陕西省石泉县高中数学 第一章 推理与证明教案（打包9套）北师大版选修2-2.zip

11.2 类比推理课标要求教学中应通过实例，引导学生运用合情推理去探索、猜测一些数学结论，并用演绎推理确认所得结论的正确性，或者用反例推翻错误的猜想。教学的重点在于通过具体实例理解合情推理与演绎推理，而不追求对概念的抽象表述。三维目标1、 知 识 与 技 能 ：（1）结合数学实例，了解类比推理的含义（2）能利用类比方法进行简单的推理，2、 过 程 与 方 法 ： 通 过 课 例 ， 加 深 对 类 比 这 种 思 想 方 法 的 认 识 。3、 情 感 态 度 与 价 值 观 ： 体验并认识类比推理在数学发现中的作用。学情分析体会类比法在数学发现中的基本作用：即通过类比，发现新问题、新结论；通过类比，发现解决问题的新方法。培养分析问题的能力、学会解决问题的方法；增强探索问题的信心、收获论证成功的喜悦；体验数学发现的乐趣、领略数学方法的魅力！同时培养学生学数学、用数学，完善数学的正确数学意识。教学重难点【 教 学 重 点 】 ：（ 1） 体 会 并 实 践 类 比 推 理 的 探 索 过 程（ 2） 类 比 推 理 的 局 限【 教 学 难 点 】 ：引 导 和 训 练 学 生 从 已 知 的 线 索 中 归 纳 出 正 确 的 结 论提炼的课题 培养学生“发现—猜想—证明”的推理能力。教学手段运用教学资源选择探析归纳，讲练结合教 学 过 程环节 学生要解决的问题或任务 教师教与学生学 设计意图2一、问题情景学生阅读1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明了锯2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇3.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征; 1)火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星; 2)有大气层,在一年中也有季节变更; 3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存,等等. 科学家猜想;火星上也可能有生命存在.4．利用平面向量的本定理类比得到空间向量的基本定理二 、 概 念 教 学由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.类比练习：(i)圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径. 由此结论如何类比到球体？(ii)平面内不共线的三点确定一个圆，由此结论如何类比得到空间的结论？由圆的一些特征，类比得到球体的相应特征. （教材 73 探究 填表）小结：平面→空间，圆→球，线→面.讨论：以平面向量为基础学习空间向量，试举例其中的一些类比思维.例 3、类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.思维：直角三角形中， 09C，3 条边的长度,abc，2 条直角边 ,ab和 1条斜边 ；→3 个面两两垂直的四面体中， 09PDFEF，4 个面的面积 123,S和引 入 课 题通 过 阅 读 教 材 体 会 类 比 推 理的 思 维 过 程类 比 推 理 ― ― 联 想 ― ― 普 遍联 系33 个“直角面”12,S和 1 个“斜面” S. → 拓展：三角形到四面体的类比.例 4、 （可作为研究性学习材料）12.1 综 合 法课标要求结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。三维目标（ 1） 知 识 与 技 能 ： 结 合 已 学 过 的 数 学 实 例 ， 了 解 直 接 证 明 的 两 种 基 本 方 法——综 合 法 和 分 析 法 ； 了 解 综 合 法 、 分 析 法 的 思 考 过 程 、 特 点（ 2） 过 程 与 方 法 ： 能 够 运 用 综 合 法 、 分 析 法 证 明 数 学 问 题（ 3） 情 感 态 度 与 价 值 观 ： 通 过 本 节 课 的 学 习 ， 感 受 逻 辑 证 明 在 数 学 以 及 日常 生 活 中 的 作 用 ， 养 成 言 之 有 理 ， 论 证 有 据 的 习 惯学情分析前 一 阶 段 刚 刚 学 习 了 人 们 在 日 常 活 动 和 科 学 研 究 中 经 常 使 用 的 两 种 推 理——合 情 推 理 和 演 绎 推 理 。 