2018版高考数学大一轮复习 第六章 数列 理（课件+习题）（打包8套）新人教版.zip

第 1讲 数列的概念及 简单 表示法最新考 纲 1.了解数列的概念和几种 简单 的表示方法 (列表、 图 象、通 项 公式 )； 2.了解数列是自 变 量 为 正整数的一 类 特殊函数 .知 识 梳 理1.数列的概念(1)数列的定 义 ：按照 _________排列的一列数称 为 数列，数列中的每一个数叫做 这 个数列的 _____.(2)数列与函数的关系：从函数 观 点看，数列可以看成以正整数集 N*(或它的有限子集 )为 _______的函数 an＝ f(n)，当自 变 量按照从小到大的 顺 序依次取 值时 所 对应 的一列函数 值 .(3)数列有三种表示法，它 们 分 别 是 _________、________和 ____________.一定 顺 序项定 义 域列表法 图 象法通 项 公式法2.数列的分 类分 类 原 则 类 型 满 足条件按 项 数分 类 有 穷 数列 项 数 ____无 穷 数列 项 数 _____按 项 与 项间的大小关系分 类递 增数列 an＋ 1——— an 其中 n∈ N*递 减数列 an＋ 1——— an常数列 an＋ 1＝ an按其他 标 准分 类 有界数列 存在正数 M，使 |an|≤ M摆动 数列 从第二 项 起，有些 项 大于它的前一项 ，有些 项 小于它的前一 项 的数列有限无限＞＜3.数列的两种常用的表示方法(1)通 项 公式：如果数列 {an}的第 n项 an与 ______之 间 的关系可以用一个式子 _______来表示，那么 这 个公式叫做 这 个数列的通 项 公式 .(2)递 推公式：如果已知数列 {an}的第 1项 (或前几 项 )，且从第二项 (或某一 项 )开始的任一 项 an与它的前一 项 an－ 1(或前几 项 )间的关系可以用一个公式来表示，那么 这 个公式就叫做 这 个数列的 递 推公式 .序号 nan＝ f(n)S1Sn－ Sn－ 1诊 断 自 测1.判断正 误 (在括号内打 “√” 或 “×” ) 精彩 PPT展示(1)相同的一 组 数按不同 顺 序排列 时 都表示同一个数列 .( )(2)一个数列中的数是不可以重复的 .( )(3)所有数列的第 n项 都能使用公式表达 .( )(4)根据数列的前几 项归纳 出的数列的通 项 公式可能不止一个.( )解析 (1)数列： 1， 2， 3和数列： 3， 2， 1是不同的数列 .(2)数列中的数是可以重复的 .(3)不是所有的数列都有通 项 公式 .答案 (1)× (2)× (3)× (4)√答案 C3.设 数列 {an}的前 n项 和 Sn＝ n2， 则 a8的 值为 ( )A.15 B.16 C.49 D.64解析 当 n＝ 8时 ， a8＝ S8－ S7＝ 82－ 72＝ 15.答案 A4.已知 an＝ n2＋ λn，且 对 于任意的 n∈ N*，数列 {an}是 递 增数列， 则实 数 λ的取 值 范 围 是 ________.解析 因 为 {an}是 递 增数列，所以 对 任意的 n∈ N*，都有an＋ 1＞ an，即 (n＋ 1)2＋ λ(n＋ 1)＞ n2＋ λn，整理，得 2n＋ 1＋ λ＞ 0，即 λ＞－ (2n＋ 1).(*)因 为 n≥ 1，所以－ (2n＋ 1)≤ － 3，要使不等式 (*)恒成立，只需 λ＞－ 3.答案 (－ 3，＋ ∞ )5.(2016·浙江卷改 编 )设 数列 {an}的前 n项 和 为 Sn.若 S2＝ 4， an＋ 1＝ 2Sn＋ 1， n∈ N*， 则 S5＝ ________.解析 由 an＋ 1＝ 2Sn＋ 1， an＋ 1＝ Sn＋ 1－ Sn， ∴ Sn＋ 1＝3Sn＋ 1， 又 S2＝ 4， ∴ S3＝ 13， S4＝ 40， S5＝ 121.答案 121考点一 由数列的前几 项 求数列的通 项解 (1)偶数 项为 正，奇数 项为负 ，故通 项 公式必含有因式 (－ 1)n， 观 察各 项 的 绝对值 ，后一 项 的 绝对值总 比它前一 项 的 绝对值 大 6，故数列的一个通 项 公式 为 an＝ (－1)n(6n－ 5).