g)一=A引理得证.引理 5 算子 A 一工是耗散的.该引理的证明与引理 2 的推导过程完全类似,因而略去.综上所述,在假设(H1) 一(H3)成立的条件下,A 是H 上的闭稠定算子,且 A 一I 和 A 一工是耗散的 ,因此A 和 A 某 G 半群 S(z)和 S(z)的无穷小生成元,满足lS(z)l,lS(z)lea,t0(见文献5),故有定理算子方程(6)存在唯一的半群解“(z)=S(z)参考文献:1AAckleh,KDeng.Amonotoneapproximationforthenonautonomoussize-structuredpopula
10、tionmodelJ.Quart.App1.Math,1999,57:261267.2ACalsina,J.Saldana,AmodelofphysiologicallystructuredpopulationdynamicswithanonlinearindividualgrowthrateJ.J.Math.Biol,1995,331:335364.3AAckleh,H.T.Banks.Afinitedifference 印一proximationforacoupledsystemofnonlinearsize-structureedpopulationsJJ.NonlinearAnaly,2002,50:727748.4黄启华.一类生物种群大小结构模型及其半离散化J.咸宁学院,2006,26(3):104.5H.TanabEquationsofevolutionsM1.Pitman,London.1979.1652O1.