数 学 结 论 的 正 确 性 必 须 通 过 逻 辑 推 理 的 方 式 加 以证 明 。 这 是 数 学 区 别 于 其 他 学 科 的 显 著 特 点 。 本 节 学 习 两 类 基 本 的 证 明 方 法 ：直 接 证 明 与 间 接 证 明 。在 以 前 的 学 习 中 ， 学 生 已 经 接 触 过 用 综 合 法 、 分 析 法 和 反 证 法 证 明 数 学命 题 ， 但 他 们 对 这 些 证 明 方 法 的 内 涵 和 特 点 不 一 定 非 常 清 楚 ， 逻 辑 规 则 也 会应 用 不 当 。 本 部 分 结 合 学 生 已 学 过 的 数 学 知 识 ， 通 过 实 例 引 导 学 生 分 析 这 些基 本 证 明 方 法 的 电 教 过 程 与 特 点 ， 并 归 纳 出 操 作 流 程 框 图 ， 使 他 们 在 以 后 的学 习 和 生 活 中 ， 能 自 觉 地 、 有 意 识 地 运 用 这 些 方 法 进 行 数 学 证 明 ， 养 成 言 之有 理 、 论 证 有 据 的 习 惯 。教学重难点【 教 学 重 点 】 ：了 解 综 合 法 、 分 析 法 的 思 考 过 程 、 特 点 ； 运 用 综 合 法 、 分 析 法 证 明 数 学 问题 。【 教 学 难 点 】 ：根 据 问 题 特 点 ， 选 择 适 当 的 证 明 方 法 证 明 数 学 问 题 。提炼的课题 不等式证明方法教学手段运用教学资源选择讲练结合教 学 过 程环节 学生要解决的问题或任务 教师教与学生学 设计意图2一、提出问题二 、综 合 法定 义三 、应 用比 较2ab与 的 大 小 关 系 .生 ： a2。2. 22,0:((4bacabc已 知 :求 证)+)生 ： 讨 论 、 交 流 完 成 ， 对 比解 答综 合 法 ： 一 般 地 ，利 用 已 知 条 件 和 某 些 数学 定 义 、 公 理 、 定 理 等 ，经 过 一 系 列 的 推 理 论 证 ，最 后 推 导 出 所 要 证 明 的结 论 成 立 ， 这 种 证 明 方法 叫 做 综 合 法 。 （ 也 形象 地 称 为 “顺 推 证 法 ”或 “由 因 导 果 法 ”）阅 读 课 本 P85 倒 数 第 3 行 ：流 程 框 图1. 例 1：求证： 是函数 )42sin()xf的一个周期。证明： ∴由函数周期的定义可知：是函数 )42sin()xf的一个周期。例 2：（韦达定理）已知1x和 是一元二次方程 )04,(022 acbcba的两个根。求证： xx2121,。证明： 略例 3：已知：x,y,z 为互不相等的实数，且 ,11xzyx求证：.2z略通 过 复 习 导 入 新 课通 过 典 型 数 学 实 例 ， 概 括 综合 法 的 特 点更 直 观 了 解 综 合 法 的 证 明 过程强 调 分 析 过 程 和 思 考 过 程 ，尤 其 是 本 题 的 文 字 语 言 与 符号 语 言 的 转 换 （ 2B=A+C） ，隐 含 条 件 的 显 性 化（ A+B+C=π ） ， 通 过 寻 找 条件 和 结 论 间 的 联 系 ， 就 可 直接 从 已 知 条 件 和 余 弦 定 理 出发 ， 证 明 问 题 。例 题 起 到 运 用 综 合 法 证 题 的示 范 作 用 ， 注 意 规 范 化 表 达 。3四 、练 习巩 固及 时 讲 评 学 生 板 演 过 程 中 出现 的 问 题12.2 分析法（一）课标要求结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点三维目标1．知识与技能(1)引导学生分析综合法和分析法的思考过程与特点；(2)简单运用综合法与分析法解决具体的数学问题．2．过程与方法结合学生已学过的数学知识，通过实例引导学生分析综合法与分析法的思考过程与特点，并归纳出操作流程．3．情感、态度与价值观(1)通过本节的学习，使学生在以后的学习和生活中，能自觉地、有意识地运用这些方法进行数学证明，养成言之有理、论证有据的习惯；(2)通过本节的学习和运用实践，体会数学问题解决过程中的思维方式．学情分析教学时要结合学生已学过的数学知识，通过实例充分暴露学生解决问题时的思维过程及形成原因，再通过不同实例概括两种方法的思考特点，从而揭示综合法与分析法的含义，使重点突出，难点化解．