1、- 1 -长郡中学 2019 届高三月考试卷（一）数学（理科）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数 ，则 （ ）12izzA B C D0 32.已知集合 ， ， ，则240x1278xB2,CxnN（ ）A B 2,40,2C D0,xnN3.若定义在 上的偶函数 满足 且 时， ，则方程Rf2fxf0,1xfx的零点个数是（ ）3logfxA 个 B 个 C 个 D 个 2454.计算 的结果为（ ）sin1cs97ocs73A B C. D222325.已知 、 、 是双曲线
2、上不同的三点，且 、 连线经过坐标原点，若直P21xyabAB线 、 的斜率乘积 ，则该双曲线的离心率为（ ）AB3APBkA B C. D2236.某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量（单位：千瓦时）与气温 （单位：）之间的关系，随机选取了 天的用电量与当天yx 4气温，并制作了以下对照表：（单位：）x171410- 2 -（单位：千y瓦时）24343864由表中数据得线性回归方程： ，则由此估计：当某天气温为 时，当天用电yxa2量约为（ ）A 千瓦时 B 千瓦时 5662C. 千瓦时 D 千瓦时487.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外
3、接球的体积为（ ）A B C. D5031023125312538.知平面向量 ， 满足 ，且 ， ，则向量 与 夹角的正弦值为（ ababab）A B C. D12321329.设 ，则“ ”是“ ”的（ ）,abR0ababA.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 10.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于 的偶数可以表示为两个素数的和” ，如 .在不超过 的素数中，随机选2307230取两个不同的数，其和等于 的概率是（ ）30A B C. D1141518- 3 -11.过抛物线 焦点的直线 与抛物线交
4、于 、 两点，与圆 交于 、24yxlAB221xyrC两点，若有三条直线满足 ，则 的取值范围为（ ）DACBDrA B C. D3(,)2(2,)3(1,)23(,2)12.设函数 ，函数 ，若对任意的 ，总1xfe0gxm1,2x存在 ，使得 ，则实数 的取值范围是（ ）2,x2fA B 13,e,3eC. D,2,第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.设 满足约束条件 ，则 的最大值为 ,xy310xyyzx14.聊斋志异中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术。得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟。 ”在这里，我们称形如以下形式的等
5、式具有“穿墙术”： ，23， ， ，则按照以上规律，若 具有384155248n“穿墙术” ，则 n15.已知 是等比数列 的前 项和，若存在 ，满足 ， ，Sna*mN29mS251a则数列 的公比为 na16.如图，在边长为 （ 为自然对数的底数）的正方形中，阴影部分的面积为 e三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） - 4 -17.在 中，角 、 、 的对边分别是 、 、 ，且 .ABCCabc3os23cosaCbA（1）求角 的大小；（2）若 ，求 面积的最大值. a18. 如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ，PABDABD/AB
6、D， ，点 为棱 的中点.2ADC1EPC（1）证明： ；BEPD（2）若 为棱 上一点，满足 ，求二面角 的余弦值.FCBFACFABD19. 某家电公司销售部门共有 名销售员，每年部门对每名销售员都有 万元的年度20140销售任务.已知这 名销售员去年完成的销售额都在区间 （单位：百万元）内，现2,将其分成 组，第 组、第 组、第 组、第 组、第 组对应的区间分别为 ，513452,6， ， ， ，并绘制出如下的频率分布直方图.6,10,4,8,2（1）求 的值，并计算完成年度任务的人数；a（2）用分层抽样的方法从这 名销售员中抽取容量为 的样本，求这 组分别应抽取的20255人数；（3）
7、现从（2）中完成年度任务的销售员中随机选取 名，奖励海南三亚三日游，求获得此奖励的 名销售员在同一组的概率.20. 已知椭圆 的左右顶点是双曲线 的顶点，且椭21:0xyCab2:13xCy- 5 -圆 的上顶点到双曲线 的渐近线的距离为尝1C2C（1）求椭圆 的方程；1（2）若直线 与 相交于 两点，与 相交于 两点，且 ，求l12,M2C12,Q125OQ的取值范围.1M21. 已知函数 ， .ln,mxfR（1）讨论 的单调区间；x（2）若 恒成立，求 的取值范围.f请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐
8、标系 中，直线 的参数方程为 （其中 为参数）.在以坐标原点xOyl12xtyat为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆 的极坐标方程为 .C4cos（1）分别写出直线 的普通方程和圆 的直角坐标方程；l（2）若直线 与圆 相切，求实数 的值.Ca23.选修 4-5：不等式选讲设函数 .()fxax（1）当 时，解不等式 ；()4f（2）若 在 上恒成立，求 的取值范围.()6fxRa- 6 -长郡中学 2019 届高三月考试卷（一）数学（理科）参考答案一、选择题1-5:DCCBC 6-10:ADDAC 11、12：BD二、填空题13. 14. 15. 16.136322e三、解答题17.