规 律方法 根据所 给 数列的前几 项 求其通 项时 ， 需仔 细观察分析 ， 抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的各自特征；(2)相 邻项 的 联 系特征；(3)拆 项 后的各部分特征；(4)符号特征 .应 多 进 行 对 比、分析 ， 从整体到局部多角度 观察、 归纳 、 联 想 .考点二 由 Sn与 an的关系求 an (易 错 警示 )易 错 警示 在利用数列的前 n项 和求通 项时 ， 往往容易忽略先求出 a1， 而是直接把数列的通 项 公式写成 an＝ Sn－ Sn－ 1的形式 ， 但它只适用于 n≥ 2的情形 .【 训练 2】 (1)(2017·河南八校一 联 )在数列 {an}中， Sn是其前 n项 和，且 Sn＝ 2an＋ 1， 则 数列的通 项 公式 an＝________.(2)已知数列 {an}的前 n项 和 Sn＝ 3n＋ 1， 则 数列的通 项 公式 an＝ ________.解析 (1)依 题 意得 Sn＋ 1＝ 2an＋ 1＋ 1， Sn＝ 2an＋ 1，两式相减得 Sn＋ 1－ Sn＝ 2an＋ 1－ 2an， 即 an＋ 1＝ 2an，又 S1＝ 2a1＋ 1＝ a1， 因此 a1＝－ 1，所以数列 {an}是以 a1＝－ 1为 首 项 、 2为 公比的等比数列 ， an＝－ 2n－ 1.考点三 由数列的 递 推关系求通 项 公式(3)形如 an＋ 1＝ pan＋ q的 递 推关系式可以化 为 (an＋ 1＋ x)＝p(an＋ x)的形式 ， 构成新的等比数列 ， 求出通 项 公式 ， 求 变量 x是关 键 .[思想方法 ]1.由数列的前几 项 求数列通 项 ，通常用 观 察法 (对 于交 错 数列一般有 (－ 1)n或 (－ 1)n＋ 1来区分奇偶 项 的符号 )；已知数列中的 递 推关系，一般只要求写出数列的前几 项 ，若求通项 可用 归纳 、猜想和 转 化的方法 .[易 错 防范 ]1.数列是一种特殊的函数，在利用函数 观 点研究数列时 ，一定要注意自 变 量的取 值 ，如数列 an＝ f(n)和函数 y＝ f(x)的 单调 性是不同的 .2.数列的通 项 公式不一定唯一 .第 2讲 等差数列及其前 n项 和最新考 纲 1.理解等差数列的概念； 2.掌握等差数列的通 项公式与前 n项 和公式； 3.能在具体的 问题 情境中 识别 数列的等差关系 ，并能用等差数列的有关知 识 解决相 应 的 问题 ； 4.了解等差数列与一次函数的关系 .知 识 梳 理2同一个常数公差a1＋ (n－ 1)d(n－ m)d3.等差数列的有关性 质已知数列 {an}是等差数列， Sn是 {an}的前 n项 和 .(1)若 m＋ n＝ p＋ q(m， n， p， q∈ N*)， 则 有 am＋ an＝ ap＋ aq.(2)等差数列 {an}的 单调 性：当 d＞ 0时 ， {an}是 _____数列；当 d＜ 0时 ， {an}是 _____数列；当 d＝ 0时 ， {an}是 _______.(3)若 {an}是等差数列，公差 为 d， 则 ak， ak＋ m， ak＋ 2m， … (k，m∈ N*)是公差 为 ____的等差数列 .(4)数列 Sm， S2m－ Sm， S3m－ S2m， … 也是等差数列 .递 增递 减 常数列md5.等差数列的前 n项 和的最 值在等差数列 {an}中， a1＞ 0， d＜ 0， 则 Sn存在最 ___值 ；若 a1＜ 0， d＞ 0， 则 Sn存在最 ___值 .大小诊 断 自 测1.判断正 误 (在括号内打 “√” 或 “×” ) 精彩 PPT展示(1)数列 {an}为 等差数列的充要条件是 对 任意 n∈ N*，都有2an＋ 1＝ an＋ an＋ 2.( )(2)等差数列 {an}的 单调 性是由公差 d决定的 .( )(3)已知数列 {an}的通 项 公式是 an＝ pn＋ q(其中 p， q为 常数 )，则 数列 {an}一定是等差数列 .( )(4)数列 {an}为 等差数列的充要条件是其通 项 公式 为 n的一次函数 .( )(5)等差数列的前 n项 和公式是常数 项为 0的二次函数 .( )解析 (4)若公差 d＝ 0， 则 通 项 公式不是 n的一次函数 .