1、强化训练4三角函数中的综合问题1.(2020北京东城区模拟)九章算术成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著.书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”(一步1.5米)意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为()A.135平方米B.270平方米C.540平方米D.1 080平方米答案B解析根据扇形的面积公式，Slr45270(平方米).2.(2021日照联考)在平面直角坐标系xOy中，角的顶点在原点O，以x轴非负半轴为始边，终边经过点P(1，m)(m0)，则下列各式的值恒大于0的是()A.sin cos B.sin cos
2、 C.sin cos D.答案D解析由题意知sin 0，sin cos 的符号不确定，A不成立；sin cos 0，B不成立；sin cos 0，C不成立；tan 0，D成立.3.(2021张家口质检)已知锐角满足3cos 21sin 2，则cos 等于()A. B. C. D.答案A解析3cos 21sin 2可化简为3(cos2sin2)sin2cos22sin cos ，即3(cos sin )(sin cos )(sin cos )2，因为为锐角，所以3(cos sin )sin cos ，化简得到cos 2sin ，代入sin2cos21，解得cos .4.(2020东三省四市模拟)
3、已知直线y2与函数f(x)2sin(其中0)的相邻两交点间的距离为，则函数f(x)的单调递增区间为()A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ答案B解析y2与函数f(x)2sin(其中0)的相邻两交点间的距离为，函数的周期T，即，得2，则f(x)2sin，由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，即函数f(x)的单调递增区间为，kZ.5.(多选)给出下列函数：ycos|2x|；y|cos x|；ycos；ytan.其中最小正周期为的有()A. B. C. D.答案ABC解析中，ycos|2x|cos 2x，其最小正周期为；中，知y|cos x|是ycos x将x轴下方的部分向上翻折得到的，故周期减
4、半，即y|cos x|的最小正周期为；中，ycos的最小正周期T；中，ytan的最小正周期T.6.(多选)(2020宁德模拟)已知函数f(x)sin(x)的最小正周期为，且将图象向右平移个单位长度后得到的函数为偶函数，则下列关于f(x)的说法错误的是()A.关于点对称B.关于直线x对称C.在上单调递增D.在上单调递减答案ABD解析f(x)的最小正周期为，T，得2，此时f(x)sin(2x)，将图象向右平移个单位长度后得到ysinsin，若函数为偶函数，则k，kZ，得k，kZ，|0，0)，则A_，b_.答案解析cos2xsin 2xsin 2xcos 2xsin 2xcos(2x)sin(其中t
5、an 2)，A，b.9.(2020邯郸模拟)已知为锐角，且tan m，cos 2，则sin2_.答案解析cos 2，解得m22，cos 2，0，020)的最小正周期为，且对xR，f(x)f恒成立，若函数yf(x)在0，a上单调递减，则a的最大值为_.答案解析因为函数f(x)cos(x)的最小正周期为，所以2，又对任意的x，都使得f(x)f，所以函数f(x)在x处取得最小值，则2k，kZ，即2k，kZ，所以f(x)cos，令2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，则函数yf(x)在上单调递减，故a的最大值是.11.已知函数f(x)cos2xsinsin.(1)求f(x)的最小正周期及对称中心；(2
6、)若f()，且，求cos 2的值.解(1)f(x)sinsincos 2x2cossincos 2xsincos 2xsin.所以f(x)的最小正周期T.由2xk，kZ得x，kZ，所以f(x)的对称中心为，kZ.(2)由f()得sin，因为，所以2，所以cos，所以cos 2coscoscos sinsin .12.设f(x)2sin(x)sin x(sin xcos x)2.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)把函数yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位长度，得到函数yg(x)的图象，求g的值.解(1)由f(x)2sin(x)sin
7、 x(sin xcos x)22sin2x(12sin xcos x)(1cos 2x)sin 2x1sin 2xcos 2x12sin1.由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ).所以f(x)的单调递增区间是(kZ).(2)由(1)知f(x)2sin1，把yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y2sin1的图象，再把得到的图象向左平移个单位长度，得到y2sin x1的图象，即g(x)2sin x1.所以g2sin 1.13.(2020厦门质检)已知函数f(x)sincos x(0)在0，上的值域为，则实数的取值范围是()A. B. C. D.答案A解析f(x)s
8、incos xsin xcos xsin，因为x0，所以x，因为f(x)在0，上的值域为，所以，所以.14.已知函数f(x)2cos(x)1，其图象与直线y3相邻两个交点的距离为，若f(x)1对任意x恒成立，则的取值范围是_.答案解析由题意可得函数f(x)2cos(x)1的最大值为3.f(x)的图象与直线y3相邻两个交点的距离为，f(x)的周期T，解得3，f(x)2cos(3x)1.f(x)1对任意x恒成立，2cos(3x)11，即cos(3x)0对任意x恒成立，2k，kZ且2k，kZ，解得2k，kZ且2k，kZ，即2k2k，kZ.结合|可得，的取值范围为.15.(2020安庆模拟)已知函数f
9、(x)2(|cos x|cos x)sin x，给出下列五个命题：f(x)的最小正周期为；f(x)的图象关于直线x对称；f(x)在区间上单调递增；f(x)的值域为2,2；f(x)在区间2，2上有6个零点.其中所有正确的编号是()A.B.C.D.答案C解析f(x)2(|cos x|cos x)sin x2|cos x|sin xsin 2x，函数f，f0，ff，故函数f(x)的最小正周期不是，故错误；由于f2sin2(|sin x|sin x)cos xf(x)，故f(x)的图象不关于直线x对称，故错误；在区间上，2x，f(x)2|cos x|sin xsin 2x2sin 2x单调递增，故正确
10、；当cos x0时，f(x)2|cos x|sin xsin 2x2sin xcos xsin 2x2sin 2x，故它的最大值为2，最小值为2；当cos x0时，f(x)2|cos x|sin xsin 2x2sin xcos xsin 2x0，综合可得，函数f(x)的最大值为2，最小值为2，故正确；当cos x0时，f(x)0，在区间2，2上有无数个零点，故错误.16.如图所示，四边形ABCD是一块边长为7米的正方形铁皮，其中ATN是一半径为6米的扇形，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用.工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有边落在BC与CD上的长方形铁皮PQCR，其中P是弧TN上一点.设
11、TAP，长方形PQCR的面积为S平方米.(1)求S关于的函数解析式；(2)求S的最大值.解(1)延长RP交AB于E，延长QP交AD于F(图略)，由四边形ABCD是正方形，四边形PRCQ是矩形，可知PEAB，PFAD，由TAP，可得EP6sin ，FP6cos ，PR76sin ，PQ76cos ，SPRPQ(76sin )(76cos )4942(sin cos )36sin cos ，故S关于的函数解析式为S4942(sin cos )36sin cos .(2)令sin cos t，可得t2(sin cos )212sin cos ，即sin cos ，S4942t18(t21)18t242t31.又由0，可得，故tsin cos sin1，S关于t的表达式为S18t242t31(t1，)，又由S182，t1，可知当t时，S取最大值，最大值为(6742)平方米.
