1、1.1.1 任意角,一,二,三,思维辨析,一、角的概念 问题思考 1.(1)初中所学的角是如何定义的?初中学过哪些角?初中学过的角的范围是什么? 提示具有公共顶点的两条射线组成的图形;锐角、直角、钝角、平角、周角;0360. (2)在奥运会比赛中,跳水项目是极具观赏性的项目,其中解说员经常播报出场运动员完成的动作难度系数和一些动作名称.比如说“107B”就表示向前翻腾3周半屈体,“107C”就是向前翻腾3周半抱膝(第三位数字表示翻腾的周数).若一位跳水运动员做了一个“5253B”动作,你知道这位运动员翻腾的周数吗?怎样度量这种形式的角呢? 提示5253B中第3位数是5,说明该运动员翻腾两周半,
2、对这样的角的认识必须将以前学过的角的概念进行推广.,一,二,三,思维辨析,2.填空:(1)角的概念:平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. (2)角的分类:按旋转方向可将角分为三类,一,二,三,思维辨析,3.做一做:每周一早晨,光明中学都会在操场上举行升旗仪式,若升旗仪式需要15分钟,则15分钟的时间,钟表的分针走过的角度是 .,答案-90,一,二,三,思维辨析,二、象限角 问题思考 1.如果将一个角放到平面直角坐标系中,那么如何区分不同大小、不同范围的角呢? 提示固定其顶点和始边的位置,根据其终边的位置来确定角的大小与范围. 2.填空:象限角的定义 (1)前提: 角
3、的顶点与原点重合; 角的始边与x轴的非负半轴重合. (2)结论:角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角; 角的终边在坐标轴上,就说这个角不属于任何一个象限.,一,二,三,思维辨析,3.做一做:在平面直角坐标系中,指出下列各角分别是第几象限角. (1)30; (2)120; (3)-60; (4)225. 答案(1)第一象限角;(2)第二象限角;(3)第四象限角;(4)第三象限角.,一,二,三,思维辨析,三、终边相同的角 问题思考 1.在同一平面直角坐标系内作出30,390,-330,750角,观察它们的终边有什么关系,这些角之间相差多少度? 提示终边在相同的位置,它们之间相差360的整数倍
4、. 2.填空:一般地,所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合:S=|=+k360,kZ,即任何一个与角终边相同的角,都可以表示成角与周角的整数倍的和. 3.做一做:与-40角终边相同的角的集合是( ) A.|=k360-40,kZ B.|=k360+40,kZ C.|=k36040,kZ D.|=k360+80,kZ 答案A,一,二,三,思维辨析,4.终边落在x轴的非负半轴、x轴的非正半轴、x轴、y轴的非负半轴、y轴的非正半轴、y轴、坐标轴上的角的集合 终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为x|x=k360,kZ; 终边落在x轴的非正半轴上的角的集合为x|x=k360+180,kZ;
5、终边落在x轴上的角的集合为x|x=k180,kZ; 终边落在y轴的非负半轴上的角的集合为x|x=k360+90,kZ; 终边落在y轴的非正半轴上的角的集合为x|x=k360-90,kZ; 终边落在y轴上的角的集合为x|x=k180+90,kZ; 终边落在坐标轴上的角的集合为x|x=k90,kZ.,一,二,三,思维辨析,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)第一象限的角都是锐角. ( ) (2)小于90的角一定是锐角. ( ) (3)终边相同的角一定相等. ( ) (4)第四象限角可以是负角. ( ) (5)三角形的内角必是第一、二象限的角. ( )
6、(6)第二象限的角都是钝角. ( ) (7)-435是第三象限角. ( ) (8)若角是第一象限角,则角 是第一、三象限的角. ( ) 答案(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8),探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,任意角的概念及其表示 【例1】 经过2个小时,钟表的时针和分针转过的角度分别是( ) A.60,720 B.-60,-720 C.-30,-360 D.-60,720 解析钟表的时针和分针都是顺时针旋转,因此转过的角度都是负的,而 360=60,2360=720,故钟表的时针和分针转过的角度分别是-60,-720. 答案B,探究一,探究二,探究三
7、,核心素养提升,思维辨析,确定任意角的方法: (1)定方向:明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的,由逆时针方向旋转形成的角为正角,顺时针方向旋转形成的角为负角. (2)定大小:根据旋转角度的绝对量确定角的大小.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,变式训练1把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240所形成的角是( ) A.120 B.-120 C.240 D.-240 解析一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240所形成的角是-240,故选D. 答案D,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,任意角的概念及其表示 角度1 终边相同的角的求解 【例2】 写出与75角终边相
8、同的角的集合,并求在3601 080范围内与75角终边相同的角. 分析根据与角终边相同的角的集合为S=|=k360+,kZ,写出与75角终边相同的角的集合,再取适当的k值,求出3601 080范围内的角.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,解与75角终边相同的角的集合为 S=|=k360+75,kZ. 当3601 080时,即360k360+751 080,又kZ,所以k=1或k=2. 当k=1时,=435; 当k=2时,=795. 综上所述,与75角终边相同且在3601 080范围内的角为435角和795角.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,求与已知角终边相同的