(5)若公差 d＝ 0， 则 前 n项 和不是二次函数 .答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)×2.(2015·重 庆 卷 )在等差数列 {an}中，若 a2＝ 4， a4＝ 2， 则 a6等于 ( )A.－ 1 B.0 C.1 D.6解析 由等差数列的性 质 ，得 a6＝ 2a4－ a2＝ 2× 2－ 4＝ 0，选 B.答案 B3.(2017·长 沙模 拟 )设 等差数列 {an}的前 n项 和 为 Sn，若 S3＝2a3， S5＝ 15， 则 a2 016＝ ________.解析 在等差数列 {an}中，由 S3＝ 2a3知， 3a2＝ 2a3，而 S5＝ 15， 则 a3＝ 3，于是 a2＝ 2，从而其公差 为 1，首 项为 1，因此 an＝ n，故 a2 016＝ 2 016.答案 2 0164.在等差数列 {an}中， a1＝ 7，公差 为 d，前 n项 和 为 Sn，当且 仅 当 n＝ 8时 Sn取得最大 值 ， 则 d的取 值 范 围为 ______.5.(必修 5P68A8改 编 )在等差数列 {an}中，若 a3＋ a4＋ a5＋ a6＋ a7＝ 450， 则 a2＋ a8＝ ________.解析 由等差数列的性 质 ，得 a3＋ a4＋ a5＋ a6＋ a7＝ 5a5＝ 450， ∴ a5＝ 90， ∴ a2＋ a8＝ 2a5＝ 180.答案 180考点一 等差数列基本量的运算【例 1】 (1)(2016·全国 Ⅰ 卷 )已知等差数列 {an}前 9项 的和 为 27，a10＝ 8， 则 a100＝ ( )A.100 B.99 C.98 D.97(2)(2016·唐山模 拟 )设 等差数列 {an}的前 n项 和 为 Sn， S3＝ 6，S4＝ 12， 则 S6＝ ________.答案 (1)C (2)30规 律方法 (1)等差数列的通 项 公式及前 n项 和公式共涉及五个量 a1， an， d， n， Sn， 知其中三个就能求另外两个 ， 体 现 了用方程的思想来解决 问题 .(2)数列的通 项 公式和前 n项 和公式在解 题 中起到 变 量代换 作用 ， 而 a1和 d是等差数列的两个基本量 ， 用它 们 表示已知和未知是常用方法 .答案 B考点二 等差数列的判定与 证 明 (典例迁移 )规 律方法 等差数列的四种判断方法：(1)定 义 法： 对 于 n≥ 2的任意自然数 ， 验证 an－ an－ 1为 同一常数 .(2)等差中 项 法： 验证 2an－ 1＝ an＋ an－ 2(n≥ 3， n∈ N*)都成立 .(3)通 项 公式法： 验证 an＝ pn＋ q.(4)前 n项 和公式法： 验证 Sn＝ An2＋ Bn.后两种方法只能用来判断是否 为 等差数列 ， 而不能用来 证 明等差数列 ， 主要适合在 选择题 中 简单 判断 .考点三 等差数列的性 质 及 应 用【例 3】 (1)(2015·全国 Ⅱ 卷 )设 Sn是等差数列 {an}的前 n项 和，若 a1＋ a3＋ a5＝ 3， 则 S5＝ ( )A.5 B.7 C.9 D.11(2)(2016·洛阳 统 考 )设 等差数列 {an}的前 n项 和 为 Sn，若 S3＝ 9， S6＝ 36， 则 a7＋ a8＋ a9等于 ( )A.63 B.45 C.36 D.27答案 (1)A (2)B (3)4 034【 训练 3】 (1)若一个等差数列前 3项 的和 为 34，最后 3项 的和 为 146，且所有 项 的和 为 390， 则这 个数列的 项 数 为 ()A.13 B.12 C.11 D.10(2)(2015·广 东 卷 )在等差数列 {an}中，若 a3＋ a4＋ a5＋ a6＋a7＝ 25， 则 a2＋ a8＝ ________.(2)因 为 {an}是等差数列，所以 a3＋ a7＝ a4＋ a6＝ a2＋ a8＝ 2a5， a3＋ a4＋ a5＋ a6＋ a7＝ 5a5＝ 25，即 a5＝ 5， a2＋ a8＝ 2a5＝10.