1、微专题23例题解析：假设直线TP或TQ的斜率不存在，则P点或Q点的坐标为(2，1)，直线l的方程为y1(x2)，即yx2.联立得x24x40，此时，直线l与椭圆C相切，不合题意故直线TP与TQ的斜率存在解法1设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则直线TP：y1(x2)，直线TQ：y1(x2)故OM2，ON2.由直线OT：yx，设直线PQ：yxt(t0)联立消去y，得x22tx2t240.当0时，x1x22t，x1x22t24，所以OMON44444.解法2设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线TP和TQ的斜率分别为k1和k2，由直线OT：yx，设直线PQ：yxt(t0)，联立消去y，得x
2、22tx2t240.当0时，x1x22t，x1x22t24，所以k1k20.所以直线TP和直线TQ的斜率和为零，故TMNTNM，所以TMTN，故T在线段MN的中垂线上，即MN的中点横坐标为2.故OMON4.变式联想变式1证明：设P(x1，y1)，B(x2，y2)，则x10，x1x2，A(x1，y1)，C(x1，0)设直线PB，AB的斜率分别为k1，k2，因为C在直线AB上，所以k2.于是k1k12k1k2121210.所以k1k1，所以PAPB.说明：本题是2011年江苏高考第18题，第(1)(2)两小题已删，展示的是第(3)题对于一般的椭圆，A，P过关于原点对称，所以kABkPB.设P(x1
3、，y1)，则kAP，kABkACkAP，所以kAPkPB，即kAPkPB1.解答题中，结论kABkPB不能直接用，但是可以作为思考的方向，另外，证明也就一步另外，通过刚才的分析，我们知道kABkPB是必须的，否则没有PAPB的结论而且，只要椭圆的离心率为，都有kAPkPB1，即PAPB的结论变式2答案：过定点F(，0)解析：以MN为直径的圆过定点F(，0)设P(x0，y0)，则Q(x0，y0)，且1，即x022y024，直线PA方程为y(x2)，M.同理，直线QA方程为y(x2)，N.以MN为直径的圆方程为(x0)(x0)0.即x2y2y0，又x0242y02，x2y2y20，令y0，x220
4、，解得x，以MN为直径的圆过定点F(，0)说明：本题能不能一般化呢？如图，已知P，Q关于原点对称，定点A(m，n)在椭圆上，设直线AP，AQ斜率分别为k1，k2，所以k1k2，直线AP：ynk1(xm)，令x0(求与y轴交点)，则yMnk1m，同理yNnk2m.那么以MN为直径的圆方程为x2(ynk1m)(ynk2m)0.在这个方程中，令yn，则x2k1k2m20，即x2m20，从而xm.也就是以MN为直径的圆过定点.实际上，在方程x2(ynk1m)(ynk2m)0中，k1k2m2是定值，只要令yn，就能求出直线的定点串讲激活串讲1答案：.解析：由题意，F1(，0)，F2(，0)，设P(x0，
5、y0)，因为点P为第一象限的点，故x00，y00.当x0时，l1与l2相交于F1，与题意不符当x0时，直线PF1的斜率为，直线PF2的斜率为.因为l1PF1，l2PF2，所以直线l1的斜率为，直线l2的斜率为，从而直线l1的方程：y(x)，直线l2的方程：y(x)由，解得xx0，y，所以Q.因为点Q在椭圆上，由对称性，得y0，即x02y022或x02y022.又P在椭圆E上，故1.由解得x0，y0；解得x00，而由题意x00，故无解因此点P的坐标为.说明：以上解析是符合大题规范的，如果是客观题，可以从几何角度入手：由题意P，Q，F1，F2四点共圆，所以Q在过P，F1，F2的圆上；因为F1F2垂
6、直平分线为y轴，所以圆心在y轴上，所以点P，Q关于y轴对称或关于原点对称，即xQx0.下略当然，有兴趣的同学也可以让其在课后研究一下点Q的轨迹(方程)，消去x0，y0后，点Q的轨迹方程是(4x2)y22(x22)2，曲线形状如图所示串讲2答案：(1)；(2)略；(9，)解析：(1)由题意得B(0，1)，C(0，1)，焦点F(，0)，当直线PM过椭圆的右焦点F时，则直线PM的方程为1，即yx1，联立解得或(舍去)，即M.连接BF，则直线BF：1，即xy0，而BFa2，点M到BF距离d.故SMBFBFd2.(2)解法1：设P(m，2)，且m0，则直线PM的斜率为k，则直线PM的方程为yx1，联立化
7、简得x2x0，解得M，所以k1m，k2，所以k1k2m为定值由知，(m，3)，所以(m，3)，令m24t(t4)，故t7，因为函数yt7在t(4，)上单调递增，所以t7479，即的取值范围为(9，)解法2：设点M(x0，y0)(x00)，则直线PM的方程为yx1，令y2，得P.所以k1，k2，所以k1k2(定值)由知，所以3(y02)3(y02)3(y02).令ty01，则t(0，2)，则t7，因为yt7在t(0，2)上单调递减，所以t7279，即的取值范围为(9，)新题在线答案：(1)y21；(2)yx1或yx1；(3)略解析：(1)由椭圆的离心率为，焦点到相应准线的距离为1.得解得所以，椭圆的标准方程为y21.(2)由(1)知C(0，1)，设D(x0，y0)，因为2，得2y01，所以y0，代入椭圆方程得x0或，所以D或D，所以l的方程为yx1或yx1.(3)解法1设D坐标为(x3，y3)，由C(0，1)，M(x1，0)，可得直线CM的方程为yx1，联立椭圆方程得解得x3，y3.由B(，0)，得直线BD的方程y(x)，直线AC方程为yx1，联立得x2，从而x1x22为定值解法2设D坐标为(x3，y3)，由C，M，D三点共线得，所以x1，由B，D，N三点共线得，将y2x21代入可得x2，和相乘得，x1x22.故x1x2为定值2.
