1、,第二章 圆锥曲线与方程,2.1 曲线与方程,学习目标 1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系. 2.理解方程的曲线和曲线的方程的概念. 3.了解用坐标法研究几何问题的常用思路与方法. 4.掌握根据已知条件求曲线方程的方法.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 曲线的方程和方程的曲线的概念,在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下的关系： (1) 都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是 上的点， 那么，这个方程叫做 ；这条曲线叫做 .,曲线上点的坐标,曲线,方程的曲线
2、,曲线的方程,知识点二 坐标法思想及求曲线方程的步骤,思考 曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解，能否说f(x，y)0是曲线C的方程？试举例说明.,答案 不能. 还要验证以方程f(x，y)0的解为坐标的点是否都在曲线上. 例如曲线C为“以原点为圆心，以2为半径的圆的上半部分”与方程“x2y24”，曲线上的点都满足方程，但曲线的方程不是x2y24.,梳理 (1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法.曲线C的点集和方程f(x，y)0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上.定义中的条件说明曲线上的所有点都适合这个
3、方程；条件说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏.,一一对应,(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了 关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质.,(3)求曲线的方程的步骤,p(M),方程的解,有序实数对(x，y ),PM|p(M),f(x，y) 0,f(x，y) 0,思考辨析 判断正误 如果曲线l上的点的坐标满足方程F(x，y)0，则 (1)曲线l的方程是F(x，y)0.( ) (2)方程F(x，y)0的曲线是l.( ) (3)坐标不满足方程F(x，y)0的点不在曲线l上.( ) (4)坐标满足方程F(x，y)0的点在曲
4、线l上.( ),题型探究,例1 (1)设方程f(x，y)0的解集非空，若命题“坐标满足方程f(x，y)0的点都在曲线C上”是假命题，则下列命题为真命题的是 A.坐标满足f(x，y)0的点都不在曲线C上 B.曲线C上的点的坐标不满足f(x，y)0 C.坐标满足f(x，y)0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上 D.一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)0,类型一 曲线的方程与方程的曲线解读,答案,解析,解析 命题“坐标满足方程f(x，y)0的点都在曲线C上”为假命题， 则命题“坐标满足方程f(x，y)0的点不都在曲线C上”是真命题.故选D.,(2)“以方程f(x，y)0的解为坐标的点都是
5、曲线C上的点”是“曲线C的方程是f(x，y)0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,解析 由曲线C的方程是f(x，y)0，得以方程f(x，y)0的解为坐标的点都是曲线C上的点，但反过来不成立，故选B.,答案,解析,反思与感悟 (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性. (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程.,跟踪训练1 分析下列曲线上的点与相应方程的关系： (1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|2之
6、间的关系；,解答,解 过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|2的解， 但以方程|x|2的解为坐标的点不都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上. 因此，|x|2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程.,(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy5之间的关系；,解 与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy5， 但以方程xy5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5. 因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy5.,(3)第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点与方程xy0之间的关系.,解答,解 第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的坐标都满足
7、xy0； 反之，以方程xy0的解为坐标的点都在第二、四象限两坐标轴夹角的平分线上. 因此，第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的轨迹方程是xy0.,例2 已知方程x2(y1)210.,解答,点P(1，2)在方程x2(y1)210表示的曲线上，,类型二 曲线与方程的应用,解答,引申探究 本例中曲线方程不变，若点N(a,2)在圆外，求实数a的取值范围.,解 结合点与圆的位置关系，得a2(21)210，即a29， 解得a3或a3， 故所求实数a的取值范围为(，3)(3，).,解答,反思与感悟 判断曲线与方程关系的问题时，可以利用曲线与方程的定义，也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断.,解答,跟
8、踪训练2 若曲线y2xy2xk0过点(a，a)(aR)，求k的取值范围.,解 曲线y2xy2xk0过点(a，a)， a2a22ak0，,命题角度1 直接法求曲线的方程 例3 一个动点P到直线x8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍.求动点P的轨迹方程.,类型三 求曲线的方程,解答,解 设P(x，y)，则|8x|2|PA|，化简，得3x24y248， 故动点P的轨迹方程为3x24y248.,引申探究 若本例中的直线改为“y8”，求动点P的轨迹方程.,解 设P(x，y)， 则P到直线y8的距离d|y8|，,化简，得4x23y216x16y480. 故动点P的轨迹方程为4x23y216x16y48
9、0.,解答,反思与感悟 直接法求动点轨迹的关键及方法 (1)关键：建立恰当的平面直角坐标系；找出所求动点满足的几何条件. (2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明. 特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化.,解答,解 设点P(x，y)，由M(1,0)，N(1,0)，,点P的轨迹方程为x2y23(x0).,命题角度2 相关点法求曲线的方程 例4 动点M在曲线x2y21上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P， 求P点的轨迹方程.,解 设P(x，y)，M(x0，y0)，,又因
10、为M在曲线x2y21上，,解答,所以点P的轨迹方程为(2x3)24y21.,反思与感悟 相关点法求解轨迹方程的步骤 (1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0).,(3)代入相关动点的轨迹方程. (4)化简、整理，得所求轨迹方程.,跟踪训练4 已知圆C：x2(y3)29.过原点作圆C的弦OP，求OP的中点Q的轨迹方程.,解 设P(x1，y1)，Q(x，y)，,解答,达标检测,答案,解析,1.若命题“曲线C上点的坐标都是方程f(x，y)0的解”是真命题，则下列命题为真命题的是 A.方程f(x，y)0所表示的曲线是曲线C B.方程f(x，y)0所表示的曲线不一定是曲线C C.f(x，y)0是
11、曲线C的方程 D.以方程f(x，y)0的解为坐标的点都在曲线C上,1,2,3,4,5,解析 “曲线C上点的坐标都是方程f(x，y)0的解”， 但以方程f(x，y)0的解为坐标的点不一定在曲线C上， 故A，C，D都为假命题，B为真命题.,答案,解析,2.已知直线l：xy30及曲线C：(x3)2(y2)22，则点M(2,1) A.在直线l上，但不在曲线C上 B.在直线l上，也在曲线C上 C.不在直线l上，也不在曲线C上 D.不在直线l上，但在曲线C上,1,2,3,4,5,解析 将M(2,1)代入直线l和曲线C的方程， 由于2130，(23)2(12)22， 所以点M既在直线l上又在曲线C上，故选B
12、.,答案,解析,3.等腰三角形底边的两个顶点分别是B(2,1)，C(0，3)，则另一个顶点A的轨迹方程是 A.x2y10(x0) B.y2x1 C.x2y10(y1) D.x2y10(x1),解析 设A(x，y)，依题意，知|AB|AC|，,又因为A，B，C三点不能共线，所以x1，故选D.,化简得x2y10.,1,2,3,4,5,答案,解析,4.到直线4x3y50的距离为1的点的轨迹方程为 _.,4x3y100和4x3y0,1,2,3,4,5,解析 设该点坐标为(x，y)，,所求轨迹方程为4x3y100和4x3y0.,5.M为直线l：2xy30上的一动点，A(4,2)为一定点，又点P在直线AM上运动，且 ，求动点P的轨迹方程.,解 设点M，P的坐标分别为M(x0，y0)，P(x，y)，,1,2,3,4,5,解答,从而点P的轨迹方程为8x4y30.,1.判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程.若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上. 2.已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题.,规律与方法,