答案 (1)A (2)10考点四 等差数列前 n项 和及其最 值【例 4】 (1)(2017·衡水月考 )等差数列 {an}的前 n项 和 为 Sn，已知 a1＝ 13， S3＝ S11，当 Sn最大 时 ， n的 值 是 ( )A.5 B.6 C.7 D.8(2)设 数列 {an}的通 项 公式 为 an＝ 2n－ 10(n∈ N*)， 则 |a1|＋|a2|＋ … ＋ |a15|＝ ________.解析 (1)法一 由 S3＝ S11，得 a4＋ a5＋ … ＋ a11＝ 0，根据等差数列的性 质 ，可得 a7＋ a8＝ 0.根据首 项 等于 13可推知这 个数列 递 减，从而得到 a70， a85时 ， an0， ∴ |a1|＋ |a2|＋ … ＋ |a15|＝－ (a1＋ a2＋ a3＋ a4)＋ (a5＋a6＋ … ＋ a15)＝ 20＋ 100＝ 130.答案 (1)C (2)130第 3讲 等比数列及其前 n项 和最新考 纲 1.理解等比数列的概念 ， 掌握等比数列的通 项 公式与前 n项 和公式； 2.能在具体的 问题 情境中 识别 数列的等比关系 ， 并能用有关知 识 解决相 应 的 问题 ； 3.了解等比数列与指数函数的关系 .知 识 梳 理同一个公比q等比中项2a1qn－ 13.等比数列的性 质已知 {an}是等比数列， Sn是数列 {an}的前 n项 和 .(1)若 k＋ l＝ m＋ n(k， l， m， n∈ N*)， 则 有 ak·al＝ _____.(2)等比数列 {an}的 单调 性：当 q＞ 1， a1＞ 0或 0＜ q＜ 1， a1＜ 0时 ，数列 {an}是 ____数列； 当 q＞ 1， a1＜ 0或 0＜ q＜ 1， a1＞ 0时 ，数列 {an}是 ____数列；当 q＝ 1时 ，数列 {an}是 ________.(3)相隔等距离的 项组 成的数列仍是等比数列，即 ak， ak＋ m， ak＋ 2m， … 仍是等比数列，公比 为 ____.(4)当 q≠ － 1，或 q＝－ 1且 n为 奇数 时 ， Sn， S2n－ Sn， S3n－S2n仍成等比数列，其公比 为 ____.am·an递增递减常数列qmqn诊 断 自 测1.判断正 误 (在括号内打 “√” 或 “×” ) 精彩 PPT展示答案 B3.(2017·湖北省七市考 试 )公比不 为 1的等比数列 {an}满 足 a5a6＋a4a7＝ 18，若 a1am＝ 9， 则 m的 值为 ( )A.8 B.9 C.10 D.11 解析 由 题 意得， 2a5a6＝ 18， a5a6＝ 9， ∴ a1am＝ a5a6＝ 9，∴ m＝ 10，故 选 C.答案 C4.(2015·全国 Ⅰ 卷 )在数列 {an}中， a1＝ 2， an＋ 1＝ 2an， Sn为 {an}的前 n项 和 .若 Sn＝ 126， 则 n＝ ________.答案 6答案 1考点一 等比数列基本量的运算答案 (1)B (2)64规 律方法 等比数列基本量的运算是等比数列中的一 类基本 问题 ， 等比数列中有五个量 a1， n， q， an， Sn， 一般可以 “ 知三求二 ” ， 通 过 列方程 (组 )便可迎刃而解 .【 训练 1】 (1)设 等比数列 {an}的公比 为 q，前 n项 和 为 Sn，若 Sn＋ 1， Sn， Sn＋ 2成等差数列， 则 q的 值为 ________.(2)(2017·合肥模 拟 )设 {an}是公比大于 1的等比数列， Sn为 数列 {an}的前 n项 和 .已知 S3＝ 7，且 a1＋ 3， 3a2.a3＋ 4构成等差数列， 则 an＝ ________.答案 (1)－ 2 (2)2n－ 1考点二 等比数列的性 质 及 应 用答案 (1)C (2)B规 律方法 (1)在解决等比数列的有关 问题时 ， 要注意挖掘 隐 含条件 ， 利用性 质 ， 特 别 是性 质 “ 若 m＋ n＝ p＋ q，则 am· an＝ ap· aq” ， 可以减少运算量 ， 提高解 题 速度 .(2)在 应 用相 应 性 质 解 题时 ， 要注意性 质 成立的前提条件， 有 时 需要 进 行适当 变 形 .此外 ， 解 题时 注意 设 而不求思想的运用 .考点三 等比数列的判定与 证 明规 律方法 证 明一个数列 为 等比数列常用定 义 法与等比中 项 法 ， 其他方法只用于 选择题 、填空 题 中的判定；若证 明某数列不是等比数列 ， 则 只要 证 明存在 连续 三 项 不成等比数列即可 .