1、,第二章 2.2 椭 圆,2.2.1 椭圆及其标准方程,学习目标 1.理解椭圆的定义. 2.掌握椭圆的标准方程及标准方程的推导过程.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 椭圆的定义,思考 给你两个图钉，一根无弹性的细绳，一张纸板，一支铅笔，如何画出一个椭圆？,答案 在纸板上固定两个图钉，绳子的两端固定在图钉上，绳长大于两图钉间的距离，笔尖贴近绳子，将绳子拉紧，移动笔尖即可画出椭圆.,梳理 (1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做 .这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 . (2)椭圆的定义用集合语言叙述为：PM|MF
2、1|MF2|2a,2a|F1F2|.,常数,(3)2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：,椭圆,焦点,焦距,知识点二 椭圆的标准方程,思考 在椭圆的标准方程中abc一定成立吗？,答案 不一定， 只需ab，ac即可，b，c的大小关系不确定.,梳理 (1)椭圆标准方程的两种形式,(c,0),(0，c),(2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系,(3)根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标,判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个,而且可求出焦点坐标F1(0，1)，F2(0,1)，焦距|F1F2|2.,思考辨析 判断正误 (1)已知F1(4,0)，
3、F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆.( ) (2)已知F1(4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆.( ) (3)平面内到点F1(4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆.( ) (4)平面内到点F1(4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆.( ),题型探究,例1 点P(3,0)是圆C：x2y26x550内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，判断圆心M的轨迹.,类型一 椭圆定义的应用,解答,解 方程x2y26x550化成标准形式为(x3)2y264，圆
4、心为(3,0)，半径r8. 因为动圆M与已知圆相内切且过P点，所以|MC|MP|r8， 根据椭圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值86|CP|， 所以动点M的轨迹是椭圆.,引申探究 若将本例中圆C的方程改为：x2y26x0且点P(3,0)为其外一定点，动圆M与已知圆C相外切且过P点，求动圆圆心M的轨迹方程.,解 设M(x，y)，由题意可知，圆C：(x3)2y29，圆心C(3,0)， 半径r3.,解答,由|MC|MP|r，故|MC|MP|r3，,反思与感悟 椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视.,定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量. 常数2a必须大于两定点间的
5、距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件.,跟踪训练1 (1)下列命题是真命题的是_.(将所有真命题的序号都填上) 已知定点F1(1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|PF2| 的点P的轨迹为椭圆； 已知定点F1(2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|PF2|4的点P的轨迹为线段； 到定点F1(3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆.,解析 2，故点P的轨迹不存在； 因为2a|F1F2|4，所以点P的轨迹是线段F1F2； 到定点F1(3，0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴).,答案,解析,(2)已知一动圆M与圆C1：(
6、x3)2y21外切，与圆C2：(x3)2y281内切，试求动圆圆心M的轨迹方程.,解答,解 由题意可知C1(3,0)，r11，C2(3,0)，r29， 设M(x，y)，半径为R， 则|MC1|1R，|MC2|9R， 故|MC1|MC2|10， 由椭圆定义知，点M的轨迹是一个以C1，C2为焦点的椭圆，且a5，c3，故b2a2c216.,解答,类型二 椭圆的标准方程,由ab0，知不合题意，故舍去；,解 方法一 当椭圆焦点在x轴上时，,方法二 设椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，mn).,所以所求椭圆的方程为5x24y21，,解答,反思与感悟 (1)若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和
7、在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx2ny21(mn，m0，n0).,解答,跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(4,0)，F2(4,0)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；,由题意可知2a10，c4，故b2a2c29，,解答,(2)椭圆过点(3,2)，(5,1)；,解 设椭圆的一般方程为Ax2By21(A0，B0，AB)，,解答,(3)椭圆的焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1).,例3 已知B，C是两个定点，|BC|8，且ABC的周长等于18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程.,类型三 求与椭圆有关的轨迹方程,解答,解 以过B，
8、C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图所示.,由|BC|8可知点B(4,0)，C(4,0). 由|AB|AC|BC|18， 得|AB|AC|108|BC|，,因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆， 这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a10，但点A不在x轴上. 由a5，c4，得b2a2c225169.,反思与感悟 求与椭圆有关的轨迹方程常用的方法： (1)定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义，则可用定义直接求解. (2)直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式后化简，得出动点的轨迹方程. (3)相关点法：根据
9、相关点所满足的方程，通过转换求出动点轨迹的方程.,解答,解 设M(x，y)，P(x1，y1). M为线段AP的中点，,达标检测,答案,解析,的距离为 A.5 B.6 C.7 D.8,1,2,3,4,5,解析 设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，|PF1|2， 结合椭圆定义|PF2|PF1|10，可得|PF2|8.,答案,解析,2.已知椭圆的焦点为(1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为,1,2,3,4,5,b2a2c23，,答案,解析,|PF1|PF2|2a6且|PF1|PF2|21， |PF1|4，|PF2|2， |PF1|2|PF2|2|F1F2|2， PF1F2是直
10、角三角形，,1,2,3,4,5,4,答案,解析,4.在椭圆 中，有一沿直线运动的粒子从一个焦点F2出发经椭圆反射后经过另一个焦点F1，再次被椭圆反射后又回到F2，则该粒子在整个运动过程中经过的路程为_.,1,2,3,4,5,5.若ABC的三边长a，b，c成等差数列，且b6，求顶点B的轨迹方程.,解 以直线AC为x轴，AC的中点为原点，建立平面直角坐标系， 设A(3,0)，C(3,0)，B(x，y)， 则|BC|AB|ac2b2|AC|12， B点的轨迹是以A，C为焦点的椭圆， 且a6，c3，b227.,1,2,3,4,5,解答,1.平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|MF2|2a， 当2a|F1F2|时，轨迹是椭圆； 当2a|F1F2|时，轨迹是一条线段F1F2； 当2a|F1F2|时，轨迹不存在.,规律与方法,2.所谓椭圆的标准方程，指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标,3.对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是通过待定系数法求解，二是通过椭圆的定义进行求解.,
