1、第7节函数的图象与变换知 识 梳 理1.利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2.利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换yf(x)的图象yf(x)的图象；yf(x)的图象yf(x)的图象；yf(x)的图象yf(x)的图象；yax(a0，且a1)的图象ylogax(a0，且a1)的图象.(3)伸缩变换yf(x)yf(ax).yf(x)yAf(x).(4)翻转变换yf(x)的图象y|f(x)|的图象；yf
2、(x)的图象yf(|x|)的图象.1.记住几个重要结论(1)函数yf(x)与yf(2ax)的图象关于直线xa对称.(2)函数yf(x)与y2bf(2ax)的图象关于点(a，b)中心对称.(3)若函数yf(x)对定义域内任意自变量x满足：f(ax)f(ax)，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称.2.明确一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系.3.当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用.诊 断 自 测1.判断下列说法的正误.(1)函数yf(1x)的图象，可由yf(x)的图象向左平移1
3、个单位得到.()(2)函数yf(x)的图象关于y轴对称即函数yf(x)与yf(x)的图象关于y轴对称.()(3)当x(0，)时，函数yf(|x|)的图象与y|f(x)|的图象相同.()(4)若函数yf(x)满足f(1x)f(1x)，则函数f(x)的图象关于直线x1对称.()答案(1)(2)(3)(4)解析(1)yf(x)的图象向左平移1个单位得到yf(1x)的图象，故(1)错.(2)两种说法有本质不同，前者为函数的图象自身关于y轴对称，后者是两个函数的图象关于y轴对称，故(2)错.(3)令f(x)x，当x(0，)时，y|f(x)|x，yf(|x|)x，两函数图象不同，故(3)错.2.函数f(x
4、)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线yex关于y轴对称，则f(x)的解析式为()A.f(x)ex1 B.f(x)ex1C.f(x)ex1 D.f(x)ex1答案D解析依题意，与曲线yex关于y轴对称的曲线是yex，于是f(x)相当于yex向左平移1个单位的结果，f(x)e(x1)ex1.3.(2021浙江五校联考)函数f(x)x22的图象可能是()答案D解析由函数解析式f(x)x22知，函数f(x)在定义域R上为偶函数.因为yx22的对称轴为y轴，且当x0时，yx22为减函数，所以f(x)为减函数，故选D.4.函数y1x的部分图象大致为()答案D解析法一易知g(x)x为奇函数，故y1x
5、的图象关于点(0，1)对称，排除C；当x(0，1)时，y0，排除A；当x时，y1，排除B，选项D满足.法二当x1时，f(1)11sin 12sin 12，排除A，C；又当x时，y，排除B，而D满足.5.若关于x的方程|x|ax只有一个解，则实数a的取值范围是_.答案(0，)解析在同一个坐标系中画出函数y|x|与yax的图象，如图所示.由图象知当a0时，方程|x|ax只有一个解.6.已知函数f(x)2x，若函数g(x)的图象与f(x)的图象关于x轴对称，则g(x)_；若把函数f(x)的图象向左平移1个单位，再向下平移4个单位后，所得函数的解析式为h(x)_.答案2x2x14解析g(x)的图象与函
6、数f(x)2x的图象关于x轴对称，g(x)2x.把f(x)2x的图象向左平移1个单位，得m(x)2x1的图象，再向下平移4个单位，得h(x)2x14的图象.考点一作函数的图象【例1】 作出下列函数的图象：(1)y；(2)y|log2(x1)|；(3)y；(4)yx22|x|1.解(1)先作出y的图象，保留y图象中x0的部分，再作出y的图象中x0部分关于y轴的对称部分，即得y的图象，如图实线部分.(2)将函数ylog2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y|log2(x1)|的图象，如图.(3)y2，故函数图象可由y图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位即得