[易 错 防范 ]1.由 an＋ 1＝ qan， q≠ 0，并不能立即断言 {an}为 等比数列，还 要 验证 a1≠ 0.2.在运用等比数列的前 n项 和公式 时 ，必 须 注意 对 q＝ 1与q≠ 1分 类讨论 ，防止因忽略 q＝ 1这 一特殊情形而 导 致解 题 失 误 .第 4讲 数列求和最新考 纲 1.熟 练 掌握等差、等比数列的前 n项 和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常 见 方法 .知 识 梳 理na1(2)分 组转 化法把数列的每一 项 分成两 项 或几 项 ，使其 转 化 为 几个等差、等比数列，再求解 .(3)裂 项 相消法把数列的通 项 拆成两 项 之差求和，正 负 相消剩下首尾若干 项.(4)倒序相加法把数列分 别 正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推 导过 程的推广 .(5)错 位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列 对应项 相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推 导过 程的推广 .诊 断 自 测1.判断正 误 (在括号内打 “√” 或 “×” ) 精彩 PPT展示解析 (3)要分 a＝ 0或 a＝ 1或 a≠ 0且 a≠ 1讨论 求解 .答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√答案 B3.若数列 {an}的通 项 公式 为 an＝ 2n＋ 2n－ 1， 则 数列 {an}的前 n项 和 为 ( )A.2n＋ n2－ 1 B.2n＋ 1＋ n2－ 1C.2n＋ 1＋ n2－ 2 D.2n＋ n－ 2答案 C4.(必修 5P38T8改 编 )一个球从 100 m高 处 自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第 10次着地时 ， 经过 的路程是 ( )A.100＋ 200(1－ 2－ 9) B.100＋ 100(1－ 2－ 9)C.200(1－ 2－ 9) D.100(1－ 2－ 9)答案 A5.(2016·北京卷 )已知 {an}为 等差数列， Sn为 其前 n项 和，若a1＝ 6， a3＋ a5＝ 0， 则 S6＝ ________.答案 6考点一 分 组转 化法求和答案 (1)A (2)A考点二 裂 项 相消法求和规 律方法 (1)利用裂 项 相消法求和 时 ， 应 注意抵消后并不一定只剩下第一 项 和最后一 项 ， 也有可能前面剩两 项 ， 后面也剩两 项 .(2)将通 项 公式裂 项 后 ， 有 时 候需要 调 整前面的系数 ，使裂开的两 项 之差和系数之 积 与原通 项 公式相等 .考点三 错 位相减法求和规 律方法 (1)一般地 ， 如果数列 {an}是等差数列 ， {bn}是等比数列 ， 求数列 {an· bn}的前 n项 和 时 ， 可采用 错 位相减法求和 ， 一般是和式两 边 同乘以等比数列 {bn}的公比 ， 然后作差求解；(2)在写出 “Sn”与 “qSn”的表达式 时应 特 别 注意将两式 “ 错项对齐 ” 以便下一步准确写出 “ Sn－ qSn” 的表达式 .[思想方法 ]非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想1.转 化的思想，即将一般数列 设 法 转 化 为 等差或等比数列， 这 一思想方法往往通 过 通 项 分解或 错 位相消来完成；2.不能 转 化 为 等差或等比的特殊数列，往往通 过 裂 项相消法、 错 位相减法、倒序相加法等来求和 .[易 错 防范 ]1.直接 应 用公式求和 时 ，要注意公式的 应 用范 围 ，如当等比数列公比 为 参数 (字母 )时 ， 应对 其公比是否 为 1进 行 讨论 .2.在 应 用 错 位相减法 时 ，要注意 观 察未合并 项 的正 负 号 .3.在 应 用裂 项 相消法 时 ，要注意消 项 的 规 律具有 对 称性，即前剩多少 项则 后剩多少 项 .