教学重难点重点：(1)了解综合法与分析法的思考过程和特点； (2)运用综合法与分析法证明数学问题．难点：对综合法与分析法的思考过程和特点的概括．提炼的课题 分析法的思考过程、特点。教学手段运用教学资源选择探析归纳，讲练结合教 学 过 程环节 学生要解决的问题或任务 教师教与学生学 设计意图2(一)、复习：综合法的思考过程、特点（二） 、引入新课在数学证明中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，它是寻求解题思路的一种基本思考方法，应用十分广泛。从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为止，这种证明的方法叫做分析法．这个明显成立的条件可以是：已知条件、定理、定义、公理等。特点：执果索因。即：要证结果 Q，只需证条件 P（四） 、小结：分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知，其逐步推理，实际上是寻找它的充分条件。分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件（三） 、例题探析例 1、已知： a， b 是不相等的正数。求证： 23。证明：要证明 23aba只需证明 )())(22，只需证明 0)())(22 baab，只需证明 0)2)(bab，只需证明 0)(2ba，只需证明 )()(2且。由于命题的条件“a，b是不相等的正数” ，它保证上式成立。这样就证明了命题的结论。例 2、求证： 10578。证明：要证明 演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等） ，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程，培养和提高学生的演绎推理或逻辑证明的能力是高中数学课程的重要目标， 在以前的学习中，学生已积累了较多的综合法、分析法证明数学问题的经验，但这些经验是零散的，不系统的．由此，借助学生熟悉的数学实例，引导学生归纳总结两种方法的特点，促使他们形成对两种方法的较完整认识．所以本节课宜采取自主探究与师生交流相结合的教学模式，充分暴露学生思维，总结共性，形成规律．3出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。 10578，只需证明 22)()(，即 502156278只需证明 0，即 5650，这显然成立。这样就证明了 1057812.2 分析法（二）课标要求结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点三维目标1．知识与技能(1)引导学生分析综合法和分析法的思考过程与特点；(2)简单运用综合法与分析法解决具体的数学问题．2．过程与方法结合学生已学过的数学知识，通过实例引导学生分析综合法与分析法的思考过程与特点，并归纳出操作流程．3．情感、态度与价值观(1)通过本节的学习，使学生在以后的学习和生活中，能自觉地、有意识地运用这些方法进行数学证明，养成言之有理、论证有据的习惯；(2)通过本节的学习和运用实践，体会数学问题解决过程中的思维方式．学情分析教学时要结合学生已学过的数学知识，通过实例充分暴露学生解决问题时的思维过程及形成原因，再通过不同实例概括两种方法的思考特点，从而揭示综合法与分析法的含义，使重点突出，难点化解．教学重难点重点：(1)了解综合法与分析法的思考过程和特点；(2)运用综合法与分析法证明数学问题．难点：对综合法与分析法的思考过程和特点的概括．提炼的课题 分析法的思考过程、特点教学手段运用教学资源选择探析归纳，讲练结合教 学 过 程环节 学生要解决的问题或任务 教师教与学生学 设计意图2(一)、复习：直接证明的方法：综合法、分析法。（二） 、引入新课分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。在很多数学命题的证明中，往往需要综合地运用这两种思维方法（三） 、例题讲解：例 1：如图、已知 BE， CF 分别为△ ABC 的边 AC， AB 上的高， G 为 EF 的中点， H 为 BC的中点.求证： HG⊥ EF.证明：考虑待证的结论“HG⊥ EF” .