1、32.2奇偶性第1课时奇偶性的概念学习目标1.了解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题知识点一函数奇偶性的几何特征一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数知识点二函数奇偶性的定义1偶函数：函数f(x)的定义域为I，如果xI，都有xI，且f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数2奇函数：函数f(x)的定义域为I，如果xI，都有xI，且f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数知识点三奇(偶)函数的定义域特征奇(偶)函数的定义域关于原点对称1奇、偶函数的定义域都关于原点对称()2函数f(x)x
2、2|x|的图象关于原点对称()3对于定义在R上的函数f(x)，若f(1)f(1)，则函数f(x)一定是偶函数()4不存在既是奇函数又是偶函数的函数()一、函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性(1)f(x)；(2)f(x)x2(x22)；(3)f(x)；(4)f(x).解(1)f(x)的定义域为(，0)(0，)，f(x)f(x)，f(x)是奇函数(2)f(x)x2(x22)的定义域为R.f(x)f(x)，f(x)x2(x22)是偶函数(3)f(x)的定义域为(，1)(1，)，定义域不关于原点对称，f(x)既不是奇函数，也不是偶函数(4)f(x)的定义域为1,1f(x)f(x)f(x)0，f(
3、x)既为奇函数，又为偶函数反思感悟判断函数奇偶性的方法(1)定义法：定义域关于原点对称；确定f(x)与f(x)的关系(2)图象法跟踪训练1判断下列函数的奇偶性(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)解(1)函数f(x)的定义域为0，)，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数(2)f(x)的定义域为1,0)(0,1，关于原点对称f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数(3)f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称，当x0时，x0，则f(x)(x)2(x)x2xf(x)；当x0，则f(x)(x)2(x)x2xf(x)，所以f(x)是偶函数二、奇、偶函数图象的应用例2定义在R上的奇函
4、数f(x)在0，)上的图象如图所示(1)画出f(x)的图象；(2)解不等式xf(x)0.考点函数图象的对称性题点中心对称问题解(1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(1，1)，(2,0)，连线可得f(x)的图象如图(2)xf(x)0即图象上横坐标、纵坐标同号结合图象可知，xf(x)0的解集是(2,0)(0,2)延伸探究把本例中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题解(1)f(x)的图象如图所示：(2)xf(x)0的解集是(，2)(0,2)反思感悟可以用奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称这一特性去画图，求值，解不等式等跟踪训练2已知奇函数f(x)的定义域为5,5，且在区间0,5上的图
5、象如图所示(1)画出在区间5,0上的图象；(2)写出使f(x)0的x的取值集合考点函数图象的对称性题点中心对称问题解(1)如图，在0,5上的图象上选取5个关键点O，A，B，C，D.分别描出它们关于原点的对称点O，A，B，C，D，再用光滑曲线连接即得(2)由(1)图可知，当且仅当x(2,0)(2,5)时，f(x)0.使f(x)0的x的取值集合为x|2x0或2x5三、利用函数的奇偶性求参数值例3(1)若函数f(x)ax2bx3ab是偶函数，定义域为a1,2a，则a_，b_.答案0解析因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a12a，解得a.又函数f(x)x2bxb1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易
6、得b0.(2)已知函数f(x)ax22x是奇函数，则实数a_.答案0解析由奇函数定义有f(x)f(x)0，得a(x)22(x)ax22x2ax20，故a0.反思感悟利用奇偶性求参数的常见类型(1)定义域含参数：奇偶函数f(x)的定义域为a，b，根据定义域关于原点对称，利用ab0求参数(2)解析式含参数：根据f(x)f(x)或f(x)f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解跟踪训练3(1)若函数f(x)x2|xa|为偶函数，则实数a_.答案0解析方法一显然xR，由已知得f(x)(x)2|xa|x2|xa|.又f(x)为偶函数，所以f(x)f(x)，即x2|xa|x2|xa|，即|xa|xa|.又