9、角时,要先将这样的角表示成k360+ (kZ)的形式,然后采用赋值法求解或解不等式,确定k的值,求出满足条件的角.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,角度2 终边在某条直线上的角的集合 【例3】 写出终边在如图所示的直线上的角的集合.,分析定0360范围内终边在所给直线上的两个角分别写出与两个角终边相同的角的集合写出两个集合的并集即可,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,解(1)在0360范围内,终边在直线y=0上的角有两个,即0和180,又所有与0角终边相同的角的集合为S1=|=0+k360,kZ,所有与180角终边相同的角的集合为S2=|=180+k360,kZ,
10、于是,终边在直线y=0上的角的集合为S=S1S2=|=k180,kZ. (2)由图形易知,在0360范围内,终边在直线y=-x上的角有两个,即135和315,因此,终边在直线y=-x上的角的集合为S=|=135+k360,kZ|=315+k360,kZ=|=135+k180,kZ. (3)终边在直线y=x上的角的集合为|=45+k180,kZ,结合(2)知所求角的集合为S=|=45+k180,kZ|=135+k180,kZ=|=45+2k90,kZ|=45+(2k+1)90,kZ=|=45+k90,kZ.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,求解终边在某条直线上的角的集合的基本原则
11、 1.若所求角的终边在某条射线上,则集合的形式为|=k360+,kZ. 2.若所求角的终边在某条直线上,则集合的形式为|=k180+,kZ.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,角度3 区域角的求解 【例4】 如图所示,写出顶点在原点,终边重合于x轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界).,分析(1)要注意角的起始边界与终止边界的书写; (2)注意角的终边所出现的规律性是每隔180就会重复出现.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,解(1)对于阴影部分,先取-60,75这一范围,再结合其规律性可得终边落在阴影部分内角的集合为|-60+k36075 +k36
12、0,kZ. (2)对于阴影部分,先取60,90这一范围,再结合其出现的规律性可知集合为|60+k18090+k180,kZ.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角.其写法可分为三步: (1)借助图形,在直角坐标系中先按逆时针的方向找到区域的起始边界和终止边界; (2)按由小到大的顺序分别标出起始边界和终止边界对应的-360360范围内的角和; (3)分别将起始边界,终止边界的对应角,加上360的整数倍,即可求得区域角.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,变式训练2已知角=2 018. (1)把改写成k360+(kZ,0360)的
13、形式,并指出它是第几象限角; (2)求,使与终边相同,且-360720. 解(1)由2 018除以360,得商为5,余数为218. 取k=5,=218,=5360+218. 又=218是第三象限角,为第三象限角. (2)与2 018终边相同的角为k360+2 018(kZ). 令-360k360+2 018720(kZ),k=-6,-5,-4. 将k的值代入k360+2 018中, 得角的值为-142,218,578.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,象限角及其应用 角度1 给定一个角判断它是第几象限角 【例5】 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,作
14、出下列各角,指出它们是第几象限角,并指出在0360范围内与其终边相同的角. (1)405;(2)-45;(3)495;(4)-520.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,解作出各角的终边如图所示.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,由图可知:(1)405是第一象限角;(2)-45是第四象限角;(3)495是第二象限角;(4)-520是第三象限角角. (1)405=45+360,所以在0360范围内,与405角终边相同的角是45. (2)-45=315-360,所以在0360范围内,与-45角终边相同的角是315角. (3)495=135+360,所以在0360范围内
15、,与495角终边相同的角是135角. (4)-520=200-2360,所以在0360范围内,与-520角终边相同的角是200角.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,(1)作给定的各个角时,可先找出在0360范围内与其终边相同的角,然后根据角的表示方式,利用正角逆时针旋转相应的圈数,负角顺时针旋转相应的圈数,在图形中标注相应的圈数和旋转方向即可. (2)判断角是第几象限角的常用方法为将写成+k360(其中kZ,在0360范围内)的形式,观察角的终边所在的象限即可.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,角度2 对 (nN*)所在象限的判定 【例6】 若角是第二象限角,试
16、确定角2, 是第几象限角. 分析,解是第二象限角,90+k360180+k360(kZ),则 (1)180+2k3602360+2k360(kZ), 2可能是第三象限角、第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,2.由所在象限,确定 所在象限,也可用如下方法判断: (1)画出区域:将坐标系每个象限二等分,得到8个区域; (2)标号:自x轴正向逆时针方向把每个区域依次标上,(如图所示);(3)确定区域:找出与角所在象限标号一致的区域,即为所求.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,【案例】 (开放探究题)已知集合A=|30+k18090+ k180,kZ,集合B=|-45+k36045+k360,kZ,求AB. 分析分别作出两集合中角的终边所在的区域,找公共部分,然后写出对应角的集合.,