根据命题的条件： G 为EF 的中点，连接 EH， HF，只要证明△ EHF 为等腰三角形，即 EH=HF.根据条件 CF⊥ AB，且 H为 BC 的中点，可知 FH 是Rt△ BCF 斜边上的中线.所以 BCF21.同理 HE.这样就证明了△ EHF 为等腰三角形.所以 HG⊥ EF.例 2：已知： a， b， c 都是正实数，且 ab+bc+ca=1.求证：综合法与分析法各有其特点.从需求解题思路来看，分析法执果索因，常常根底渐近，有希望成功；综合法由因导果，往往枝节横生，不容易奏效，就表达过程而论，分析法叙述烦琐，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰.也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表述.因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程.3a+b+c 3.证明：考虑待证的结论“a+b+c ” ，因为a+b+c＞0，只需证明 3)(2，即 3)(22 acbcba.又 ab+bc+ca=1，所以，只需证明 122cba，即 022.因为 ab+bc+ca=1，所以，只需证明 0)(22 acbcba只需证明 )(22，即 0)()(222acba由于任意实数的平方都非负，故上式成立.所以 a+b+c 3.13 反证法（一） 课标要求结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。三维目标（ 1） 知 识 与 技 能 ： 结 合 已 学 过 的 数 学 实 例 ， 了 解 间 接 证 明 的 方 法 ——反证 法 ； 了 解 反 证 法 的 思 考 过 程 、 特 点（ 2） 过 程 与 方 法 ： 能 够 运 用 反 证 法 证 明 数 学 问 题（ 3） 情 感 态 度 与 价 值 观 ： 通 过 本 节 课 的 学 习 ， 感 受 逻 辑 证 明 在 数 学 以 及 日常 生 活 中 的 作 用 ， 养 成 言 之 有 理 ， 论 证 有 据 的 习 惯学情分析前 面 我 们 学 习 了 两 种 直 接 证 明 问 题 的 方 法 ——综 合 法 和 分 析 法 以 前 的学 习 中 ， 学 生 已 经 接 触 过 用 反 证 法 证 明 数 学 命 题 ， 本 节 课 进 一 步 熟 悉 运 用 反 证法 证 明 某 些 直 接 证 明 较 难 解 决 的 数 学 问 题 。教学重难点【 教 学 重 点 】 ：了 解 反 证 法 的 思 考 过 程 、 特 点 ； 运 用 反 证 法 证 明 数 学 问 题 。【 教 学 难 点 】 ：运 用 反 证 法 证 明 数 学 问 题 。提炼的课题 反证法的思考过程、特点。教学手段运用教学资源选择探析归纳，讲练结合教 学 过 程环节 学生要解决的问题或任务 教师教与学生学 设计意图例 1、已知 a 是整数，2 能整除2，求证：2 能整除 a.证明：假设命题的结论不成立，即“2 不能整除 a”。因为 a 是整数，故 a 是奇数， a 可表示为 2m+1（ m 为整数） ，则 1)2(14)12(2 m复习：综合法与分析法综合法与分析法各有其特点.从需求解题思路来看，分析法执果索因，常常根底渐近，有希望成功；综合法由因导果，往往枝节横生，不容易奏效。就表达过程而论，分析反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证2，即 2a是奇数。所以，2 不能整除 2。这与已知“2 能整除 ”相矛盾。于是， “2 不能整除 a”这个假设错误，故 2 能整除 a.例 2、在同一平面内，两条直线a， b 都和直线 c 垂直。求证：a 与 b 平行。证明：假设命题的结论不成立，即“直线 a 与 b 相交” 。设直线 a， b 的交点为 M， a， c的交点为 P， b， c 的交点为 Q，如图所示，则 0。这样 △ 的内角和 PMP00189Q这与定理“三角形的内角和等于 018”相矛盾，这说明假设是错误的。所以直线 a 与 b 不相交，即 a与 b 平行。法叙述烦琐，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰.也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表述。