7、xR，所以a0.方法二由题意知f(1)f(1)，则|a1|a1|，解得a0.(2)已知函数f(x)是奇函数，当x(，0)时，f(x)x2mx.若f(2)3，则m的值为_答案解析f(2)f(2)3，f(2)(2)22m3，m.1下列函数是偶函数的是()Ayx By2x23Cy Dyx2，x(1,1答案B2函数f(x)x的图象关于()Ay轴对称 B直线yx对称C坐标原点对称 D直线yx对称答案C解析f(x)x是奇函数，f(x)x的图象关于原点对称3下列图象表示的函数具有奇偶性的是()考点函数的奇偶性概念题点函数奇偶性概念的理解答案B4f(x)x2|x|()A是偶函数，在(，)上是增函数B是偶函数，
8、在(，)上是减函数C不是偶函数，在(，)上是增函数D是偶函数，且在(0，)上是增函数考点单调性与奇偶性的综合应用题点判断函数的单调性、奇偶性答案D5若已知函数f(x)是定义在(1,1)上的奇函数，且f ，则函数f(x)的解析式为_答案f(x)解析f(x)是定义在(1,1)上的奇函数，f(0)0，f(0)0，b0.即f(x)，又f ，.a1，函数f(x).1知识清单：(1)函数奇偶性的概念(2)奇函数、偶函数的图象特征2方法归纳：特值法、数形结合法3常见误区：忽略函数的定义域的对称性，只有定义域关于原点对称，才可能具有奇偶性1下列函数中奇函数的个数为()f(x)x3；f(x)x5；f(x)x；f
9、(x).A1 B2 C3 D4答案C2已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)2，则下列各点中一定在函数f(x)的图象上的是()A(3，2) B(3,2) C(3，2) D(2，3)答案A解析f(3)2即点(3,2)在奇函数的图象上，(3,2)关于原点的对称点(3，2)必在f(x)的图象上3设f(x)是定义在R上的一个函数，则函数F(x)f(x)f(x)在R上一定()A是奇函数B是偶函数C既是奇函数又是偶函数D既不是奇函数又不是偶函数答案A解析F(x)f(x)f(x)f(x)f(x)F(x)F(x)为奇函数4若f(x)3x35xa1为奇函数，则a的值为()A0 B1 C1 D2答案C解析f(
10、x)为R上的奇函数，f(0)0得a1.5.如图，给出奇函数yf(x)的局部图象，则f(2)f(1)的值为()A2 B2C1 D0答案A解析f(2)f(1)f(2)f(1)2.6若f(x)(xa)(x4)为偶函数，则实数a_.答案4解析f(x)x2(a4)x4a是偶函数，a4.7已知yf(x)是奇函数，当x0时，f(x)x2ax，且f(3)6，则a的值为_答案5解析因为f(x)是奇函数，所以f(3)f(3)6，所以(3)2a(3)6，解得a5.8若f(x)为R上的奇函数，给出下列四个说法：f(x)f(x)0；f(x)f(x)2f(x)；f(x)f(x)f(3)11下列函数中，既是偶函数又在(0，
11、)上单调递增的函数是()Ayx3 By|x|1Cyx21 Dy答案B解析对于函数y|x|1，f(x)|x|1|x|1f(x)，所以y|x|1是偶函数，当x0时，yx1，所以在(0，)上单调递增另外，函数yx3不是偶函数，yx21在(0，)上单调递减，y不是偶函数故选B.12设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()Af(x)|g(x)|是偶函数Bf(x)|g(x)|是奇函数C|f(x)|g(x)是偶函数D|f(x)|g(x)是奇函数考点函数的奇偶性判定与证明题点判断抽象函数的奇偶性答案A解析由f(x)是偶函数，可得f(x)f(x)，由g(x)是奇函数可得g(x
12、)g(x)，故|g(x)|为偶函数，f(x)|g(x)|为偶函数13函数f(x)的定义域为_，为_函数(填“奇”或“偶”)答案2,0)(0,2奇解析依题意有解得2x2且x0，f(x)的定义域为2,0)(0,2f(x)，定义域关于原点对称，f(x)f(x)，f(x)为奇函数14函数f(x)ax3bx5满足f(3)2，则f(3)的值为_答案8解析设g(x)f(x)5ax3bx(x0)，g(x)ax3bxg(x)，g(x)是奇函数，g(3)g(3)f(3)5f(3)5253，又g(3)f(3)53，f(3)8.15已知函数f(x)，若f(a)，则f(a)_.考点函数图象的对称性题点中心对称问题答案解析根据题意，f(x)1，而h(x)是奇函数，故f(a)1h(a)1h(a)21h(a)2f(a)2.16设函数f(x)是奇函数(a，b，cZ)，且f(1)2，f(2)3，求a，b，c的值解由条件知f(x)f(x)0，0，c0.又f(1)2，a12b.f(2)3，3，3，解得1a2，a0或1.b或1，由于bZ，a1，b1，c0.