7、，如图.(4)y且函数为偶函数，先用描点法作出0，)上的图象，再根据对称性作出(，0)上的图象，得图象如图.感悟升华画函数图象的一般方法(1)直接法.当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.(2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.【训练1】 分别画出下列函数的图象：(1)y|lg x|；(2)ysin |x|.解(1)y|lg x|函数y|lg x|的图象，如图.(2)当x0时，ysin|x|与ysin x的图象完全相同，
8、又ysin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如图.考点二函数图象的辨识【例2】 (1)(2020浙江卷)函数yxcos xsin x在区间，上的图象可能是()(2)(2021浙江考前冲刺卷)函数f(x)(xa)3a1与函数g(x)logax在同一坐标系下的图象可能为()答案(1)A(2)A解析(1)当x时，ycos sin (1)0；当x时，ycos()sin()(1)0.故函数图象过(，)，(，)两点.故选A.(2)由题意得，a1或0a1时，g(x)logax单调递增，且f(x)(xa)3a1的图象的对称中心在直线x1的右侧，故A正确，B错误；当0a1时，g(x)logax单调递减，f
9、(x)(xa)3a1的图象的对称中心在直线x1的左侧，所以C，D均错.感悟升华(1)抓住函数的性质，定性分析从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.从函数的单调性，判断图象的变化趋势；从周期性，判断图象的循环往复.从函数的奇偶性，判断图象的对称性.(2)抓住函数的特征，定量计算从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.(3)对于两个函数的图象问题，要注意图象变换的灵活使用.【训练2】 (1)(2021衢州、湖州、丽水质检)函数f(x)(exex)ln |x|的图象大致为()(2)函数y2x2e|x|在2，2的图象大致为()答案(1)D(2)D解析(1)
10、因为函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，f(x)f(x)，所以函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除B；因为f(1)0，故排除C；因为当x0时，f(x)，故排除A，故选D.(2)f(x)2x2e|x|，x2，2是偶函数，又f(2)8e2(0，1)，排除A，B.设g(x)2x2ex，x0，则g(x)4xex.又g(0)0，g(2)0，g(x)在(0，2)内至少存在一个极值点，f(x)2x2e|x|在(0，2)内至少存在一个极值点，排除C，故选D.考点三函数图象的应用角度1判定函数中的参数【例31】 (2021北京丰台区模拟)如图，点O为坐标原点，点A(1，1)，若函数yax及ylo
11、gbx的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足()A.ab1 B.baa1 D.ab1答案A解析由题意知A(1，1)，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，所以M，N，把M代入函数yax，即a，解得a，把N代入函数ylogbx，即logb，即得b，所以ab1.角度2研究函数的性质【例32】 (一题多解)设函数f(x)min|x2|，x2，|x2|，其中minx，y，z表示x，y，z中的最小者.则下列说法错误的是()A.函数f(x)为偶函数B.若x1，)时，有f(x2)f(x)C.若xR时，f(f(x)f(x)D.若x4，4时，|f(x)2|f(x)答
12、案D解析法一如图，函数f(x)为偶函数；作出函数f(x)的图象，将f(x)的图象向右平移2个单位长度知f(x2)的图象在1，)上的部分位于f(x)的图象的下方，则有f(x2)f(x)；令f(x)u0，则由图象知f(u)u，由排除法知D错误，故选D.法二若x4，4，则0f(x)2，故|f(x)2|2f(x)f(x)等价于0f(x)1，所以当x4，4时，|f(x)2|f(x)不恒成立.否定一个结论，只需给出一个反例即可.取x4，则|f(4)2|0f(4)，D错误，故选D.角度3研究方程的根【例33】 (1)(2020杭州三校三联)若函数f(x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是_.(2)