因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程。小结：反证法的证题步骤是：（1）作出否定结论的假设；（2）进行推理，导出矛盾；（3）否定假设，肯定结论。应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实. 法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有 n 个/至多有(n一 1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。313 反 证 法 （ 二 ）课标要求结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。三维目标（ 1） 知 识 与 技 能 ： 结 合 已 学 过 的 数 学 实 例 ， 了 解 间 接 证 明 的 方 法 ——反证 法 ； 了 解 反 证 法 的 思 考 过 程 、 特 点（ 2） 过 程 与 方 法 ： 能 够 运 用 反 证 法 证 明 数 学 问 题（ 3） 情 感 态 度 与 价 值 观 ： 通 过 本 节 课 的 学 习 ， 感 受 逻 辑 证 明 在 数 学 以 及 日常 生 活 中 的 作 用 ， 养 成 言 之 有 理 ， 论 证 有 据 的 习 惯学情分析前 面 我 们 学 习 了 两 种 直 接 证 明 问 题 的 方 法 ——综 合 法 和 分 析 法 以 前的 学 习 中 ， 学 生 已 经 接 触 过 用 反 证 法 证 明 数 学 命 题 ， 本 节 课 进 一 步 熟 悉 运 用反 证 法 证 明 某 些 直 接 证 明 较 难 解 决 的 数 学 问 题 。教学重难点【 教 学 重 点 】 ：了 解 反 证 法 的 思 考 过 程 、 特 点 ； 运 用 反 证 法 证 明 数 学 问 题 。【 教 学 难 点 】 ：运 用 反 证 法 证 明 数 学 问 题 。提炼的课题 反证法的思考过程、特点。教学手段运用教学资源选择探析归纳，讲练结合教 学 过 程环节 学生要解决的问题或任务 教师教与学生学 设计意图2一、提出问题二 、反 证 法定 义问题 1、任找 370 个人，他们中生日有没有相同的呢？问题 2、将 9 个球分别染成红色或白色，无论怎样染，至少有 5 个球是同色的，你能证明这个结论吗？思考：通过以上几个练习，大家已经初步体会到反证法的作用，你能不能总结一下应用反证法的概念及其步骤？例 1、已知直线 ,ab和平面，如果 ，且|ab，求证 |。解析：让学生理解反证法的严密性和合理性；证明：因为 |ab, 所以经过直线 a , b 确定一个平面 。因为 ，而 ，所以 与 是两个不同的平面．因为 b，且 ，所以 . 下面用反证法证明直线 a 与平面 没有公共点．假设直线a 与平面 有公共点 P，则Pb，即点 是直线 1：反证法的概念：假设原命题不成立，经过正确的推理,最后得出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法．2：反证法的基本步骤：1）:假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；2）:从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；3）:从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.3：应用反证法的情形：1）：直接证明困难；2）：需分成很多类进行讨论； 3）：结论为“至少” 、 “至多”、 “有无穷多个”类命题； 4）：结论为 “唯一”类命题；例 2、求证： 不是有理数解析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法．假设 2不是无理数，那么它就是有理数．我们知道，任一有理数都可以写成形如 mn（ ,互从实际生活的例子出发，使学生对反证法的基本方法和步骤有一个更深刻的认识。直 观 了 解 反 证 法 的 证 明 过程 。 否 定 结 论 ， 推 出 矛 盾 。提 醒 学 生 ： 使 用 反 证 法 进 行证 明 的 关 键 是 在 正 确 的 推 理下 得 出 矛 盾 。 