1、,第二章 2.4 抛物线,2.4.1 抛物线及其标准方程,学习目标 1.理解抛物线的定义及焦点、准线的概念. 2.掌握抛物线的标准方程及其推导. 3.明确抛物线标准方程中参数p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程的问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 抛物线的定义,(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 . (2)定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于11
2、).,相等,焦点,准线,知识点二 抛物线的标准方程,思考 抛物线的标准方程有何特点？,答案 (1)是关于x，y的二元二次方程，且只有一个二次项，一个一次项，根据平方项可以确定一次项的取值范围. (2)p的几何意义是焦点到准线的距离.,梳理 由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y22px(p0)，y22px(p0)，x22py(p0)，x22py(p0). 现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：,焦点到准线的距离,思考辨析 判断正误 (1)抛物线的方程都是二次函数.( ) (2)抛物线的焦点到准线的距离是p.( ) (3)抛物线的开
3、口方向由一次项确定.( ),题型探究,则x0等于 A.1 B.2 C.4 D.8,类型一 抛物线定义及应用,所以x01，故选A.,答案,解析,(2)若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x50的距离小1，则P点的轨迹方程是 A.y216x B.y232x C.y216x D.y232,答案,解析,解析 点P到点(4,0)的距离比它到直线x50的距离小1， 将直线x50右移1个单位， 得直线x40，即x4， 易知点P到直线x4的距离等于它到点(4,0)的距离. 根据抛物线的定义，可知P的轨迹是以点(4,0)为焦点，以直线x4为准线的抛物线.,抛物线的标准方程为y216x， 即P点的轨迹方程为y2
4、16x，故选C.,反思与感悟 依据抛物线定义可以实现点线距离与线线距离的转化.,解析 设点P(x0，y0)，由抛物线方程x24y， 知焦点坐标为(0,1)，准线方程为y1， 由抛物线的定义，得|PF|y0110， 所以y09，代入抛物线方程得x06.,跟踪训练1 (1)抛物线x24y上的点P到焦点的距离是10，则P点的坐标为_.,答案,解析,(6,9)或(6,9),(2)已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，点P在抛物线上，且|PM| |PF|，则PMF的面积为 A.4 B.8 C.16 D.32,答案,解析,解析 如图所示，易得F(2,0)， 过点P作PNl，垂足为N.,
5、解答,类型二 求抛物线的标准方程,例2 分别求符合下列条件的抛物线的标准方程. (1)过点(3,2)；,解 设抛物线的标准方程为y22px或x22py(p0)，,解答,(2)焦点在直线x2y40上.,解 当焦点在y轴上时，已知方程x2y40， 令x0，得y2，所求抛物线的焦点为(0，2)， 设抛物线的标准方程为x22py(p0)，,所求抛物线的标准方程为x28y； 当焦点在x轴上时，已知x2y40， 令y0，得x4，抛物线的焦点为(4,0)， 设抛物线的标准方程为y22px(p0)，,所求抛物线的标准方程为y216x. 综上，所求抛物线的标准方程为x28y或y216x.,反思与感悟 抛物线标准
6、方程的求法 (1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程. (2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值.,解答,p6，抛物线的方程为y212x.,跟踪训练2 根据下列条件分别求抛物线的标准方程. (1)抛物线的焦点是双曲线16x29y2144的左顶点；,解答,(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y3与抛物线交于点A，|AF|5.,解 设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y22px(p0)，A(m，3)，,又(3)22pm， p1或p9
7、， 故所求抛物线方程为y22x或y218x.,例3 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？,类型三 抛物线的实际应用问题,解答,解 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系. 设抛物线方程为x22py(p0)， 由题意可知，点B(4，5)在抛物线上，,当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA， 则A(2，yA)，,又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，所以h|yA|0.752(m). 所
8、以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航.,反思与感悟 涉及拱桥，隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解.,解答,跟踪训练3 如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管OP1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，P距抛物线的对称轴1 m，则水池的直径至少应设计多长？(精确到1 m),解 如图所示，以抛物线状喷泉的最高点为原点，以过 原点且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系. 设抛物线方程为x22py(p0). 依题意有P(1，1)在此抛物线上，,即水池的直径至少应设计为5 m.,达标检测,答案,解析
9、,1.抛物线y2x的准线方程为,1,2,3,4,5,2.以F(1,0)为焦点的抛物线的标准方程是 A.x4y2 B.y4x2 C.x24y D.y24x,答案,解析,解析 抛物线焦点为F(1,0)， 可设抛物线方程为22px(p0)，,抛物线方程为y24x.,1,2,3,4,5,答案,解析,3.已知抛物线x24y上的一点M到此抛物线的焦点的距离为2，则点M的纵坐标是,A.0 C.1 D.2,解析 根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0,1)，准线方程为y1， 根据抛物线定义，得yM12，解得yM1.,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 因为动圆过点(0,1)且与定直线l相切， 所以动圆圆心到点(
10、0,1)的距离与它到定直线l的距离相等， 又因为动圆圆心在抛物线x24y上，且(0,1)为抛物线的焦点， 所以l为抛物线的准线，所以l：y1.,4.一动圆过点(0,1)且与定直线l相切，圆心在抛物线x24y上，则l的方程为,1,2,3,4,5,答案,解析,5.动点P到直线x40的距离比它到点M(2,0)的距离大2，则点P的轨迹方程是_.,y28x,解析 由题意可知，动点P到直线x20的距离与它到点M(2,0)的距离相等，利用抛物线定义求出方程.,1,2,3,4,5,规律与方法,2.设M是抛物线上一点，焦点为F，则线段MF叫做抛物线的焦半径.若M(x0，y0)在抛物线y22px(p0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF|x0 .,3.对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题.,