13、若x1满足2x2x5，x2满足2x2log2(x1)5，则x1x2()A. B.3 C. D.4答案(1)(0，2)(2)C解析(1)在同一平面直角坐标系中画出y|2x2|与yb的图象，如图所示.当0b2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)|2x2|b有两个零点.b的取值范围是(0，2).(2)2x52x，2log2(x1)52x，即2x1x，log2(x1)x，作出y2x1，yx，ylog2(x1)的图象(如图).由图知y2x1与ylog2(x1)的图象关于yx1对称，它们与yx的交点A，B的中点为yx与yx1的交点C，xC，x1x2.角度4求不等式的解集【例34】 (2020北京卷)
14、已知函数f(x)2xx1，则不等式f(x)0的解集是()A.(1，1) B.(，1)(1，)C.(0，1) D.(，0)(1，)答案D解析在同一平面直角坐标系中画出h(x)2x，g(x)x1的图象如图.由图象得交点坐标为(0，1)和(1，2).又f(x)0等价于2xx1，结合图象，可得x0或x1.故f(x)0的解集为(，0)(1，).故选D.感悟升华(1)利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如图象的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性.(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题
15、，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解.(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.【训练3】 (1)(角度1)已知函数f(x)|log3x|，实数m，n满足0mn，且f(m)f(n)，若f(x)在m2，n上的最大值为2，则m_，n_.(2)(角度3)已知当x0，1时，函数y(mx1)2的图象与ym的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是_.(3)(角度4)函数f(x)是定义在4，4上的偶函数，其在0，4上的图象如图所示，那么不等式0的解集为_.答案(1)3(2)(0，1
16、3，)(3)解析(1)如图，作出函数f(x)|log3x|的图象，观察可知0m10.当x时，ycos x0.结合yf(x)，x0，4上的图象知，当1x时，0.又函数y为偶函数，所以在4，0上，0的解集为，所以0的解集为.基础巩固题组一、选择题1.为了得到函数y2x2的图象，可以把函数y2x图象上所有的点()A.向右平行移动2个单位长度B.向右平行移动1个单位长度C.向左平行移动2个单位长度D.向左平行移动1个单位长度答案B解析因为y2x22(x1)，所以只需将函数y2x的图象上所有的点向右平移1个单位长度即可得到y2(x1)2x2的图象.2.(2021镇海中学模拟)小明站在点O观察练车场上匀速
17、行驶的小车P的运动情况，小车从点A出发的运动轨迹如图所示.设小明从点A开始随动点P变化的视角为AOP，练车时间为t，则函数f(t)的图象大致为()答案D解析结合小明观察小车的运动轨迹可以看到，其观察视角从一开始增大，然后减小，有一段几乎没有发生变化，然后再减小，最后呈增大趋势，结合选项可知D正确.3.使log2(x)x1成立的x的取值范围是()A.(1，0) B.1，0) C.(2，0) D.2，0)答案A解析在同一直角坐标系内作出ylog2(x)，yx1的图象，知满足条件的x(1，0)，故选A. 4.(2018浙江卷)函数y2|x|sin 2x的图象可能是()答案D解析设f(x)2|x|si
18、n 2x，其定义域关于原点对称，又f(x)2|x|sin(2x)f(x)，所以yf(x)是奇函数，故排除A，B；令f(x)0，则sin 2x0，所以x(kZ)，故排除C.故选D.5.(2021杭州市质检)已知函数g(x)，h(x)cos x，当x(2，4)时，函数g(x)与h(x)的交点横坐标分别记为xi(i1，2，n)，则xi()A.5 B.6 C.7 D.8答案C解析易知g(x)的图象关于x1对称，h(x)cos x的图象关于x1对称.作出两个函数的图象，如图所示.根据图象知，两函数有7个交点，其中一个点的横坐标为x1，另外6个交点关于直线x1对称，因此xi3217.6.已知函数f(x)若
19、a，b，c互不相等，且f(a)f(b)f(c)，则abc的取值范围是()A.(1，2017) B.(1，2018) C.2，2 018 D.(2，2018)答案D解析设f(a)f(b)f(c)m，作出函数f(x)的图象与直线ym，如图所示，不妨设abc，当0x1时，函数f(x)的图象与直线ym的交点分别为A，B，由正弦曲线的对称性，可得A(a，m)与B(b，m)关于直线x对称，因此ab1，令log2 017x1，解得x2 017，结合图象可得1c2 017，因此可得2abc0时，设解析式为ya(x2)21(a0).图象过点(4，0)，0a(42)21，得a.8.(2021绍兴适应性考试)已知函