这 个 矛 盾 可 以是 与 已 知 条 件 矛 盾 ， 或 与 假设 矛 盾 ， 或 与 定 义 、 公 理 、定 理 、 事 实 矛 盾 等 。进 上 步 熟 悉 反 证 法 的 证 题 思路 及 步 骤 。引 导 学 生 结 合 思 考 题 和 例 题归 纳 出 反 证 法 所 适 用 的 题 型特 点 和 一 般 步 骤 。 培 养 学 生的 归 纳3a 与 b 的公共点，这与 |ab矛盾．所以 |.点评：用反证法的基本步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步 作出与所证不等式相反的假定；第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等利质， *,mZnN”的形式．下面我们看看能否由此推出矛盾．证明：假设 2不是无理数，那么它就是有理数．于是，存在互质的正整数 ,mn，使得 2n，从而有 , 因此， 2，所以 m 为偶数．于是可设 k ( k 是正整数） ，从而有 24n，即k所以 n 也为偶数．这与 m , n 互质矛盾！由上述矛盾可知假设错误，从而 2是无理数14 数 学 归 纳 法 (1)课标要求 使学生了解归纳法,理解数学归纳的原理与实质三维目标（ 1） 知 识 与 技 能 ： 理 解 “归 纳 法 ”和 “数 学 归 纳 法 ”的 含 意 和 本 质 ； 掌 握数 学 归 纳 法 证 题 的 两 个 步 骤 一 个 结 论 ； 会 用 “数 学 归 纳 法 ”证 明 与 正 整 数有 关 的 数 学 命 题 。（ 2） 过 程 与 方 法 ： 初 步 掌 握 归 纳 与 推 理 的 方 法 ； 培 养 大 胆 猜 想 ， 小 心 求 证 的辩 证 思 维 素 质 。（ 3） 情 感 态 度 与 价 值 观 ： 培 养 学 生 对 于 数 学 内 在 美 的 感 悟 能 力 。学情分析数 学 归 纳 法 是 一 种 特 殊 的 直 接 证 明 的 方 法 ， 在 证 明 一 些 与 正 整 数n（ n 取 无 限 多 个 值 ） 有 关 的 数 学 命 题 时 ， 数 学 归 纳 法 往 往 是 非 常 有 用 的 研 究工 具 ， 它 通 过 有 限 个 步 骤 的 推 理 ， 证 明 n 取 无 限 多 个 正 整 数 的 情 形 。教学重难点【 教 学 重 点 】 ：借 助 具 体 实 例 了 解 数 学 归 纳 法 的 基 本 思 想 ， 掌 握 它 的 基 本 步 骤 (特 别要 注 意 递 推 步 骤 中 归 纳 假 设 的 运 用 和 恒 等 变 换 的 运 用 )， 运 用 它 证 明 一 些与 正 整 数 有 关 的 数 学 命 题 。【 教 学 难 点 】 ：如 何 理 解 数 学 归 纳 法 证 题 的 有 效 性 ； 递 推 步 骤 中 如 何 利 用 归 纳 假 设 。提炼的课题 如 何 理 解 数 学 归 纳 法 证 题 的 有 效 性教学手段运用教学资源选择多媒体辅助课堂教学教 学 过 程环节 学生要解决的问题或任务 教师教与学生学 设计意图2一、提出问题二 、数 学 归纳 法 原理问 题 1： 考 察 部 分 对 象 ，得 到 一 般 结 论 的 方 法 ， 叫 做不 完 全 归 纳 法 。 不 完 全 归 纳法 得 到 的 结 论 不 一 定 正 确 。举 2 个 小 例 子 说 明 不 完 全 归纳 法 不 一 定 正 确 。例 如 ： 小 明 的 爸 爸 有 3个 儿 子 ， 老 大 说 ： “我 叫1 毛 ”， 老 二 说 ： “我 叫 2毛 ”， 老 三 说 ————？问 题 2： 请 大 家 回 忆 ， 课 本是 如 何 得 出 等 差 数 列 的 通 项公 式 的 ？问 题 4： 很 多 时 候 用 完 全归 纳 法 证 明 结 论 是 否 正 确 是不 合 适 的 ， 我 们 借 助 不 完 全归 纳 法 去 发 现 或 猜 想 结 论 ，那 么 如 何 解 决 不 完 全 归 纳 法存 在 的 问 题 呢 ？ （ 只 有 经过 严 格 的 证 明 ， 不 完 全 归 纳得 出 的 结 论 才 是 正 确 的 。 ）1 由 多 米 诺 骨 牌 引 入 数 学 归纳 法提 出 两 个 问 题 ： 若 第 一块 不 倒 ， 出 现 什 么 情 况 ？ 若中 间 某 块 倒 下 ， 不 能 使 其 下一 块 倒 下 ， 出 现 什 么 情 况 ？