1、九年级数学卷 第 1 页，共 5 页在基本图形的导航下进行合理思考蔡卫兵（浙江省宁波市鄞州实验中学）1 问题提出如图 1，在等腰直角三角形 ABC中， ACB90， D是AB上任意一点（不与 A重合），连接 DC，作 DE DC， EA AC，DE与 AE交于点 E。 则 DE,DC有什么数量关系？请给出证明。本题既能反映学生对特殊图形性质的掌握程度，对全等三角形的判定与性质的运用能力，还能考查学生从特殊到一般进行探索、猜想、验证的数学思想方法和在复杂图形中提炼基本图形的能力。题目表述相对简约，问题的设置深浅有度，作为中考第一轮三角形基础复习时的每日一题，由学生在课外独立思考后，在第二天课堂中
2、的前几分钟由一名学生主讲，其他学生进行补充或质疑，平时学生的参与热情很高，基本上能在较短的时间内顺利完成每日一题的讲题活动，但此次活动受阻，随机确定的前几个主讲同学只是凭直觉猜想 DE=DC，但不知如何验证，有点出乎我的意料，为了引导学生顺利走出当前困境，进一步感悟在基本图形的导航下进行合理思考的解题方法，笔者开展了如下的解题教学。2 解题教学2.1 感知基本图形师：如何猜想 DE,DC的数量关系？你会进行怎样的操作？生 1：选择特殊位置，比如 D与 B重合，如图 2，易证四边形 ACDE为正方形。生 2：当 D在 AB中点时，如图 3，CDE 为等腰直角三角形，为此猜想 DE=DC。师：这是
3、从特殊到一般的数学思想方法，归纳猜想 DE=DC，那通常用什么方法来证明两条线断相等呢？生（众）：全等或等腰。师：如图 2中可通过分别包含边 DC，DE 的两个三角形全等；如图 3中可通过判定DCE 为等腰三角形。这是两个基本图形，形全等-线相等，形等腰-线相等。师：在图 1中， D是 AB上任意一点时，能找出基本图形吗？生 3：考虑 BCD 和 ADE 全等。生 4：因为 AD是随着点 D的运动而变化，BC 是固定的，所以考虑 BCD 和 ADE 全等的思路肯定是错的。生 5：连结 CE，考虑 CDE 为等腰直角三角形，但算不出DCE=45。图 1EDC A图2CBDA（E ）图3九年级数学
4、卷 第 2 页，共 5 页2.2 聚焦基本图形师：根据所给问题的条件和目标，那你应将解决问题的焦点聚集在什么地方？生 6：因为 DC=DE，DCDE，都跟点 D有关，所以重点关注点 D位置处的特征。师：点 D位置处有何特征？生（众）：线垂直。师：直角定点处有我们经常遇到的基本图形吗？若找不到完整的基本图形，则尝试找到基本图形的一部分，并通过构造辅助线将其补全，接着能不能利用它？生 7：聚焦公共顶点的双直角的基本图形-解法 1：如图 4，过点 D作 DFAB 与 AC的延长线交于点 F。因为 DE DC，所以FDC=ADE。因为 EA AC，所以F=DAE。又因为 ACB90，AC=BC，所以D
5、AF=45，所以 DA=DF。所以 FDCADE（ASA），所以 DE=DC。解法 2：如图 5，过点 D作 DFAB 与 AE的延长线交于点 F。同解法 1得FDE=ADC，DF=DA，F=DAC，所以 FDAADC（ASA），所以 DE=DC。解法 3：如图 6，过点 D作 DFAC，DGAE，垂足分别为 F，G。由 EAAC 可知四边形 AGDF 为矩形，所以 DG=FA。同解法 1 得CDF=EDG，所以RTCDFRTEDG，所以 DE=DC。生 8：聚焦三边分别互相垂直的两个直角三角形的基本图形- 或解法 4：如图 7，过点 D作 GFBC 与 BC交于点 F，与 AE的延长线交于点
6、 G。由 ACB90，EAAC 可知四边形 ACGF 为矩形，所以 CF=GA。因为DAC=45，所以DAE=45，即 ADG 为等腰直角三角形，所以 AG=DG，所以 CF=DG。由 DE DC可证FCD=GDE，所以 RTCDFRTDEG，所以 DE=DC。解法 5：如图 8，过点 D作 DFAC，垂足为 F，过点 E作 EGDF，垂足为 G。F图 4F图 5 FG图 6九年级数学卷 第 3 页，共 5 页同解法 4 可证 RTCDFRTDEG，所以 DE=DC。解法 6：如图 9，过点 C作 CFAB，垂足为 F，过点 E作 EBAB，垂足为 G。因为DCF=EDG，CFD=DEG=90
7、，所以 RtCDFRtDEG，所以 。DECF由等腰直角 AFC 和等腰直角 AEG 得 CF=AF，EG=AG，所以 ，所以，所以 DF=AG=EG，所以 RtCDFRtDEG ，所以 DE=DC。DGAF生 9：聚焦角平分、线相等、形翻折的基本图形-解法 7：如图 10，在 AC上截取一点 F，使得 AF=AE，连结 DF。因为DAF=DAE=45，AD=AD，所以 ADFADE，所以 DF=DE，DFA=E。在四边形 ACDE中CDE=CAE=90，所以DCA+E=180，所以DCA+DFA=180。因为DFC+DFA=180，所以DCA=DFC，所以 DC=DF，所以 DE=DC。解法
