1、中心对称和中心对称图形典型例题例 1 如图，图中有 ABC及 外一点 O，画出一个三角形 CBA使 与ABC关于 O 点成中心对称.例 2 观察下面的图形哪些是中心对称图形，哪些不是中心对称图形？例 3 （济南市）如图，田村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角 A、 B、 C、 D 处均种有一颗大核桃树. 田村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形形状，请问田村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形；若不能，请说明理由（画图要保留痕迹，不写画法）例 4 下列几组几何图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形，完全正确的一组是（ ）.A.正
2、方形、菱形、矩形、平行四边形 B.正三角形、正方形、菱形、矩形C.正方形、矩形、菱形 D.平行四边形、正方形、等腰三角形例 5 如图，已知：四边形 ABCD 关于 O 点成中心对称图形.求证：四边形 ABCD 是平行四边形.例 6 如图，已知：矩形 ABCD 和 DCBA关于点 A 对称. 求证：四边形 BD是菱形.例 7 （南昌市）按要求画一个图形：所画图形中同时要有正方形和圆，并且这个图形既是中心对称图形又是轴对称图形.参考答案例 1 分析 根据中心对称的意义，点 A在 AO 的延长线上，并且 AO，点B在 BO 的延长线上，并且 BO，点 C在 CO 的延长线上，并且 .C作图 （1）连
3、结 AO 并延长 AO 到 ，使 .（2）分别连结 BO、 CO，延长 BO 到 ，延长 CO 到 ，使 .,B（3）依次连结 AB,，则 B与 A关于 O 点成中心对称.说明：此时下图是一幅以 O 为对称中心的中心对称图形.例 2 分析 图形（1）、（4）是中心对称图形，这两个图形绕着中心旋转 180后与原来的图形重合，图形（2）、（3）不是中心对称图形，图形（2）的形状虽然能重合，但其中的黑框位置变了，图形（3）旋转后图形与原来的图形不重合.例 3 分析：这是一道考查学生动手作图的能力设计题. 题中要求扩建后的池塘：面积扩大一倍，形状成平行四边形，且核桃树不动. 这样的图形设计方案，只能连
4、结 AC 与 BD 交于 O 点，将原池塘分割成四块，分别以AB、 BC、 CD、 DA 为对角线，向外作 AOBE、 BOCF、 CODG、 DOAH. 连结 EF、 FG、 GH、 HE，就可得到 EFGH. 如图，依据中心对称图形的性质，其设计合乎题设要求. 例 4 分析 A 中平行四边形不是轴对称图形，B 中正三角形不是中心对称图形，D 中平行四边形不是轴对称图形.正选 C.解答 本题主要考查轴对称和中心对称图形的判定，易错点是弄错图形的对称性，解题关键是要熟悉所学过的图形的对称性.例 5 分析：因为四边形 ABCD 是中心对称图形，所以 A 点与 C 点， B 点与 D 点是对称点.
5、 所以线段 AC 过 O 点，线段 BD 也过 O 点，且两条线段都被 O 点平分，故四边形 ABCD是平行四边形. 证明：连结 AC、 BD. 四边形 ABCD 关于 O 点成中心对称图形， O 点在 AC 上，也在 BD 上，并且 ODBCA, 四边形 ABCD 是平行四边形. 说明：要应用轴对称或中心对称解决问题，应该判断清楚图形的对称的特点，找到对称点. 例 6 分析：根据题意知点 B 与 关于点 A 对称，点 D 和点 关于点 A 对称，又四边形 ABCD 和 DCBA是矩形，由中心对称的性质及矩形的性质即可证明. 证明：矩形 ABCD 和 关于点 A 成中心对称图形. ， （关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分）. 四边形 DB是平行四边形. 又四边形 ABCD 是矩形， 90AB四边形 是菱形. 例 7 分析 这是一道具有开放特色的考题，题中给定的两个图形都既是轴对称图形，也是中心对称图形，故按要求画出的图形只要让两个图形的对称中心重合即可.解答 具体作法是：先作出正方形，连结对角线找出对角线交点，再以对角线交点为圆心，以任意长为半径画图，所得图形都满足题设要求.举例如下：说明 本题考查轴对称图形和中心对称图形的应用，解题关键是要探索出两个图形的对称中心重合.