所 以 多 米 诺 骨 牌 游 戏 能 进 行下 去 要 满 足 两 个 条 件 。问 题 3： 对 于 数 列 {an}，已 知 nnaa1,1（ n=1,2,……） ， 求 出 432,，我 们 猜 想 其 通 项 公 式 为na1。 这 个 结 论 正 确 吗 ？生 ： 讨 论 、 交 流 。给 出 问 题 3 的 数 学 归纳 法 的 证 明 ， 将 每 一 步 骤标 号 。 引 导 学 生 总 结 出 数学 归 纳 法 的 证 题 思 路 和 步骤 。数 列 {an}中 ， 已 知1,1（ n=1,2,……） ， 则 猜 想 其 通 项 公 式为 na。证 明 ： （ 1） 当 n=1 时 ，,1猜 想 式 成 立（ 2） 假 设 当 n=k 时猜 想 成 立 ， 即 a1，那 么 当 n=k+1 时 ，根 据 已 知kka1及 假 设 k，通 过 实 际 例 子 了 解 不 完 全 归纳 法 与 完 全 归 纳 法 的 概 念复 习 回 顾提 出 问 题 ， 引 发 思 考通 过 此 例 引 导 学 生 总 结 数 学归 纳 法 的 证 题 步 骤 。详 细 的 板 书 推 导 利 于 学 生 总结 归 纳 出 数 学 归 纳 法 的 证 题步 骤 及 更 进 一 步 地 理 解 原 理3（ 1） 第 一 块 骨 牌 倒 下 ；（ 2） 任 意 相 邻 的 两 块 骨牌 ， 前 一 块 倒 下 一 定 导 致 后一 块 倒 下 。2． 参 照 多 米 诺 骨 牌 的 原 理 ，我 们 设 想 ： 在 证 明 某 些 与 正整 数 有 关 问 题 时 ， 先 证 明 当n 取 第 一 个 值 n0 (例 如 n0 =1 或 2)时 ， 命 题 成 立 （ 即骨 牌 的 第 一 块 能 倒 ） ， 然 后假 设 只 要 由 n=k ( k∈ N* ， k≥ n0 )时 命 题 成 立 ，就 能 推 出 n=k+1 时 命 题 也成 立 （ 即 只 要 某 一 块 倒 下 ，就 能 使 其 下 一 块 也 倒 下 ） ，那 么 就 证 明 这 个 命 题 成 立（ 所 有 骨 牌 都 能 倒 下 ） 。 我们 称 这 种 证 明 方 法 叫 做 数 学归 纳 法 。 （ 严 谨 ， 一 而 二 ，二 而 三 ， ……以 至 无 穷 ）数 学 归 纳 法 的 适 用 范 围 、原 理所 以 11kakk即 当 n=k+1 时 猜 想 也 成 立 。由 （ 1） （ 2） 可 以 断 定 ，等 式 对 一 切 n∈ N*都 成 立强 调 :要 用 到 归 纳 假 设 ；列 出 证 明 n=k+1 成 立 时 的目 标明 确 数 学 归 纳 法 的“起 动 步 骤 ”和 “递 推 步骤 ”这 “两 个 步 骤 ”以 及“一 个 结 论 ”。用 数 学 归 纳 法 证 明 命题 的 具 体 步 骤 是 ：(1)（ 归 纳 奠 基 ） 证 明当 n 取 第 一 值 n0 (例 如n0=1， n0=2 等 )时 命 题 成立 ；(2)（ 归 纳 递 推 ） 假 设n=k(k∈ N* 且 k≥ n0)时命 题 成 立 ， 证 明 当n=k+1 时 命 题 也 成 立 。在 完 成 了 这 两 个 步 骤以 后 ， 就 可 以 断 定 命 题 对从 n0 开 始 的 所 有 的 自 然 数n 都 正 确 。培 养 学 生 的 归 纳 能 力培 养 阅 读 习 惯强 调 ：（ 1） 上 面 的 证 明 第 一 步是 递 推 基 础 ， 第 二 步 是 递 推的 依 据 ， 两 者 缺 一 不 可 。（ 2） 第 一 步 要 证 明 ，n=k+1 时 也 要 证 明 ， 且 过 程中 一 定 要 用 到 假 设 。阅 读 课 本 ： P16414 数 学 归 纳 法 (2)课标要求 使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质三维目标1． 掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题．2． 培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想．3． 努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率．4． 