8、 8：如图 11，在 AE上截取一点 F，使得 AF=AC，连结 DF。因为DAF=DAE=45，AD=AD，所以 ADCADF，所以 DC=DF，DCA=F。在四边形 ACDE中CDE=CAE=90，所以DCA+DEA=180，而DEA+DEF=180。所以DEF=F，所以 DF=DE，所以 DE=DC。生 10：聚焦角直角、弦直径的基本图形- 或解法 9：如图 12，连结 CE，作 CDE 的外接圆，因为 DE DC，所以 CE为圆的直径，因为 EA AC，所以点 A在 CE为直径的圆上，即 A、C、D、E 在同一圆上。GF图 7GF 图 8FG图 9F图 10F图11 图 12九年级数学
9、卷 第 4 页，共 5 页所以DEC=DAC=45，所以 DE=DC。生 11：聚焦线平行、形相似的基本图形-解法 10：如图 13，延长 CD交 AE的延长线于点 F。由 ACB90和 EA AC得 BCAF，所以 BCDFDA，所以 。FDACB由F=F，FDA=FAC=90得 FACFDE，所以 。E所以 ，所以 BC=AC，所以 DE=DC。DEACB2.3 演变基本图形师：图形作为几何学科的研究对象，不论它多么复杂，都是由一个或者若干个最简单、最基本的图形组合而成，找到这些基本图形往往也就找到了解决问题的突破口。话音刚落，生 12 起立，此题要分类讨论，因为点 D 为 AB上任意一点
10、，上述只证明了点 D在线段 AB中点的上方的情形，当点在线段 AB中点的下方时，图形的位置发生了改变，如图 14，所以有必要再加以说明。生 13：还是可用上述的证明方法，我认为当 D 为直线 AB 上任意一点（不与 A重合），如图 15，如图 16，DC=DE 的结论仍然成立，而且这些证明方法都可通用。师：前苏联数学家雅诺思卡娅所说“解题-就意味着把所要解决的问题转化为已经解决的问题。”在原题的探索、猜想、验证的过程中借助已解决的公共顶点的双直角的基本图形中的同角的余角相等，三边分别互相垂直的两个直角三角形的基本图形中的三角形相似，角平分、线相等的基本图形中的三角形全等，角直角、弦直径的基本图
11、形中的四点共圆，线平行的“A”型和“X 或 Z” 型中的三角形相似，分析图形并联想基本图形-作辅助线完善图形-利用基本图形发现思路，辅助线的添加是有理有据的。生 12，生 13 又在已解决的基本图形的导航下进行合理思路，通过改变点 D的位置进行演变图形。俗话说F图13CDEAB图 14EDC AB图 15 BCDAE图 16九年级数学卷 第 5 页，共 5 页“变则通，通则久”，那你还能在此探究的基础上进一步尝试改编试题，使解题通法再延伸吗？小组合作，不断提出延伸性问题：问题 1：在图 6、图 7、图 8的导航下结合 HL定理提出可交换问题的条件与结论，如图 1，在等腰直角三角形 ABC中，
12、ACB90， EA AC， D是 AB上任意一点（不与 A重合），若 DC=DE， 则 DE,DC有怎样的位置关系？请给出证明。问题 2：在图 4、图 5、图 6、图 7、图 8、图 12、图 13的导航下结合相似三角形的判定与性质或锐角三角函数提出改变条件探索结论，如图 17，在 ABC中， ACB90， CBA30， D是 AB上任意一点（不与 A重合），连接 DC，作 DE DC， EA AC， DE与AE交于点 E，则 DE,DC有什么数量关系？请给出证明。问题 3：如图 18，在 ABC中， ACB90，BC=nAC， D是 AB上任意一点，连接DC，作 DE DC， EA AC，
13、DE与 AE交于点 E，则 DE,DC有什么数量关系？请给出证明。问题 4：在图 10、图 11、图 12的导航下结合圆的基本性质与解直角三角形提出改变图形探索条件，如图 19，在 ABC中， ACB90，BACBAE=60， D是 AB上任意一点（不与 A重合），连接 DC， DE，当CDE 为多少时 DC=DE成立，请说明理由。问题 5：如图 19，在 ABC中， ACB90，BAC=，BAE= ， D是 AB上任意一点（不与 A重合），CDE+CAE=180，请用含 ， 的三角函数表示 。EC3 思考感悟所谓基本图形就是将在“图形与几何”领域的学习过程中具有一定典型性的概念、公式、定理、
14、例题、习题中反复出现、经常用到的对应图形，是结论化的图形，是图形化的公式。它作为构成几何图形的基本要素，如果能够从较复杂的图形中识辨、抽象、分离、构造出基本图形，借助基本图形中的基本元素及其相互关系进行思考，可以使抽象问题直观化，复杂问题简单化，提高学生对于图形与几何的学习水平，有利于发展学生的几何直图17图18ABCED图 19九年级数学卷 第 6 页，共 5 页观。因此，在几何的解题教学中，我们应重视重要结论所对应的基本图形的积累，重视引导学生分析图形并联想基本图形，在基本图形的导航下发现思路、作辅助线完善图形、解决问题、归纳规律、演变图形、拓展结论、图形重组等合理思考，从而发现“辅助线如何添”，顿悟“辅助性为何这样添”，明白“思路从哪里来”，领悟“问题到何处去”，真正为学生思维升华拓展空间。参考文献：1高一子.基本图形在平面几何中的教学运用-以平行线的判定为例J。中学数学教学参考，2015（6）：38-40。2陈金红.模型出面 繁简转换J。中学数学，2015（7）：85-86。作者姓名：蔡卫兵 单位：浙江省宁波市鄞州实验中学 邮编：315100联系方式：13757482809 电子信箱：