9、【解析】 （1）由正弦定理可得： .3sincosinco3sincoACBAC从而可得： ，即3sin2iACB2又 为三角形内角，所以 ，于是 ，Bi03cos又 为三角形内角，所以 .A6（2）由余弦定理： 得： ，22cosabA2342bcbc所以如 ，所以 ， 面积的最大值为 .43bc1inBCSABC318.【解析】依题意，以点 为原点，以 、 、 为轴建立空间直角坐标系如图，DP可得 ， ， ， ，1,0B2,0,20,2由 为校 的中点，得 ，EPC1E（1）向量 ， ，,D故 0,B（2） . ， . ，2C2,P2,0AC1,0B- 7 -由点 在棱 上，设 ，FPC,
10、01FPA故 ，2,BB由 ，得 .A因此， ，212034即 ，3(,)BF设 为平面 的法向量，1nxyzFAB即,即10AB1302xyz不妨令 ，可得 为平面 的一个法向量，1z1,3nFAB取平面 的法向量 ，ABD20则 1122cos, 1n所以二面角 的余获值为FAB019.【解析】 （1） ，0.28.9241a0.3a完成年度任务的人数为 4a（2）第 组应抽取的人数为 ，.5第 组应抽取的人数为 .082第 组应抽取的人数为 ，3.94第 组应抽取的人数为 ，435第 组应抽取的人数为50.2（3）在（2）中完成年度任务的销售员中，第 组有 人，记这 人分别为 ；第431
11、23,A组有 人，记这 人分别为 ；3123,B从这 人中随机选取 名，所有的基本事件为 ， ， ， ， ， .6 12A31B2132- 8 -， ， ，21AB23A.B1 ，A，B2 ，AsB ，B1B2 ，B1B1 ，B.B1 ，共有 个基本事1212A1212A125件。获得此奖励的 名销售员在同一组的基本事件有 个，6故所求概率为 621520.【解析】 （1）由题意可知： ，23a又椭圆 的上顶点为 ，C0,b双曲线 的渐近线为： ，2 30yxy由点到直线的距离公式有： .312b（2）易知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，代入 ，消去 并整llykxm213xyy理得：，
12、2213630kxm要与 相交于两点，则应有：2C2203641330kk 2130km设 ，12,Qxy则有： ， .12263km2123xk又 .12O11212ymx2 211kxmx又： ，所以有： ，5Q()3)3k26(3)5k，229mk将 ，代入 ，消去 并整理得： ，yx213xyy2213630kxm- 9 -要有两交点，则 .2236413kmk22031km由有： 09设 、 .13,Mxy24,xy有： ，3426km2341k22212 3k.2224391mkk将 代入有：22912M2413k.2121k,令 ,2123Mk2t1(09令,.2tf31tft(
13、所以 在 内恒成立，故函数 在 内单调递增，0ft(,9tft1(0,9故 .5(,7212(0,M21.【解析】 （1） ， ，lnmxfx1当 时，即 时， 在 上恒成立，0ml,所以 的单调减区间是 ，无单调增区间fx1,当 时，即 时，由 得 .由 ，得 ，10fx1(,)me0fx1(,)me- 10 -所以 的单调减区间是 ，单调增区间是fx1(,)me1(,me（2）由题意， ， 恒成立， . .2lnx2lngxx1，max0g， .212x1 时， .（ ） ， 在 上单调递增. ，00ggx,1x，舍去。1x 时， ， （ ） ， 在 上单调递减， .2mx1x1, x，成立0gx 时， ( ）： 时 . 在12=gx1=2xm1(,)20gx上单调(,)m递增， ，舍去。10gx综上， 222.【解析】 （1）直线 的直角坐标系方程是 ，l20xya圆 的直角坐标方程是C24xy（2）由（1）知圆心为 ，半径 ，,0Cr设图心到直线的距离为 ，因为直线与圆相切，d所以 解得425ad25a23.【解析】 （1）当 时，不等式 .414fxx当 时， ，解得 ；x=24fx2当 时， ，无解；- 11 -当 时， ，解得 ，1x24fx2x综上所述，不等式的解集为 ,（2） ，fxaxaxa ，解得 或 ，63即 的取值范围是 a,