通过对例题的探究，体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明), 激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神．学情分析数学归纳法是一种用于证明与自然数 n 有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点不应该是方法的应用．我认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．为此，我设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机．教学重难点【 教 学 重 点 】 ：借 助 具 体 实 例 了 解 数 学 归 纳 法 的 基 本 思 想 ， 掌 握 它 的 基 本 步 骤 (特 别要 注 意 递 推 步 骤 中 归 纳 假 设 的 运 用 和 恒 等 变 换 的 运 用 )， 运 用 它 证 明 一 些与 正 整 数 有 关 的 数 学 命 题 。【 教 学 难 点 】 ：如 何 理 解 数 学 归 纳 法 证 题 的 有 效 性 ； 递 推 步 骤 中 如 何 利 用 归 纳 假 设 。提炼的课题 如 何 理 解 数 学 归 纳 法 证 题 的 有 效 性教学手段运用教学资源选择类比启发探究式教学方法；多媒体辅助课堂教学教 学 过 程环节 学生要解决的问题或任务 教师教与学生学 设计意图2问题 1 已知 na＝22)5(n（ n∈ N） ，(1)分别求 1； 2； 3；4a．(2)由此你能得到一个什么结论？这个结论正确吗？ 问题 2 费马（ Fermat）是17 世纪法国著名的数学家，他曾认为，当 n∈ N 时，12n一定都是质数，这是他对 n＝0，1，2，3，4 作了验证后得到的．后来，18 世纪伟大的瑞士科学家欧拉（ Euler）却证明了 125＝4 294 967 297＝6 700 417×641，从而否定了费马的推测．没想到当n＝5 这一结论便不成立．问题 3 41)(2f, 当 n∈ N时， n是否都为质数？验证： f（0）＝41， f（1）＝43， f（2）＝47， f（3）＝53， f（4）＝61， f（5）＝71， f（6）＝83， f（7）＝97， f（8）＝113， f（9）＝131， f（10）＝151，…， f（39）＝1 例 1 用 数 学 归 纳 法 证 明 2)1(53n板 书 解 答 过 程 ， 注 意解 题 规 范 ， 严 防 出 现“依 次 类 推 ”式 的 不 完 全归 纳 法 ； 强 调 n=k 成 立必 须 应 用 在 证 明 n=k+1成 立 的 过 程 中 ， 不 可 应 用等 差 数 列 求 和 公 式 证 明n=k+1 成 立 。证 明 ：（ 1） 当 n=1 时 ， 左 式=1， 右 式 =12， 等 式 成 立 。（ 2） 假 设 当 n=k 时 ， 等式 成 立即 2)1(531k成 立则 当 n=k+1 时 2)( ]1)(2[)]1(53[k左 式所 以 当 n=k+1 时 等 式也 成 立综 合 （ 1） （ 2） 知 ，等 式 对 于 任 意 n∈ N*都 成立 。演 示 此 求 证 式 的 含 义在教学方法上，这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法．目的是加强学生对教学过程的参与．为了使这种参与有一定的智能度，教师应做好发动、组织、引导和点拨培养学生大胆猜想的意识和数学概括能力．概括能力是思维能力的核心．鲁宾斯坦指出：思维都是在概括中完成的．心理学认为“迁移就是概括” ，这里知识、技能、思维方法、数学原理的迁移，我找的突破口就是学生的概括过程．3601．但是 f（40）＝1 681＝24，是合数．课堂检测内容专家伴读 P13 打基础， 测水平 7，8 不做补充 若 n 为正整数，求证：n 3+5n 能被 6 整除。证明：（1）当 n=1 时，命题显然成立；（2）假设当 n=k 时，命题成立，则 k3+5k 能被 6 整除则当 n=k+1 时， （k+1） 3+5(k+1)= k3+3k2+3k+1+5k+5=(k3+5k)+3k(k+1)+6由假设知 k 3+5k 能被 6 整除，而 k(k+1)是 2 的倍数，即 3k(k+1)为 6 的倍数，第三项 6 也能被 6 整除，因此，(k 3+5k)+3k (k+1)+6 能被 6 整除。综合(1)(2)知，原命题成立。