20、数f(x)若a0，b0，且f(a)f(b)，则f(ab)的取值范围是_.答案1，)解析在平面直角坐标系内画出函数f(x)的图象如图所示，由图易得要使a0，b0，f(a)f(b)，则a0，b，且2b3a2，则b，则aba(a1)21，当a0时，ab(a1)21(，1，所以f(ab)2(ab)31，).9.函数y为_函数(填“奇”或“偶”)，函数f(x)1的对称中心为_.答案奇(0，2)解析y的定义域为R，记g(x)，则g(x)g(x)，g(x)即y是奇函数；函数f(x)的定义域为R，f(x)f(x)1124，故f(x)的对称中心为(0，2).10.(2021台州评估)若函数f(x)则f_；不等式
21、f(x1)f(x)的解集为_.答案0，)解析flg ，所以ff.作出函数yf(x)与yf(x1)的图象如图所示，易得两图象的交点横坐标分别为，则不等式f(x1)f(x)的解集为0，).三、解答题11.已知函数f(x)(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f(x)的图象；(2)写出f(x)的单调递增区间；(3)由图象指出当x取什么值时f(x)有最值.解(1)函数f(x)的图象如图所示.(2)由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为1，0，2，5.(3)由图象知当x2时，f(x)minf(2)1，当x0时，f(x)maxf(0)3.12.已知f(x)|x24x3|.(1)作出函数f(x)的图象；(
22、2)求函数f(x)的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合Mm|使方程f(x)m有四个不相等的实根.解(1)当x24x30时，x1或x3，f(x)f(x)的图象为：(2)由函数的图象可知f(x)的单调区间是(，1，(2，3)，(1，2，3，)，其中(，1，(2，3)是减区间；(1，2，3，)是增区间.(3)由f(x)的图象知，当0m1时，f(x)m有四个不相等的实根，所以Mm|0m1.能力提升题组13.已知yf(x)定义域为实数集R，则函数yf(1x)与yf(x1)的图象关于()A.直线y0对称 B.直线x0对称C.直线y1对称 D.直线x1对称答案D解析假设f(x)x2，则f(x1)(x1)
23、2，f(1x)(1x)2(x1)2，它们是同一个函数，此函数图象关于直线x1对称.14.已知函数f(x)则对任意x1，x2R，若0|x1|x2|，下列不等式成立的是()A.f(x1)f(x2)0C.f(x1)f(x2)0 D.f(x1)f(x2)0答案D解析函数f(x)的图象如图所示：且f(x)f(x)，从而函数f(x)是偶函数且在0，)上是增函数.又0|x1|f(x1)，即f(x1)f(x2)0，需满足a2，所以2a2.16.(2021龙湾中学检测)设函数f(x)若f(x)无最大值，则实数a的取值范围为_.答案解析一平面直角坐标系中画出yx3x与yx的大致图象如图所示，两个图象相切于坐标原点
24、，且坐标原点是两函数图象的唯一交点.由图易得当直线xa处于点的右侧时，函数f(x)存在最大值；当直线xa处于点的左侧时，函数f(x)无最大值，所以实数a的取值范围为.17.(2021嘉兴测试)已知函数f(x)(1)若对任意的xR，都有f(x)|k1|成立，则实数k的取值范围为_；(2)若存在xR，使|f(x)|k，则实数k的取值范围是_.答案(1)(2)0，)解析(1)对任意xR，都有f(x)|k1|成立，即f(x)max|k1|.因为f(x)的草图如图所示，观察f(x)的图象可知，当x时，f(x)max，所以|k1|，解得k或k.(2)|f(x)|的图象如图所示，且|f(x)|0，)，存在x
25、R，使|f(x)|k，故k的取值范围是0，).18.已知函数f(x)的图象与函数h(x)x2的图象关于点A(0，1)对称.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若g(x)f(x)，g(x)在区间(0，2上的值不小于6，求实数a的取值范围.解(1)设f(x)图象上任一点坐标为(x，y)，点(x，y)关于点A(0，1)的对称点(x，2y)在h(x)的图象上，2yx2，yx，即f(x)x.(2)由题意g(x)x，且g(x)x6，x(0，2.x(0，2，a1x(6x)，即ax26x1.令q(x)x26x1，x(0，2，q(x)x26x1(x3)28，当x(0，2时，q(x)是增函数，q(x)maxq(2)7.故实数a的取值范围是7，).
